4
BAB II KAJIAN TEORI
A. Himpunan Fuzzy
Himpunan tegas crisp merupakan himpunan yang untuk setiap elemen dalam semestanya selalu dapat ditentukan secara tegas elemen tersebut merupakan anggota
dari himpunan tersebut atau tidak. Namun, himpunan dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dapat didefinisikan dengan cara demikian. Misalnya himpunan orang
berbadan tinggi. Jika didefinisikan bahwa “orang tinggi” adalah orang yang tingginya
lebih dari atau sama dengan 1,7 meter, maka orang yang tingginya 1,69 meter termasuk orang yang tidak tinggi. Padahal pada kenyataannya sulit untuk menerima bahwa orang
yang tingginya 1,69 meter termasuk orang yang tidak tinggi. Oleh karena itu, pada tahun 1965 Lotfi A. Zadeh mengatasi permasalahan tersebut dengan memperkenalkan
teori himpunan fuzzy. Lotfi A. Zadeh mengaitkan himpunan dengan suatu fungsi yang menyatakan
derajat kesesuaian unsur-unsur dalam semestanya dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Fungsi dengan sifat demikian disebut fungsi
keanggotaan himpunan fuzzy dan nilai fungsi keanggotaan tersebut disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan fuzzy. Fungsi keanggotaan dari suatu
himpunan fuzzy dalam semesta � adalah pemetaan � dari � ke selang [ , ], yaitu
� : � → [ , ]. Nilai fungsi � menyatakan derajat keanggotaan unsur
∈ � dalam himpunan fuzzy .
5
Definisi 2.1.1 George Klir, 1997
Misalkan � adalah himpunan tak kosong. Himpunan fuzzy A di � adalah suatu
himpunan yang fungi keanggotaannya
� : � → [ , ].
Sehingga himpunan fuzzy A di � dapat dinyatakan sebagai berikut:
= { , � | ∀ ∈ � � �
menyatakan derajat keanggotaan di }. Berdasarkan definisi himpunan fuzzy di atas, maka himpunan tegas crisp
merupakan kejadian khusus dari himpunan fuzzy, yaitu himpunan fuzzy yang fungsi keanggotaannya hanya bernilai atau 1 saja. Untuk lebih memahami himpunan fuzzy,
diberikan satu contoh himpunan fuzzy berikut.
Contoh 2.1.2
Misalkan � = { , , , ,5, ,7, , }. Didefinisikan himpunan fuzzy di � dengan fungsi
keanggotaan �
= + − 5 Maka diperoleh
= { , . , , . , , .
, .5 , 5, , , .5 , 7, . , , . , , . }.
Himpunan fuzzy dapat disebut himpunan bilangan asli yang dekat ke 5. Menurut George Klir 1997, himpunan fuzzy dan
� dalam semesta � dikatakan sama, ditulis
= �, jika memenuhi � = �
, untuk setiap ∈ �.
Himpunan fuzzy dikatakan merupakan himpunan bagian dari himpunan fuzzy �
dalam semesta �, ditulis ⊆ �, jika memenuhi �
� , untuk setiap
∈ �.
6 Menurut George Klir 1997, pada himpunan fuzzy dapat didefiniskan operasi
komplemen, gabungan dan irisan sebagai berikut. 1.
Komplemen dari suatu himpunan fuzzy merupakan himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan
�
�
= { − � } untuk setiap ∈ �, dan
secara lengkap dapat ditulis sebagai berikut: = { , �
�
| �
�
= { − � }, ∀ ∈ � }.
2. Gabungan dua himpunan fuzzy dan � merupakan himpunan fuzzy ∪ �
dengan fungsi keanggotaan �
∪
= max{� , �
} untuk setiap ∈ �, dan secara lengkap dapat ditulis sebagai berikut:
∪ � = { , �
∪
|�
∪
= max{� , �
} , ∀ ∈ � }. 3.
Irisan dua himpunan fuzzy dan � merupakan himpunan fuzzy � dengan
fungsi keanggotaan �
= min{� , �
} untuk setiap ∈ �, dan secara lengkap dapat ditulis sebagai berikut:
� = { , � |�
= min{� , �
} , ∀ ∈ � }.
Contoh 2.1.3
Misalkan diketahui himpunan � = [ ,
] dan didefinisikan dua himpunan fuzzy pada � yaitu himpunan fuzzy � � dan himpunan fuzzy
dengan fungsi keanggotaan masing-masing didefinisikan sebagai berikut:
7 �
����
= { − 75 , 75
, �
�
���
= { − 5
75 , 5 , �
Maka himpunan fuzzy � � dan himpunan fuzzy
dapat direpresentasikan dengan grafik berikut.
Gambar 2.1 Grafik Fungsi Keanggotaan Himpunan Fuzzy � � dan
Himpunan Fuzzy Selanjutnya akan dijelaskan komplemen himpunan fuzzy
� � , gabungan himpunan fuzzy
� � dan himpunan fuzzy , dan irisan himpunan fuzzy
� � dan himpunan fuzzy
sebagai berikut.
10 20
30 40
50 60
70 80
90 100
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9 1
Umur tahun
N ila
i fu
n g
s i
k e
a n
g g
o ta
a n
Himpunan Fuzzy Muda dan Tua Muda
Tua
8 Gambar 2.2 Grafik Fungsi Keanggotaan Himpunan Fuzzy
� � dan Himpunan Fuzzy
� �
Gambar 2.3 Grafik Fungsi Keanggotaan Gabungan Himpunan Fuzzy � � dan
Himpunan Fuzzy
10 20
30 40
50 60
70 80
90 100
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9 1
Himpunan Fuzzy Muda dan Komplemennya
Umur tahun
N ila
i f un
gs i k
ea ng
go ta
an
Muda Muda
c
10 20
30 40
50 60
70 80
90 100
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9 1
Umur tahun
N il
a i
fu n
g s
i k
e a
n g
g o
ta a
n
Himpunan Fuzzy Muda U Himpunan Fuzzy Tua
9 Gambar 2.4 Grafik Fungsi Keanggotaan Irisan Himpunan Fuzzy
� � dan Himpunan Fuzzy
B. Ruang Metrik
Kategori