45 Misalkan
= { } ⊂ �, maka himpunan terbuka karena untuk setiap
∈ , terdapat � = dan � = sehingga �
�
, , = { ∈ � ∶ � , , � = + � , } ⊆ .
2. Topologi yang Diinduksi dari Metrik Fuzzy
Teorema 2.2.29 dalam Bab II menjelaskan bagaimana suatu metrik dapat menginduksi topologi metrik. Hal demikian juga terdapat dalam konsep ruang
metrik fuzzy yang dijelaskan melalui Teorema 3.3.8 di bawah ini.
Teorema 3.3.8 Tirado, 2012
Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Didefinisikan
�
�
= { ⊂ � ∶ ∈ ∃� ∃�, � , ℎ
�
�
, �, � ⊆ }. Maka
�
�
adalah suatu topologi pada �.
Bukti: i
Jelas bahwa ∅ ∈ �
�
dan � ∈ �
�
. ii
Misalkan , , , … ,
�
∈ �
�
dan =
� �∈�
. Akan ditunjukkan bahwa
∈ �
�
. Misalkan
∈
� �∈�
, maka ∈
�
untuk suatu ∈ �.
Karena
�
∈ �
�
, maka terdapat � � � , �
ℎ �
�
, �, � ⊆
�
. Sehingga
�
�
, �, � ⊆
�
⊆
� �∈�
= . Jadi ∈ �
�
.
46 iii
Misalkan , , , … ,
�
∈ �
�
dan =
� �∈�
. Akan ditunjukkan bahwa
∈ �
�
. Misalkan
∈
� �∈�
, maka ∈
�
untuk setiap ∈ �.
Sehingga untuk setiap ∈ � terdapat
�
�
� �
�
, � ℎ
�
�
, �
�
, �
�
⊆
�
. Misalkan
� = min{�
�
, ∈ �} dan � = min{�
�
, ∈ �}. Sehingga
� �
�
dan − �
− �
�
untuk setiap ∈ �.
Akibatnya �
�
, �, � ⊆
�
untuk setiap ∈ �.
Sehingga �
�
, �, � ⊆
� �∈�
= . Jadi
∈ �
�
. Jadi, terbukti bahwa
�
�
adalah suatu topologi pada �.
Keterangan: Pembuktian diambil dari Aphane 2009
Selanjutnya, kaitan antara topologi yang diinduksi oleh suatu metrik dan topologi yang diinduksi oleh metrik fuzzy standar akan dijelaskan melalui teorema
3.3.9 di bawah ini.
Teorema 3.3.9 Tirado, 2012
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan �
�
, , � =
� �+� �,
adalah metrik fuzzy standar pada
�. Maka topologi �
�
yang diinduksi oleh metrik � dan topologi �
�
�
yang diinduksi oleh metrik fuzzy �
�
adalah sama, yaitu �
�
= �
�
�
. Bukti:
47 i
Akan ditunjukkan bahwa menunjukkan bahwa �
�
⊆ �
�
�
. Misal
∈ �
�
, maka terdapat � sehingga
�
�
, � = { ∈ � ∶ � , �} ⊆ , untuk setiap ∈ .
Misal �
′
�, maka �
�
, , � = �
� + � , �
� + � �
′
�
′
+ �. Misal
− � =
�′ �′+�
, maka �
�
, , � − �. Artinya, untuk setiap
∈ , terdapat �, dengan � dan � sehingga
�
�
�
, �, � ⊆ . Akibatnya ∈ �
�
�
. Hal ini menunjukkan bahwa
�
�
⊆ �
�
�
. ii
Akan ditunjukkan bahwa menunjukkan bahwa �
�
�
⊆ �
�
. Misalkan
∈ �
�
�
, maka terdapat � dan � sehingga
�
�
�
, �, � = { ∈ � ∶ �
�
, , � − �} ⊆ untuk setiap ∈ . �
�
, , � =
� �+� �,
− � �
− � � + − � � ,
� ,
�� −�
Misalkan � =
�� −�
, maka � ,
�. Artinya, untuk setiap
∈ , terdapat � sehingga �
�
, � ⊆ . Akibatnya
∈ �
�
. Hal ini menunjukkan bahwa �
�
�
⊆ �
�
. Karena
�
�
⊆ �
�
�
dan �
�
�
⊆ �
�
maka �
�
= �
�
�
. Keterangan: Pembuktian diambil dari Aphane 2009
48
3. Hubungan Ruang Metrik Fuzzy dan Ruang Hausdorff