56 Berdasarkan kedua teorema tersebut selanjutnya dapat disimpulkan bahwa apabila
{ } barisan Cauchy di �, �
�
,∗ maka { } barisan konvergen di �, �
�
,∗ . Sehingga
�, �
�
,∗ merupakan ruang metrik fuzzy lengkap.
5. Barisan � −konvergen, Barisan � −Cauchy, dan Ruang Metrik Fuzzy
� −lengkap
V. Gregori, A. Lopez-Crevillen, S. Morillas, A. Sapena pada tahun 2009 memperkenalkan pengembangan konsep kekonvergenan dan kelengkapan di
ruang metrik fuzzy melalui hasil penelitiannya yang berjudul On convergence in fuzzy metric spaces. Pengembangan tersebut dilakukan dengan mengubah syarat
barisan konvergen dan barisan Cauchy yang semula untuk setiap � menjadi
untuk suatu � . Sehingga kemudian muncul istilah barisan � −konvergen,
barisan � −Cauchy, dan ruang metrik fuzzy � −lengkap yang akan dijelaskan
pengertian dan sifat-sifatnya melalui definisi dan teorema berikut.
Definisi 3.4.10 V. Gregori, dkk. 2009
Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � disebut
konvergen titik point convergent ke ∈ � jika untuk setiap � dan suatu
� , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga � , , � − �, ∀
. Sehingga, misalkan
�, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan
{ } di � yang konvergen titik point convergent ke ∈ � untuk suatu � ditulis dengan { } � −konvergen ke untuk �
57
Contoh 3.4.11 V. Gregori, dkk. 2009
Misal { } ⊂ , barisan yang monoton naik konvergen ke di ruang metrik
ℝ, � dan � = { } ∪ { }. Misal
� adalah himpunan fuzzy pada � × � × ℝ
+
dengan fungsi keanggotaan yang didefinisikan sebagai berikut:
� , , � = untuk setiap ∈ �, � ; �
, , � = min{ ,
} untuk setiap , ∈ ℕ, � ; dan �
, , � = � , , � = min{ , �} untuk setiap ∈ ℕ, � . Maka
�, �,∗ adalah ruang metrik fuzzy, dengan ∗ = min{ , }. Barisan
{ } tidak konvergen di ruang metrik fuzzy �, �,∗ , sebab lim
→∞
� , , = .
Namun, barisan { } � −konvergen ke , sebab lim
→∞
� , , � = .
Teorema 3.4.12 V. Gregori, dkk. 2009
Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di �
merupakan barisan � −konvergen jika terdapat ∈ � dan � sehingga { }
berada di �
�
, �, � untuk setiap � ∈ , . Bukti:
Misalkan ∈ � dan � sehingga { } berada di �
�
, �, � , ∀� ∈ , . Maka
� , , � − �, sehingga �
, , � − �. Akibatnya barisan
{ } � −konvergen ke untuk suatu � .
58 Berdasarkan definisi kekonvergenan di ruang metrik fuzzy, maka jelas
bahwa { } di � konvergen ke jika dan hanya jika { } � −konvergen ke
untuk setiap � . Selain itu, jika { } di � � −konvergen ke dan { }
merupakan barisan konvergen, maka { } konvergen ke .
Definisi 3.4.13 V. Gregori, dkk. 2009
Misal �, �,∗ suatu ruang metrik fuzzy. Barisan { } di � disebut � −Cauchy jika
untuk setiap � dan suatu � , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga,
� ,
, � − �, ∀ , .
Sehingga, misalkan �, �,∗ ruang metrik fuzzy. Barisan { } di � yang
� −Cauchy untuk suatu � ditulis dengan { } � −Cauchy untuk � atau { } � −Cauchy.
