9 Gambar 2.4 Grafik Fungsi Keanggotaan Irisan Himpunan Fuzzy
� � dan Himpunan Fuzzy
B. Ruang Metrik
Sub-bab ini menjelaskan definisi-definisi dasar tentang ruang metrik dan topologi. Beberapa teorema yang dipelajari dalam ruang metrik dan topologi juga
dijelaskan dan diberi contoh.
Definisi 2.2.1 Davis, 2005
Diberikan suatu himpunan tidak kosong �, suatu fungsi �: � × � → ℝ yang memenuhi
kondisi berikut, untuk setiap , , ∈ �,
i � ,
; ii
� , = jika dan hanya jika = ;
iii � ,
= � , ; iv
� , � ,
+ � , ; Maka
� disebut metrik pada � dan �, � disebut ruang metrik.
10 20
30 40
50 60
70 80
90 100
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9 1
Umur tahun
N ila
i f un
gs i k
ea ng
go ta
an
Irisan himpunan fuzzy muda dan himpunan fuzzy tua
Tua Muda
10 Selanjutnya, dua contoh ruang metrik berikut ini diberikan agar definisi ruang
metrik dapat lebih dipahami.
Contoh 2.2.2
Himpunan bilangan real ℝ dengan fungsi � yang didefinisikan dengan �
, =
| − | untuk setiap , ∈ ℝ merupakan suatu ruang metrik, sebab i
� ,
= | − | ;
ii �
, = | − | = jika dan hanya jika = ;
iii �
, = | − | = | − | = �
, ; iv
� ,
= | − | = | − +
− | � ,
+ � , .
Jadi terbukti bahwa ℝ, � merupakan ruang metrik.
Contoh 2.2.3
Misalkan � suatu himpunan tidak kosong dan � : � × � → ℝ didefinisikan dengan
� ,
= { , ≠
= untuk setiap
, ∈ �, maka �, � merupakan suatu ruang metrik, sebab i
� ,
; ii
� ,
= jika dan hanya jika = ; iii
� ,
= � , ;
iv Jika = maka �
, + �
, = �
, = �
, = �
, Jika
= maka � ,
+ � ,
= � ,
= � ,
� ,
Untuk yang lain, �
, + �
, = + = , .
Jadi terbukti bahwa �, � merupakan ruang metrik.
11
Definisi 2.2.4 Parzynski, 1987
Misal �, � suatu ruang metrik dan himpunan bagian tidak kosong dari �. disebut
terbatas jika terdapat bilangan real positif � sehingga � ,
�, ∀ , ∈ .
Contoh 2.2.5
Misalkan ruang metrik ℝ, � dengan � ,
= | − | untuk setiap , ∈ ℝ. Maka = [ , ] ⊂ ℝ merupakan himpunan terbatas karena terdapat bilangan real positif
� = sehingga � , = | − | � = , ∀ , ∈ [ , ].
Beberapa konsep dasar dalam topologi seperti bola terbuka, himpunan terbuka, himpunan tertutup, dan titik limit akan dijelaskan dan diberi contoh.
Definisi 2.2.6 Davis, 2005
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan � suatu bilangan real dengan � . Bola
terbuka pada �, � dengan jari-jari � dan pusat ∈ � didefiniskan dengan
�
�
, � = { ∈ � ∶ � , �}.
Contoh 2.2.7
Dari Contoh 2.2.2 diketahui ℝ, � dengan � ,
= | − | untuk setiap , ∈ ℝ merupakan ruang metrik.
Bola terbuka pada ℝ, � dengan jari-jari . 5 dan pusat ∈ ℝ didefinisikan dengan
�
�
, . 5 = { ∈ ℝ ∶ | | . 5} = { ∈ ℝ ∶ − . 5 . 5}
12 Teorema berikut menjelaskan bahwa dua bola terbuka dengan pusat yang sama
maka salah satunya merupakan himpunan bagian dari yang lain.
