KEKONVERGENAN DAN KELENGKAPAN Ruang Metrik Fuzzy dan Sifat-Sifatnya.

49

BAB IV KEKONVERGENAN DAN KELENGKAPAN

DI RUANG METRIK FUZZY Kekonvergenan dan kelengkapan di ruang metrik biasa telah dijelaskan dalam Bab II. Selanjutnya, kekonvergenan dan kelengkapan di ruang metrik fuzzy akan dijelaskan oleh penulis dalam Bab IV. Bagian awal Bab IV membahas pengertian, contoh dan teorema yang berlaku terkait barisan konvergen, barisan Cauchy dan kelengkapan ruang metrik fuzzy secara umum. Selanjutnya membahas pengertian, contoh dan teorema yang berlaku terkait barisan konvergen, barisan Cauchy dan kelengkapan ruang metrik fuzzy yang lebih khusus yang diperkenalkan oleh V. Gregori, A. Lopez-Crevillen, S. Morillas, A. Sapena pada tahun 2009 melalui hasil penelitiannya yang berjudul On convergence in fuzzy metric spaces. Definisi 4.1.1 Aphane, 2009 Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Maka suatu barisan { } konvergen ke ∈ � jika untuk setiap � dan � , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga, � , , � − �, ∀ . Suatu barisan { } di ruang metrik �, �,∗ konvergen ke ∈ � ditulis dengan → atau lim →∞ � , , � = , ∀� . 50 Contoh 4.1.2 Aphane, 2009 �, �,∗ dengan � � , , � = � �+� �, untuk setiap , ∈ � dan � dan norm-t kontinu ∗ = × untuk setiap , ∈ [ , ] adalah suatu ruang metrik fuzzy. Misal � = ℝ + ∪ { } dengan metrik yang didefinisikan dengan � , = | − |. Maka barisan { } = konvergen ke ∈ �. Sehingga lim →∞ � , = . Akibatnya untuk setiap � , lim →∞ � , , � = lim →∞ � � + � , = lim →∞ � lim →∞ � + lim →∞ � , = � � + = Jadi barisan { } konvergen ke . Teorema 4.1.3 Aphane, 2009 Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � konvergen ke jika dan hanya jika untuk setiap � dan � ∈ , , { } berada di � � , �, � . Bukti: Misal suatu barisan { } di � konvergen ke , maka untuk setiap � dan � , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga, � , , � = � , , � − �, ∀ . Akibatnya ∈ � � , �, � , ∀ . 51 Misal { } berada di � � , �, � untuk setiap � dan � ∈ , , maka � , , � − �, ∀ Sehingga � , , � = � , , � − �, ∀ . Akibatnya barisan { } konvergen ke . Jadi, terbukti bahwa suatu barisan { } di � konvergen ke jika dan hanya jika untuk setiap � dan � ∈ , , { } berada di � � , �, � . Teorema 4.1.4 di bawah ini, menjelaskan bagaimana kaitan antara kekonvergenan suatu barisan di suatu ruang metrik biasa dan di ruang metrik fuzzy yang diinduksi oleh metrik tersebut. Teorema 4.1.4 Aphane, 2009 Misal { } adalah suatu barisan di ruang metrik �, � , maka barisan { } adalah barisan konvergen di �, � jika dan hanya jika { } barisan konvergen di �, � � ,∗ dengan � � , , � = � �+� �, . Bukti: Misal { } adalah suatu barisan konvergen ke ∈ � di ruang metrik �, � , maka lim →∞ � , = . Sehingga, lim →∞ � � , , � = lim →∞ � � + � , = lim →∞ � lim →∞ � + lim →∞ � , = � � + = Akibatnya, barisan { } konvergen ke ∈ � di �, � � ,∗ . 