Contoh 3.4.14 V. Gregori, dkk. 2009
Misalkan { } ⊂ , barisan yang monoton naik konvergen ke di ruang metrik
ℝ, � dan � = { } ∪ { }. Misalkan
� adalah himpunan fuzzy pada � × � × ℝ
+
dengan fungsi keanggotaan yang didefinisikan sebagai berikut:
� , , � = untuk setiap ∈ �, � ; �
, , � = min{ ,
} untuk setiap , ∈ ℕ, � ; dan �
, , � = � , , � = min{ , �} untuk setiap ∈ ℕ, � . Maka
�, �,∗ adalah ruang metrik fuzzy, dengan ∗ = min{ , }. Barisan
{ } merupakan barisan � −Cauchy, sebab lim
→∞
� ,
, � = .
59 Berdasarkan definisi barisan Cauchy di ruang metrik fuzzy, maka jelas
bahwa suatu barisan { } di � merupakan barisan Cauchy jika dan hanya jika
barisan { } � −Cauchy untuk setiap � .
Setelah pengertian barisan � −konvergen dan barisan � −Cauchy
dijelaskan, maka selanjutnya akan dijelaskan pengertian ruang metrik fuzzy � −lengkap melalui Definisi 3.4.15 di bawah ini.
Definisi 3.4.15 V. Gregori, dkk. 2009
Suatu ruang metrik fuzzy �, �,∗ disebut ruang metrik fuzzy � −lengkap jika
setiap barisan � −Cauchy di � merupakan barisan � −konvergen pada suatu titik
di �.
Contoh 3.4.16 V. Gregori, dkk. 2009
Misal { } ⊂ , barisan yang monoton naik konvergen ke di ruang metrik
ℝ, � dan � = { } ∪ { }. Misalkan
� adalah himpunan fuzzy pada � × � × ℝ dengan fungsi keanggotaan yang didefinisikan sebagai berikut:
� , , � = untuk setiap ∈ �, � ; �
, , � = min{ ,
} untuk setiap , ∈ ℕ, � ; dan �
, , � = � , , � = min{ , �} untuk setiap ∈ ℕ, � . Maka
�, �,∗ adalah ruang metrik fuzzy, dengan ∗ = min{ , }.
60 Karena
lim
→∞
� ,
, � = untuk setiap � , maka jelas bahwa { } merupakan barisan Cauchy. Namun karena
{ } tidak konvergen, akibatnya �, �,∗ bukan ruang metrik fuzzy lengkap.
Namun akan ditunjukkan bahwa �, �,∗ merupakan ruang metrik fuzzy
� −lengkap. Misalkan
{ } adalah barisan � −Cauchy di �. Maka
{ } merupakan barisan yang konvergen ke . Selanjutnya
lim
→∞
� , , = lim
→∞
= , sehingga { } � −konvergen ke . Jadi
�, �,∗ adalah ruang metrik fuzzy � −lengkap.
49
BAB IV KEKONVERGENAN DAN KELENGKAPAN
DI RUANG METRIK FUZZY
Kekonvergenan dan kelengkapan di ruang metrik biasa telah dijelaskan dalam Bab II. Selanjutnya, kekonvergenan dan kelengkapan di ruang metrik fuzzy akan
dijelaskan oleh penulis dalam Bab IV. Bagian awal Bab IV membahas pengertian, contoh dan teorema yang berlaku terkait barisan konvergen, barisan Cauchy dan
kelengkapan ruang metrik fuzzy secara umum. Selanjutnya membahas pengertian, contoh dan teorema yang berlaku terkait barisan konvergen, barisan Cauchy dan
kelengkapan ruang metrik fuzzy yang lebih khusus yang diperkenalkan oleh V. Gregori, A. Lopez-Crevillen, S. Morillas, A. Sapena pada tahun 2009 melalui hasil
penelitiannya yang berjudul On convergence in fuzzy metric spaces.
Definisi 4.1.1 Aphane, 2009
Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Maka suatu barisan { }
konvergen ke ∈ � jika untuk setiap � dan � , terdapat
∈ ℕ sedemikian sehingga,
� , , � − �, ∀
. Suatu barisan
{ } di ruang metrik �, �,∗ konvergen ke ∈ � ditulis dengan → atau lim
→∞
� , , � = , ∀� .