Teorema 2.2.8 Aphane, 2009
Misalkan �
�
, � dan �
�
, � bola terbuka dengan pusat yang sama yaitu ∈ �, dengan
� , � . Maka �
�
, � ⊆ �
�
, � atau �
�
, � ⊆ �
�
, � . Bukti:
i Jika
� = � , maka �
�
, � = �
�
, � , sehingga �
�
, � ⊆ �
�
, � atau �
�
, � ⊆ �
�
, � . ii
Jika � ≠ � , tanpa mengurangi kemumuman diasumsikan � � .
Misalkan ∈ �
�
, � , maka � , � .
Karena � � maka � ,
� . Sehingga
∈ �
�
, � . Jadi �
�
, � ⊆ �
�
, � . Selanjutnya dengan mengasumsikan
� � dan dengan langkah- langkah yang sama dapat dibuktikan bahwa
�
�
, � ⊆ �
�
, � . Jadi untuk sebarang
�
�
, � dan �
�
, � bola terbuka dengan pusat yang sama maka
�
�
, � ⊆ �
�
, � atau �
�
, � ⊆ �
�
, � .
Contoh 2.2.9
Dari Contoh 2.2.2 diketahui ℝ, � dengan � ,
= | − | untuk setiap , ∈ ℝ merupakan ruang metrik. Misalkan
�
�
, � dan �
�
, � merupakan bola terbuka pada
ℝ, � dengan pusat yang sama yaitu ∈ ℝ, dengan � , � . Maka
13 �
�
, � = { ∈ ℝ ∶ � , � } = { ∈ ℝ ∶ | − | � },
�
�
, � = { ∈ ℝ ∶ � , � } = { ∈ ℝ ∶ | − | � }
Jika � = � maka �
�
, � = { ∈ ℝ ∶ | − | � = � } = �
�
, � . Jika
� � maka �
�
, � = { ∈ ℝ ∶ | − | � � } ⊂ �
�
, � . Jika
� � maka �
�
, � = { ∈ ℝ ∶ | − | � � } ⊂ �
�
, � . Maka
�
�
, � ⊆ �
�
, � atau �
�
, � ⊆ �
�
, � .
Jika Definisi 2.2.6 menjelaskan pengertian bola terbuka, maka Definisi 2.2.10 di bawah ini menjelaskan pengertian bola tertutup dalam suatu ruang metrik.
Selanjutnya diberikan contoh bola tertutup melalui Contoh 2.2.11.
Definisi 2.2.10 Davis, 2005
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan � suatu bilangan real dengan � . Bola
tertutup dengan jari-jari � dan pusat ∈ � didefiniskan dengan
�
�
[ , �] = { ∈ � ∶ � , �}.
Contoh 2.2.11
Dari Contoh 2.2.2 diketahui ℝ, � dengan � ,
= | − | untuk setiap , ∈ ℝ merupakan ruang metrik. Bola tertutup pada
ℝ, � dengan jari-jari dan pusat ∈ ℝ didefiniskan dengan
�
�
[ , ] = { ∈ ℝ ∶ � , } = { ∈ ℝ ∶ | |
}
14 Konsep tentang titik interior yang dijelaskan melalui Definisi 2.2.12 di bawah
ini berkaitan dengan konsep himpunan terbuka dalam suatu ruang metrik yang akan dijelaskan melalui Definisi 2.2.14.
Definisi 2.2.12 Davis, 2005
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan himpunan bagian dari �. Suatu titik ∈
disebut titik interior dari jika terdapat � sedemikian sehingga �
�
, � ⊂ . Himpunan dari semua titik interior dituliskan dengan
� � .
Contoh 2.2.13
Diketahui ruang metrik ℝ, � dengan � ,
= | − | untuk setiap , ∈ ℝ. Jika
= { ∈ ℕ: } ⊂ � maka � � = { ∈ ℕ:
} = { , }.