52 Misal { } barisan yang konvergen ke ∈ � di �, � � ,∗ dengan � � , , � = � �+� �, , maka lim →∞ � � , , � = lim →∞ � � + � , = lim →∞ � lim →∞ � + lim →∞ � , = � � + lim →∞ � , = lim →∞ � , = Akibatnya barisan { } adalah barisan yang konvergen ke ∈ � di �, � . Definisi 4.1.5 di bawah ini akan menjelaskan pengertian barisan Cauchy dalam suatu ruang metrik fuzzy. Definisi 4.1.5 V. Gregori, 2009 Suatu barisan { } di suatu ruang metrik fuzzy �, �,∗ merupakan barisan Cauchy jika untuk setiap � ∈ , , � , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga, � , , � − �, ∀ , . Contoh 4.1.6 �, �,∗ dengan � � , , � = � �+� �, untuk setiap , ∈ � dan � dan norm-t kontinu ∗ = untuk setiap , ∈ [ , ] adalah suatu ruang metrik fuzzy. Misal � = ℝ + ∪ { } dengan metrik yang didefinisikan dengan � , = | − |. Maka barisan { } = merupakan barisan Cauchy sebab untuk setiap � , maka terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga � . 53 Jika , maka dan . Sehingga untuk setiap , � , = | − | = + � Atau lim →∞ � , = . Akibatnya, lim →∞ � � , , � = lim →∞ � � + � , = lim →∞ � lim →∞ � + lim →∞ � , = � � + = , ∀ , Jadi barisan { } merupakan barisan Cauchy. Teorema 4.1.7 di bawah ini, menjelaskan bagaimana kaitan antara suatu barisan Cauchy di suatu ruang metrik biasa dan di ruang metrik fuzzy yang diinduksi oleh metrik tersebut. Teorema 4.1.7 V. Gregori, 2009 Misal { } adalah suatu barisan di ruang metrik �, � , maka barisan { } adalah barisan Cauchy di �, � jika dan hanya jika { } barisan Cauchy di �, � � ,∗ dengan � � , , � = � �+� �, . Bukti: Misal { } adalah suatu barisan Cauchy di ruang metrik �, � , maka lim →∞ � , = ∀ , . 54 lim →∞ � � , , � = lim →∞ � � + � , = lim →∞ � lim →∞ � + lim →∞ � , = � � + = Akibatnya, barisan { } adalah barisan Cauchy di �, � � ,∗ . Misal { } barisan Cauchy di �, � � ,∗ dengan � � , , � = � �+� �, , maka lim →∞ � � , , � = lim →∞ � � + � , = lim →∞ � lim →∞ � + lim →∞ � , = lim →∞ � � + � , = � � + lim →∞ � , = lim →∞ � , = Akibatnya barisan { } adalah barisan Cauchy di �, � . Teorema 2.3.7 menjelaskan bahwa barisan { } yang konvergen dalam suatu ruang metrik �, � merupakan barisan Cauchy. Selanjutnya sifat tersebut juga berlaku dalam ruang metrik fuzzy, yang akan dijelaskan melalui Teorema 4.1.8 di bawah ini. Teorema 4.1.8 Aphane, 2009 Misalkan �, �,∗ suatu ruang metrik fuzzy dan barisan { } ⊂ �. Jika barisan { } konvergen di �, �,∗ maka { } merupakan barisan Cauchy di �, �,∗ . Bukti: 55 Misalkan { } barisan konvergen ke , maka untuk setiap � berlaku lim →∞ � , , � = . Akibatnya, untuk setiap � ∈ ℕ dan � berlaku lim →∞ � +� , , � = Selanjutnya diperoleh lim →∞ � +� , , � lim →∞ � +� , , � ∗ lim →∞ � , , � = ∗ = . Karena � +� , , � , akibatnya lim →∞ � +� , , � , sehingga diperoleh lim →∞ � +� , , � = . Jadi { } merupakan barisan Cauchy. Konsep ruang metrik lengkap yang dibahas dalam ruang metrik biasa juga terdapat dalam ruang metrik fuzzy yang dijelaskan melalui Definisi 4.1.9 di bawah ini. Definisi 4.1.9 Aphane, 2009 Ruang metrik fuzzy dengan setiap barisan Cauchy konvergen disebut ruang metrik fuzzy lengkap. Contoh 4.1.10 M. Ashar, dkk., 2012 Ruang metrik fuzzy �, � � ,∗ dengan � = ℝ dan � � , , � = � �+� �, untuk setiap , ∈ � dan � dan norm-t kontinu ∗ = × untuk setiap , ∈ [ , ] adalah suatu ruang metrik fuzzy lengkap. 