penyederhanaan yang konsisten dengan besarnya lendutan yang biasanya ditemukan pada struktur pelat.
Asumsi yang mendasar di dalam teori lendutan kecil pada pelat terlentur atau disebut teori klasik untuk material isotropik, homogen dan elastis didasarkan
pada geometri lendutan deformasi, antara lain: 1.
Lendutan di tengah bentang pelat lebih kecil disbanding ketebalan pelat itu sendiri dan kemiringan lengkungan pelat sangat kecil sehingga dapat
diabaikan. 2.
Penampang pada bidang system pelat tidak berubah pada saat lenturan. 3.
Bdang tegak lurus pada bidang system pelat akan tetap tegak lurus setelah pelenturan sehi
ngga regangan geser vertical γ
xz
dan γ
yz
dapat diabaikan. 4.
Tegangan normal pada bentang σ
z
sangat kecil dibandingkan komponen lainnya sehingga dapat diabaikan. Pada pelat tebal, regangan geser sangat
penting seperti blok pada umumnya.
II.2.1 Hubungan Regangan – Kelengkungan
Beranjak dari anggapan tersebut di atas, hubungan regangan – perpindahan dapat digambarkan sebagai berikut :
x u
x
∂ ∂
=
ε
= ∂
∂ =
z w
z
ε
y u
y
∂ ∂
= ε
= ∂
∂ +
∂ ∂
= z
u x
w
xz
γ 2.13
x v
y u
xy
∂ ∂
+ ∂
∂ =
γ =
∂ ∂
+ ∂
∂ =
z v
y w
xz
γ
Universitas Sumatera Utara
Melalui Persamaan :
= ∂
∂ +
∂ ∂
= z
u x
w
xz
γ
z u
x w
∂ ∂
− =
∂ ∂
x z
u w
∂ ∂
∂ −
= ∂
, y
x u
x w
z u
+ ∂
∂ −
=
dan ,
y x
v y
w z
v +
∂ ∂
− =
akan didapat fungsi w dalam parameter x,y atau w = x,y, dengan kata lain perpindahan lateral tidak dipengaruhi fungsi komponen z tebal pelat. Dengan
asumsi kedua di atas didapatkan harga u x,y = 0 dan v
x,y = 0 sehingga didapat:
x w
z u
∂ ∂
− =
dan y
w z
v ∂
∂ −
= 2.14
subtitusi persamaan 2.14 ke persamaan 2.13 menghasilkan:
2 2
x w
z x
w z
x
x
∂ ∂
− =
∂ ∂
− ∂
∂ =
ε
2 2
y w
z
y
∂ ∂
− =
ε y
x w
z
xy
∂ ∂
∂ −
=
2
2 γ
2.15 Persamaan ini memberikan nilai regangan di setiap titik. Kelengkungan dari pelat
lentur didefenisikan sebagai laju perubahan kemiringan sudut sepanjang pelat. Dengan asumsi pertama dan persamaan mewakili kelengkungan pelat.
Sehingga kelengkungan k kappa pada tengah bentang yang paralel dengan bidang xz, yz, dan xy dapat digambarkan sebagai berikut :
x x
k x
w x
r =
∂ ∂
∂ ∂
= 1
x y
k x
w x
r =
∂ ∂
∂ ∂
= 1
2.16
Universitas Sumatera Utara
xy xy
k y
w x
r =
∂ ∂
∂ ∂
= 1
Sehingga hubungan regangan dan kelengkungan adalah superposisi persamaan dan sebagai :
x x
zk −
=
ε
y y
zk −
= ε
xy xy
zk 2
− =
ε 2.17
II.2.2 Tegangan dan Resultan Tegangan
Pada kasus tegangan dan regangan tiga dimensi yang mengikuti hukum hook untuk benda isotropis, homogen dan elastis, hubungan tegangan dan
regangan adalah sebagai berikut :
] [
1
z y
x x
v E
σ σ
σ ε
+ −
=
G r
xy xy
τ =
] [
1
z x
y y
v E
σ σ
σ ε
+ −
= G
r
xz xz
τ
=
2.18
] [
1
y x
z z
v E
σ σ
σ ε
+ −
=
G r
yz yz
τ =
dimana : E = Modulus Elastisitas Bahan
v = Poisson Ratio G = Modulus Geser
] 1
2 [
v E
G +
=
Notasi untuk tegangan normal digunakan lambang σ sigma dan tegangan geser
digunakan lambang τ tau. Subscript pertama menunjukkan arah normal terhadap bidang yang ditinjau dan huruf kedua menunjukkan tegangan itu sendiri.