Definisi 2.2.14 Davis, 2005
Misalkan �, � suatu ruang metrik. ⊂ � disebut terbuka jika untuk setiap ∈
maka terdapat � sedemikian sehingga �
�
, � ⊆ .
Contoh 2.2.15
Jika �, � adalah ruang metrik diskret dan { } ⊂ �, maka { } merupakan himpunan
terbuka, sebab terdapat � = sehingga bola terbuka dengan pusat ∈ { }, jari-
jari � = yaitu �
�
, = { ∈ � ∶ � , } ⊆ { }.
Teorema 2.2.16 di bawah ini menjelaskan bahwa setiap bola terbuka merupakan suatu himpunan terbuka.
15
Teorema 2.2.16 T.W. Korner, 2014
Setiap bola terbuka �
�
, � = { ∈ ∶ � , �} merupakan himpunan terbuka,
untuk setiap ∈ � dan � .
Bukti: Misalkan
∈ �, � dan ∈ �
�
, � . Pilih � dengan � = � − � , . Misalkan ∈ �
�
, � , maka � , � . Sehingga berdasarkan
pertidaksamaan segitiga diperoleh � ,
� , + � ,
� , + � = � ,
+ � − � , = �.
Karena � ,
� maka ∈ �
�
, � . Sehingga �
�
, � himpunan terbuka.
Teorema 2.2.17 T.W. Korner, 2014
Diketahui suatu ruang metrik �, � . Maka:
1 ∅ dan � terbuka.
2 Jika terbuka untuk setiap ∈ � maka
∈�
terbuka. 3
Jika terbuka untuk setiap maka
=
terbuka. Bukti:
1 Jelas bahwa tidak terdapat suatu elemen di ∅, sehingga pernyataan untuk
setiap ∈ ∅ maka terdapat � sedemikian sehingga �
�
, � ⊆ ∅ bernilai benar. Sehingga
∅ terbuka. � jelas terbuka berdasarkan definisi himpunan terbuka.
16 2
Misalkan ∈
∈�
, kemudian pilih ∈ � sedemikian sehingga ∈
. Karena
terbuka, maka dapat dipilih � sehingga �
�
, � ⊆ . Karena
⊂
∈�
maka �
�
, � ⊆
∈�
. Sehingga
∈�
terbuka. 3
Karena terbuka, maka untuk setiap ∈ � terdapat � sedemikian sehingga
�
�
, � ⊆ untuk setiap .
Misalkan � = min{� , � , … , � , … , � }, maka �
�
, � ⊆ untuk setiap . Sehingga
�
�
, � ⊆
=
. Akibatnya,
=
terbuka.
Contoh 2.2.18
Diketahui suatu ruang metrik ℝ, � . Maka:
1 ∅ dan ℝ terbuka.
2 Misalkan
= �
�
, dan = { ∈ ℝ ∶ − }, maka dan
terbuka. Sehingga ∪
= { ∈ ℝ ∶ − } terbuka. 3
Misalkan = �
�
, dan = { ∈ ℝ ∶ − }, maka dan
terbuka. Sehingga = { ∈ ℝ ∶ − } terbuka.
Definisi 2.2.19 Davis, 2005
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan himpunan bagian dari �. Suatu titik ∈ �
disebut titik limit dari jika untuk setiap � , terdapat ∈ �
�
, � − { }. Atau dapat ditulis
{�
�
, � − { }} ≠ ∅. Himpunan semua titik limit dari ditulis
dengan ′ dan disebut derived set dari .
17
Contoh 2.2.20
Diketahui ruang metrik ℝ, � dengan � ,
= | − | untuk setiap , ∈ ℝ. Jika
= { ∈ ℝ: } ⊂ � maka
dan ∈ adalah titik limit dari .
Jika = { ∈ ℕ:
} ⊂ � maka ,
∈ , ∈ bukan titik limit dari .
Definisi 2.2.21 Davis, 2005
Suatu himpunan bagian � dari ruang metrik �, � disebut tertutup jika � memuat
setiap titik limitnya.
