49
D. Kekonvergenan dan Kelengkapan di Ruang Metrik Fuzzy
Kekonvergenan dan kelengkapan di ruang metrik telah dijelaskan oleh penulis dalam Bab II. Selanjutnya, kekonvergenan dan kelengkapan di ruang metrik fuzzy akan
dijelaskan dalam Sub-bab D ini. Bagian awal Sub-bab D membahas pengertian, contoh dan teorema yang
berlaku terkait barisan konvergen, barisan Cauchy dan kelengkapan ruang metrik fuzzy secara umum. Selanjutnya akan dijelaskan pengertian, contoh dan teorema yang
berlaku terkait barisan konvergen, barisan Cauchy dan kelengkapan ruang metrik fuzzy yang lebih khusus yang diperkenalkan oleh V. Gregori, A. Lopez-Crevillen, S.
Morillas, A. Sapena pada tahun 2009 melalui hasil penelitiannya yang berjudul On convergence in fuzzy metric spaces.
1. Barisan Konvergen di Ruang Metrik Fuzzy
Definisi 3.4.1 V. Gregori, 2009
Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Maka suatu barisan { }
konvergen ke ∈ � jika untuk setiap � dan � , terdapat
∈ ℕ sedemikian sehingga,
� , , � − �, ∀
.
Suatu barisan { } di ruang metrik �, �,∗ konvergen ke ∈ � ditulis
dengan → atau lim
→∞
� , , � = , ∀� .
50
Contoh 3.4.2
Misalkan diketahui ruang metrik fuzzy �, �
�
,∗ dengan �
�
, , � =
� �+� �,
untuk setiap , ∈ � dan � dan
norm-t kontinu ∗ = × untuk setiap , ∈ [ , ].
Misal � = ℝ
+
∪ { } dengan metrik yang didefinisikan dengan � , = | − |.
Maka barisan { } =
+
konvergen ke ∈ � di ruang metrik �, � .
Sehingga lim
→∞
� ,
= . Akibatnya untuk setiap
� , lim
→∞
� , , � = lim
→∞
� � + �
, =
lim
→∞
� lim
→∞
� + lim
→∞
� ,
= �
� + =
Jadi barisan { } konvergen ke di ruang metrik fuzzy �, �
�
,∗ .
Teorema 3.4.3 di bawah ini, menjelaskan bagaimana kaitan antara kekonvergenan suatu barisan di suatu ruang metrik dan di ruang metrik fuzzy yang
diinduksi oleh metrik tersebut.
Teorema 3.4.3 M. Ashar, dkk., 2012
Misal { } adalah suatu barisan di ruang metrik �, � , maka barisan { } adalah
barisan konvergen di �, � jika dan hanya jika { } barisan konvergen di
�, �
�
,∗ dengan �
�
, , � =
� �+� �,
, ∀ , ∈ �, � .
51 Bukti:
Misal { } adalah suatu barisan konvergen ke ∈ � di ruang metrik �, � ,
maka lim
→∞
� ,
= . Sehingga,
lim
→∞
�
�
, , � = lim
→∞
� � + �
, =
lim
→∞
� lim
→∞
� + lim
→∞
� ,
= �
� + = Akibatnya, barisan
{ } konvergen ke ∈ � di �, �
�
,∗ .
Misal { } barisan yang konvergen ke ∈ � di �, �
�
,∗ dengan �
�
, , � =
� �+� �,
, maka lim
→∞
�
�
, , � = lim
→∞
� � + �
, =
lim
→∞
� lim
→∞
� + lim
→∞
� ,
= �
� + lim
→∞
� ,
= lim
→∞
� ,
= Akibatnya barisan
{ } adalah barisan yang konvergen ke ∈ � di �, � .
2. Barisan Cauchy di Ruang Metrik Fuzzy
Definisi 3.4.4 di bawah ini akan menjelaskan pengertian barisan Cauchy dalam suatu ruang metrik fuzzy.
Definisi 3.4.4 Sapena, 2001
Suatu barisan { } di suatu ruang metrik fuzzy �, �,∗ merupakan barisan Cauchy
jika untuk setiap � ∈ , , � , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga,
� ,
, � − �, ∀ , .
52
Contoh 3.4.5
Misalkan diketahui ruang metrik fuzzy �, �
�
,∗ dengan � = ℝ
+
∪ { }, � ,
= | − |, �
�
, , � =
� �+� �,
untuk setiap , ∈ � dan � , dan
norm-t kontinu ∗ = × untuk setiap , ∈ [ , ].
Maka barisan { } = merupakan barisan Cauchy di ruang metrik �, � , sebab
untuk setiap � , maka terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga
�
. Jika
, maka
dan .
Sehingga untuk setiap ,
� ,
= | − | = + �
Artinya lim
→∞
� ,
= . Akibatnya,
lim
→∞
�
�
, , � = lim
→∞
� � + �
, =
lim
→∞
� lim
→∞
� + lim
→∞
� ,
= �
� + = , ∀ , Jadi barisan
{ } merupakan barisan Cauchy di ruang metrik fuzzy �, �
�
,∗ .
Teorema 3.4.6 di bawah ini, menjelaskan bagaimana kaitan antara suatu barisan Cauchy di suatu ruang metrik dan di ruang metrik fuzzy yang diinduksi
oleh metrik tersebut.
53
Teorema 3.4.6 Sapena, 2001
Misal { } adalah suatu barisan di ruang metrik �, � , maka barisan { } adalah
barisan Cauchy di �, � jika dan hanya jika { } barisan Cauchy di �, �
�
,∗ dengan
�
�
, , � =
� �+� �,
, ∀ , ∈ �, � . Bukti:
Misal { } adalah suatu barisan Cauchy di ruang metrik �, � , maka
lim
→∞
� ,
= ∀ , Sehingga,
lim
→∞
�
�
, , � = lim
→∞
� � + �
, =
lim
→∞
� lim
→∞
� + lim
→∞
� ,
= �
� + = Akibatnya, barisan
{ } adalah barisan Cauchy di �, �
�
,∗ .
Misal { } barisan Cauchy di �, �
�
,∗ dengan �
�
, , � =
� �+� �,
, maka lim
→∞
�
�
, , � = lim
→∞
� � + �
, =
lim
→∞
� lim
→∞
� + lim
→∞
� ,
= �
� + lim
→∞
� ,
=
lim
→∞
� ,
= Akibatnya barisan
{ } adalah barisan Cauchy di �, � .
54
3. Hubungan Barisan Konvergen dan Barisan Cauchy di Ruang Metrik