Universitas Sumatera Utara
Tegangan normal bernilai positif bila tegangan tersebut menghasilkan tegangan tarik dan sebaliknya. Arah positif tegangan geser pada sisi seberang dari
elemen kubus diambil sebagai arah positif sumbu koordinat, apabila tegangan tarik pada sisi yang sama mempunyai arah positif dari sumbu yang bersangkutan.
Apabila arah tegangan tarik berlawanan dengan arah positif maka arah positif komponen tegangan geser dibalik.
Dengan memasukkan : ε
x
= γ
yz
= γ
xz
= 0 diperoleh :
1
2 y
x x
v v
E
ε ε
σ
+ −
=
1
2 x
y y
v v
E
ε ε
σ
+ −
=
2.19
xy xy
G γ
τ =
Untuk pelat lengkung persamaan menjadi :
1 .
1 .
2 2
2 2
2 2
y w
v x
w v
z E
vk k
v z
E
y x
x
∂ ∂
+ ∂
∂ −
− =
+ −
− =
σ
1 .
1 .
2 2
2 2
2 2
x w
v y
w v
z E
vk k
v z
E
x y
y
∂ ∂
+ ∂
∂ −
− =
+ −
− =
σ 2.20
y x
w v
z E
k v
z E
xy xy
∂ ∂
∂ −
= −
− =
. 1
. 1
.
2
τ
Universitas Sumatera Utara
Dari persamaan-persamaan di atas dapat diketahui bahwa tegangan tidak terjadi pada sumbu pelat dan akan berubah secara linier sepanjang tebal pelat.
Tegangan terdistribusi sepanjang tebal pelat yang diakibatkan oleh momen lentur Mx, My dan Mxy.
Dengan mengambil integral :
dy M
dz z
dy dz
dy z
x t
t x
t t
x
= =
∫ ∫
− −
2 2
2 2
. .
. .
. .
σ σ
2.21
Dengan cara yang sama tegangan yang lain akan diperoleh dan dibuat dalam bentuk matriks hubungan momen lentur dan tegangan :
∫
−
=
2 2
. .
t t
xy y
x
dz z
Mxy My
Mx τ
σ σ
2.22
dimana : Mxy = Myx
Hubungan gaya geser dan tegangan geser adalah :
∫
−
=
2 2
.
t t
yz xz
dz Qy
Qx
τ τ
2.23
Melalui persamaan 2.22 diselesaikan seperti :
∫
−
=
2 2
. .
t t
x
dz z
Mx
σ
dz z
y w
x w
v z
E Mx
t t
. .
. 1
.
2 2
2 2
2 2
2
∂ ∂
+ ∂
∂ −
− =
∫
−
Universitas Sumatera Utara
∫
−
∂ ∂
+ ∂
∂ −
− =
2 2
2 2
2 2
2 2
. .
. 1
t t
dz z
y w
x w
v E
Mx
∂ ∂
+ ∂
∂ −
− =
2 2
2 2
2 3
. 1
12 .
y w
x w
v t
E Mx
2.24
Faktor
2 3
1 12
. v
t E
− −
disebut faktor kekakuan lentur pelat Dari persamaan tersebut di atas diperoleh :
3
. .
12 t
z M
x x
σ
3
. .
12 t
z M
y y
= σ
3
. .