Contoh 2.2.22
Diketahui ruang metrik ℝ, � dengan � ,
= | − | untuk setiap , ∈ ℝ. Jika
= { ∈ ℝ: } ⊂ � maka tidak tertutup karena
adalah titik limit dari . Jika
= { ∈ ℝ: } ⊂ � maka tertutup karena memuat
semua titik limitnya.
Teorema 2.2.23 Parzynski, 1987
Suatu himpunan bagian � dari ruang metrik �, � tertutup jika dan hanya jika � − �
merupakan himpunan terbuka. Bukti:
Misalkan � tertutup. Terdapat dua kemungkinan, yaitu
1 � − � = ∅. Berdasarkan Teorema 2.2.17, ∅ merupakan himpunan terbuka,
sehingga ∅ = � − � terbuka.
18 2
� − � ≠ ∅. Ambil sebarang ∈ � − �, sehingga �. Karena � tertutup
maka � memuat semua titik limitnya. Sehingga bukan titik limit �. Maka
terdapat � sehingga �
�
, � − { } � = ∅. Akibatnya �
�
, � ⊂ � − �. Jadi untuk setiap ∈ � − � terdapat � sehingga �
�
, � ⊂ � − �. Maka � − � terbuka.
Misalkan � − � terbuka dan ∈ � − �. Maka terdapat �
�
, � ⊂ � − �. Sehingga terdapat
�
�
, � dengan �
�
, � � = ∅. Sehingga bukan titik
limit �. Akibatnya, jika titik limit � maka ∈ �. Artinya, � memuat semua
titik limitnya. Sehingga � tertutup.
Teorema 2.2.24 T.W. Korner, 2014
Diketahui suatu ruang metrik �, � . Maka:
1 ∅ dan � tertutup.
2 Jika � tertutup untuk setiap ∈ maka
�
∈
tertutup. 3
Jika � tertutup untuk setiap maka
�
=
tertutup. Bukti:
1 ∅ adalah himpunan tertutup, sebab � − ∅ = � adalah himpunan terbuka.
� adalah himpunan tertutup, sebab � − � = ∅ adalah himpunan terbuka. 2
Karena � tertutup, maka � − � terbuka untuk setiap ∈ . Sehingga
� − �
∈
= � − �
∈
merupakan himpunan terbuka. Akibatnya
�
∈
tertutup.
19 3
Karena � tertutup maka � − � terbuka untuk setiap . Akibatnya
� − �
=
= � − �
=
merupakan himpunan terbuka. Sehingga �
=
merupakan himpunan tertutup.
Teorema 2.2.14 menjelaskan bahwa setiap bola terbuka merupakan suatu himpunan terbuka, sedangkan Teorema 2.2.25 di bawah ini menjelaskan bahwa setiap
bola tertutup merupakan himpunan tertutup.
Teorema 2.2.25 Davis, 2005
Setiap bola tertutup dalam sebarang ruang metrik �, � merupakan himpunan tertutup.
Bukti: Misalkan diketahui sebarang bola tertutup
�
�
[ , �] = { ∈ � ∶ � , �}.
Akan dibuktikan bahwa �
�
[ , �] himpunan tertutup dengan cara menunjukkan bahwa
� − �
�
[ , �] merupakan himpunan terbuka. Misalkan
∈ � − �
�
[ , �], maka � , �. Misalkan = � , − � ,
maka �
�
[ , ] ⊂ � − �
�
[ , �]. Misalkan
∈ �
�
, , maka � , � ,
+ � , sehingga � ,
� , − � , � , − = �. Akibatnya ∈ � − �
�
[ , �]. Sehingga
� − �
�
[ , �] merupakan himpunan terbuka. Jadi terbukti bahwa setiap bola tertutup dalam sebarang ruang metrik
�, � merupakan himpunan tertutup.