56 V. Gregori, A. Lopez-Crevillen, S. Morillas, A. Sapena pada tahun 2009 memperkenalkan pengembangan konsep kekonvergenan dan kelengkapan di ruang metrik fuzzy melalui hasil penelitiannya yang berjudul On convergence in fuzzy metric spaces. Pengembangan tersebut dilakukan dengan mengubah syarat barisan konvergen dan barisan Cauchy yang semula untuk setiap � menjadi untuk suatu � . Sehingga kemudian muncul istilah barisan � −konvergen, barisan � −Cauchy, dan ruang metrik fuzzy � −lengkap yang akan dijelaskan pengertian dan sifat-sifatnya oleh penulis melalui definisi dan teorema berikut. Definisi 4.2.1 V. Gregori, dkk. 2009 Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � disebut konvergen titik point convergent ke ∈ � jika untuk setiap � dan suatu � , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga � , , � − �, ∀ . Sehingga, misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � yang konvergen titik point convergent ke ∈ � untuk suatu � ditulis dengan { } � −konvergen ke untuk � atau { } � −konvergen. Contoh 4.2.2 V. Gregori, dkk. 2009 Misal � = { } ⊂ , ] barisan yang monoton naik konvergen ke . Didefinisikan fungsi � , , � = untuk setiap ∈ �, � , � , , � = min{ , } untuk setiap , ∈ ℕ, � , dan � , , � = min{ , �} untuk setiap ∈ ℕ, � . 57 Maka �, �,∗ adalah ruang metrik fuzzy, dengan ∗ = min{ , }. Barisan { } � −konvergen ke , sebab lim →∞ � , , � = . Teorema 4.2.3 V. Gregori, dkk. 2009 Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � � −konvergen jika terdapat ∈ � dan � sehingga { } berada di � � , �, � untuk setiap � ∈ , . Bukti: Misalkan ∈ � dan � sehingga { } berada di � � , �, � untuk setiap � ∈ , . Maka � , , � − �, sehingga � , , � − �. Akibatnya barisan { } di � −konvergen ke untuk suatu � . Teorema 4.2.4 di bawah ini menjelaskan kaitan antara definisi barisan konvergen secara umum dan definisi barisan � −konvergen dalam suatu ruang metrik fuzzy. Teorema 4.2.4 V. Gregori, dkk. 2009 Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � konvergen ke jika dan hanya jika { } � −konvergen ke untuk setiap � . Bukti: Jelas berdasarkan definisi kekonvergenan di ruang metrik fuzzy. 58 Teorema 4.2.5 V. Gregori, dkk. 2009 Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Jika suatu barisan { } di � � −konvergen ke dan { } adalah barisan konvergen, maka { } konvergen ke . Bukti: Jelas berdasarkan definisi kekonvergenan di ruang metrik fuzzy. Selanjutnya, akan dijelaskan pengertian ruang metrik fuzzy principal. Namun, definisi ruang metrik fuzzy principal memerlukan pengertian local base maka terlebih dahulu akan dijelaskan pengertian local base melalui Definisi 4.2.6 di bawah ini. Definisi 4.2.6 S. Stephen, 2010 Misalkan � adalah suatu topologi dan � ∈ �. Suatu local base dari topologi � pada � ∈ � adalah koleksi himpunan terbuka dari �, ditulis dengan ℬ � , yang memenuhi syarat berikut: Untuk setiap himpunan terbuka ⊆ � dengan � ∈ terdapat ∈ ℬ � sehingga � ∈ dan ⊆ . Contoh 4.2.7 S. Stephen, 2010 Misalkan �, � ruang metrik. Maka setiap bola terbuka dengan pusat � ∈ � membentuk local base dari topologi � pada �. Definisi 4.2.8 V. Gregori, dkk. 2009 Suatu ruang metrik fuzzy �, �,∗ disebut principal jika {� � , �, � ∶ � ∈ , } adalah local base pada ∈ � untuk setiap � . 59 Contoh 4.2.9 V. Gregori, dkk. 2009 �, � � ,∗ dengan � � , , � = � �+� �, untuk setiap , ∈ � dan � dan norm-t kontinu ∗ = × untuk setiap , ∈ [ , ] adalah suatu ruang metrik fuzzy yang principal. Teorema 4.2.10 V. Gregori, dkk. 2009 Suatu ruang metrik fuzzy �, �,∗ principal jika dan hanya jika setiap barisan yang � −konvergen merupakan barisan konvergen. Bukti: Misalkan �, �,∗ principal dan { } adalah barisan yang � −konvergen ke untuk suatu � . Karena �, �,∗ principal maka {� � , , � ∶ � ∈ , } adalah local base pada . Sehingga dapat ditentukan ∈ ℕ sehingga � � , , � ⊂ � � , �, � . Karena lim →∞ � , , � = , maka dapat ditentukan ∈ , , dengan , dan ∈ ℕ sehingga ∈ � � , , � untuk setiap . Akibatnya ∈ � � , �, � untuk setiap . Sehingga � , , � − � untuk setiap , dan lim →∞ � , , � = . Pernyataan di atas berlaku ∀� sehingga { } konvergen ke . 