12 t
z M
xy xy
= τ
2.25
Untuk menentukan komponen-komponen tegangan a rah z yaitu : σ
z
, τ
xz
, dan τ
yz
digunakan persamaan differensial kesetimbangan untuk elemen pelat dalam suatu bentuk tegangan umum :
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ z
y x
xz xy
x
τ τ
σ
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ z
x y
yz xy
y
τ τ
σ 2.26
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ z
x z
yz xz
z
τ τ
σ
Dari persamaan 2.26 diperoleh :
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= ∂
∂ y
x z
xz x
xz
τ σ
τ
dz y
x
t z
xy x
xz
.
2
∫
∂ ∂
+ ∂
∂ −
=
τ σ
τ
Universitas Sumatera Utara
dz y
x w
v z
E y
y w
v x
w v
z E
x
t z
xz
. 1
. 1
.
2 2
2 2
2 2
2
∫
∂ ∂
∂ +
− ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ −
− ∂
∂ −
= τ
dz y
x w
v z
E y
w v
x w
v z
E
t z
xz
. .
1 .
1 .
2 2
3 3
3 3
3 2
∫
∂ ∂
∂ +
+
∂
∂ +
∂ ∂
− =
τ
dz y
x w
v z
E y
x w
v v
z E
x w
v z
E
t z
xz
. .
1 .
. 1
. .
1 .
2 2
3 2
3 2
3 3
2
∫
∂ ∂
∂ +
+ ∂
∂ ∂
+ +
∂ ∂
− =
τ
dz v
v v
y x
w z
E x
w v
z E
t z
xz
. 1
1 1
. .
1 .
2 2
2 3
3 3
2
∫
+ +
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= τ
dz y
w x
w x
v z
E
t z
xz
. 1
.
2 2
2 2
2 2
∫
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
∂ −
=
τ
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
∂
− +
=
2 2
2 2
2 2
2
4 1
2 y
w x
w x
z t
v E
xz
τ 2.27
Dengan cara yang sama diperoleh :
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
∂
− −
=
2 2
2 2
2 2
2
4 1
2 y
w x
w y
z t
v E
yz
τ 2.28
Melalui persamaan di atas dapat dilihat distribusi komponen tegangan τ
xz
dan τ
yz
sepanjang ketebalan pelat merupakan persamaan parabola. Sedangkan komponen tegangan normal σ
z
dapat ditentukan melalui persamaan ketiga pada persamaan 2.26 dengan mendistribusikan komponen tegangan yang telah diperoleh pada
persamaan 2.27 dan 2.28 sebagai berikut :
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= ∂
∂ y
x z
yz xz
τ τ
σ
2
Universitas Sumatera Utara
dz y
w x
w y
z t
v E
y y
w x
w x
z t
v E
x
t z
. .
4 1
2 .
4 1
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
∂
− −
∂ ∂
+
∂
∂ +
∂ ∂
∂ ∂
−
− ∂
∂ −
=
∫
σ
dz y
w x
w y
z t
v E
y w
x w
x z
t v
E
t z
. .
4 1
2 .
4 1
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
∂
− −
+
∂
∂ +
∂ ∂
∂ ∂
−
− −
=
∫
σ
dz y
w x
w y
x z
t v
E
t z
. .
4 1
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
∫
∂ ∂
+ ∂
∂
∂
∂ +
∂ ∂
−
− −
= σ
∂ ∂
+ ∂
∂
∂
∂ +
∂ ∂
+ −
− −
=
2 2
2 2
2 2
2 2
3 2
3 2
2
. 3
4 12
1 2
y w
x w
y x
z z
t t
v E
σ 2.29
Komponen tegangan arah z selalu kecil dibandingkan dengan tegangan-tegangan pada arah lain plane stress dan ini sesuai dengan asumsi ke empat di atas,
dimana tegangan arah z pada bidang tengah pelat sangat kecil dan dapat diabaikan.
II.2.3 Variasi Tegangan di dalam Pelat