20
Definisi 2.2.26 Cain, 1994
Misalkan � sebarang himpunan. Didefinisikan � koleksi himpunan bagian � yang
memenuhi kondisi berikut: i
∅ ∈ � dan � ∈ �. ii
Jika ∈ � untuk setiap ∈ � maka
∈�
∈ �. iii
Jika ∈ � untuk setiap maka
∈ �
=
. Maka
� disebut topologi pada � dan �, � disebut ruang topologi.
Contoh 2.2.27
a. Misalkan � = { , , } dan � = {∅, { }, { , , }}. Maka � merupakan topologi
pada �.
b. Misalkan � = { , , } dan � = {∅, { }, { }, { , , }}. Maka � bukan merupakan
topologi pada � sebab { } ∪ { } = { , } �.
c. Misalkan � = { , }, maka � = {∅, { , }, { }} merupakan topologi pada �.
Teorema 2.2.28 T.W. Korner, 2014
Misalkan �, � suatu ruang metrik maka koleksi dari himpunan bagian terbuka
membentuk suatu topologi. Bukti: Sesuai dengan Teorema 2.2.17.
Teorema 2.2.29 di bawah ini menjelaskan bahwa suatu metrik dapat menginduksi suatu topologi metrik.
21
Teorema 2.2.29 Aphane, 2009
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan didefinisikan �
�
sebagai berikut: �
�
= { ⊂ � ∶ ∈ ∃� ℎ
�
�
, � ⊆ }. Maka
�
�
adalah suatu topologi pada �.
Bukti: i
Jelas bahwa ∅ ∈ �
�
dan � ∈ �
�
. ii
Misalkan , , , … ,
�
∈ �
�
dan =
� �∈�
. Akan ditunjukkan bahwa
∈ �
�
. Misalkan
∈
� �∈�
, maka ∈
�
untuk suatu ∈ �.
Karena
�
∈ �
�
, maka terdapat � ℎ
�
�
, � ⊆
�
. Sehingga
�
�
, � ⊆
�
⊆
� �∈�
= . Jadi ∈ �
�
. iii
Misalkan ∈ �
�
untuk setiap dan
=
=
. Akan ditunjukkan bahwa
∈ �
�
. Misalkan
∈
=
, maka ∈ untuk setiap
. Sehingga untuk setiap
terdapat � ,
ℎ �
�
, � ⊆
�
. Misalkan
� = min{� } dengan .
Sehingga � � untuk setiap
. Akibatnya
�
�
, � ⊆ untuk setiap .
Sehingga �
�
, � ⊆
=
= . Jadi ∈ �
�
. Selanjutnya
�
�
disebut topologi metrik yang diinduksi oleh metrik �.
22
Definisi 2.2.30 T.W. Korner, 2014
Suatu ruang topologi �, � disebut ruang Hausdorff jika untuk setiap , ∈ � dengan
≠ , maka terdapat dua himpunan terbuka dan dengan = ∅ sedemikian
sehingga ∈ dan ∈ .
Contoh 2.2.31
Misalkan diketahui suatu ruang topologi �, � dengan � = { , , , �} dan � =
�
. Maka
�, � merupakan suatu ruang Hausdorff sebab ∀ , ∈ � dengan ≠ , maka terdapat
= { } dan = { } sehingga ∈ , ∈ dan = ∅.
Contoh 2.2.32
Misal ruang topologi �, � dengan � = { , , , �} dan � = {{ , }, { , �}, �, ∅}. Maka
�, � bukan ruang Hausdorff sebab ∃ , ∈ � dengan ≠ , sehingga terdapat = { , } dan = { , , , �} dengan ∈ , ∈ dan
= { , }.
Teorema 2.2.33 T.W. Korner, 2014
Setiap ruang metrik merupakan ruang Hausdorff. Bukti:
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan , ∈ � dengan ≠ . Misalkan =
{ } dan = { }, maka = ∅ dengan ∈ dan ∈ .
Sehingga terbukti bahwa setiap ruang metrik merupakan ruang Hausdorff.
23
C. Barisan di Ruang Metrik
Kategori