60 Misalkan �, �,∗ tidak principal, maka dapat ditentukan ∈ � dan � sehinggan {� � , , � ∶ ∈ ℕ } bukan local base pada . Maka dapat ditentukan � dan � ∈ , sehingga � � , , � ⊈ � � , �, � untuk setiap ∈ ℕ. Selanjutnya menggunakan induksi, dibentuk suatu barisan { }. Untuk setiap ∈ ℕ, dipilih ∈ � � , , � \� � , �, � . Selanjutnya untuk � ∈ , , dipilih ∈ ℕ dengan �. Sehingga untuk diperoleh � , , � − − − � dan karena pemiliha � secara sebarang maka { } adalah barisan � −konvergen ke . Sehingga dengan kata lain, mengkonstruksi ∈ �\� � , �, � untuk setiap ∈ ℕ mengakibatkan { } tidak konvergen ke . Sehingga berdasarkan Teorema 4.1.17, { } tidak konvergen. Definisi 4.2.11 V. Gregori, dkk. 2009 Misal �, �,∗ suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � disebut � −Cauchy jika untuk setiap � dan suatu � , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga, � , , � − �, ∀ , . Sehingga, misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � yang � −Cauchy untuk suatu � ditulis dengan { } � −Cauchy untuk � atau { } � −Cauchy. 61 Contoh 4.2.12 V. Gregori, dkk. 2009 Misalkan { } barisan yang monoton naik konvergen ke dan � = { } ∪ { }. Didefinisikan fungsi � , , � = untuk setiap ∈ � dan � , � , , � = min{ , } untuk setiap , ∈ ℕ, � , dan � , , � = min{ , �} untuk setiap ∈ ℕ, � . Maka �, �,∗ adalah ruang metrik fuzzy, dengan ∗ = min{ , }. Barisan { } � −Cauchy, sebab lim →∞ � , , � = . Teorema 4.2.13 di bawah ini menjelaskan kaitan antara definisi barisan Cauchy secara umum dan definisi barisan � −Cauchy dalam suatu ruang metrik fuzzy. Teorema 4.2.13 V. Gregori, dkk. 2009 Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � merupakan barisan Cauchy jika dan hanya jika { } � −Cauchy untuk setiap � . Bukti: Jelas berdasarkan definisi barisan Cauchy di ruang metrik fuzzy. Pengertian barisan � −konvergen dan barisan � −Cauchy telah dijelaskan, maka selanjutnya akan dijelaskan pengertian ruang metrik fuzzy � −lengkap melalui Definisi 4.2.11 di bawah ini. Definisi 4.2.14 V. Gregori, dkk. 2009 Suatu ruang metrik fuzzy �, �,∗ disebut � −lengkap jika setiap barisan � −Cauchy di � merupakan barisan � −konvergen pada suatu titik di �. 62 Contoh 4.2.15 V. Gregori, dkk. 2009 Misalkan { } barisan yang monoton naik konvergen ke dan � = { } ∪ { }. Didefinisikan fungsi � , , � = untuk setiap ∈ � dan � , � , , � = min{ , } untuk setiap , ∈ ℕ, � , dan � , , � = min{ , �} untuk setiap ∈ ℕ, � . Maka �, �,∗ adalah ruang metrik fuzzy, dengan ∗ = min{ , }. Karena lim →∞ � , , � = untuk setiap � , maka { } merupakan barisan Cauchy. Namun karena { } tidak konvergen, akibatnya �, �,∗ bukan ruang metrik fuzzy lengkap. Misalkan { } adalah barisan � −Cauchy di �. Maka { } merupakan barisan yang konvergen ke . Selanjtnya lim →∞ � , , = lim →∞ = , sehingga { } � −konvergen ke . Jadi �, �,∗ adalah ruang metrik fuzzy � −lengkap. 61

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN