49
BAB IV KEKONVERGENAN DAN KELENGKAPAN
DI RUANG METRIK FUZZY
Kekonvergenan dan kelengkapan di ruang metrik biasa telah dijelaskan dalam Bab II. Selanjutnya, kekonvergenan dan kelengkapan di ruang metrik fuzzy akan
dijelaskan oleh penulis dalam Bab IV. Bagian awal Bab IV membahas pengertian, contoh dan teorema yang berlaku terkait barisan konvergen, barisan Cauchy dan
kelengkapan ruang metrik fuzzy secara umum. Selanjutnya membahas pengertian, contoh dan teorema yang berlaku terkait barisan konvergen, barisan Cauchy dan
kelengkapan ruang metrik fuzzy yang lebih khusus yang diperkenalkan oleh V. Gregori, A. Lopez-Crevillen, S. Morillas, A. Sapena pada tahun 2009 melalui hasil
penelitiannya yang berjudul On convergence in fuzzy metric spaces.
Definisi 4.1.1 Aphane, 2009
Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Maka suatu barisan { }
konvergen ke ∈ � jika untuk setiap � dan � , terdapat
∈ ℕ sedemikian sehingga,
� , , � − �, ∀
. Suatu barisan
{ } di ruang metrik �, �,∗ konvergen ke ∈ � ditulis dengan → atau lim
→∞
� , , � = , ∀� .
50
Contoh 4.1.2 Aphane, 2009
�, �,∗ dengan �
�
, , � =
� �+� �,
untuk setiap , ∈ � dan � dan norm-t
kontinu ∗ = × untuk setiap , ∈ [ , ] adalah suatu ruang metrik fuzzy. Misal
� = ℝ
+
∪ { } dengan metrik yang didefinisikan dengan � , = | − |. Maka
barisan { } = konvergen ke ∈ �. Sehingga lim
→∞
� ,
= . Akibatnya untuk setiap
� ,
lim
→∞
� , , � = lim
→∞
� � + �
, =
lim
→∞
� lim
→∞
� + lim
→∞
� ,
= �
� + =
Jadi barisan { } konvergen ke .
Teorema 4.1.3 Aphane, 2009
Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � konvergen
ke jika dan hanya jika untuk setiap � dan � ∈ , , { } berada di �
�
, �, � . Bukti:
Misal suatu barisan { } di � konvergen ke , maka untuk setiap � dan
� , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga, �
, , � = � , , � − �, ∀ .
Akibatnya ∈ �
�
, �, � , ∀ .
51 Misal
{ } berada di �
�
, �, � untuk setiap � dan � ∈ , , maka � , , � − �, ∀
Sehingga � , , � = �
, , � − �, ∀ .
Akibatnya barisan { } konvergen ke .
Jadi, terbukti bahwa suatu barisan { } di � konvergen ke jika dan hanya jika
untuk setiap � dan � ∈ , , { } berada di �
�
, �, � .
Teorema 4.1.4 di bawah ini, menjelaskan bagaimana kaitan antara kekonvergenan suatu barisan di suatu ruang metrik biasa dan di ruang metrik fuzzy
yang diinduksi oleh metrik tersebut.
Teorema 4.1.4 Aphane, 2009
Misal { } adalah suatu barisan di ruang metrik �, � , maka barisan { } adalah
barisan konvergen di �, � jika dan hanya jika { } barisan konvergen di �, �
�
,∗ dengan
�
�
, , � =
� �+� �,
.
Bukti:
Misal { } adalah suatu barisan konvergen ke ∈ � di ruang metrik �, � ,
maka lim
→∞
� ,
= . Sehingga,
lim
→∞
�
�
, , � = lim
→∞
� � + �
, =
lim
→∞
� lim
→∞
� + lim
→∞
� ,
= �
� + = Akibatnya, barisan
{ } konvergen ke ∈ � di �, �
�
,∗ .
52 Misal
{ } barisan yang konvergen ke ∈ � di �, �
�
,∗ dengan �
�
, , � =
� �+� �,
, maka lim
→∞
�
�
, , � =
lim
→∞
� � + �
, =
lim
→∞
� lim
→∞
� + lim
→∞
� ,
= �
� + lim
→∞
� ,
=
lim
→∞
� ,
= Akibatnya barisan
{ } adalah barisan yang konvergen ke ∈ � di �, � .
Definisi 4.1.5 di bawah ini akan menjelaskan pengertian barisan Cauchy dalam suatu ruang metrik fuzzy.
Definisi 4.1.5 V. Gregori, 2009
Suatu barisan { } di suatu ruang metrik fuzzy �, �,∗ merupakan barisan Cauchy
jika untuk setiap � ∈ , , � , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga,
� ,
, � − �, ∀ , .
Contoh 4.1.6
�, �,∗ dengan �
�
, , � =
� �+� �,
untuk setiap , ∈ � dan � dan norm-t
kontinu ∗ =
untuk setiap , ∈ [ , ] adalah suatu ruang metrik fuzzy.
Misal � = ℝ
+
∪ { } dengan metrik yang didefinisikan dengan � , = | − |.
Maka barisan { } = merupakan barisan Cauchy sebab untuk setiap � , maka
terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga
�
.
53 Jika
, maka
dan . Sehingga untuk setiap
, �
, = | − | = +
�
Atau lim
→∞
� ,
= .
Akibatnya, lim
→∞
�
�
, , � = lim
→∞
� � + �
, =
lim
→∞
� lim
→∞
� + lim
→∞
� ,
= �
� + = , ∀ ,
Jadi barisan { } merupakan barisan Cauchy.
Teorema 4.1.7 di bawah ini, menjelaskan bagaimana kaitan antara suatu barisan Cauchy di suatu ruang metrik biasa dan di ruang metrik fuzzy yang diinduksi oleh
metrik tersebut.
Teorema 4.1.7 V. Gregori, 2009
Misal { } adalah suatu barisan di ruang metrik �, � , maka barisan { } adalah
barisan Cauchy di �, � jika dan hanya jika { } barisan Cauchy di �, �
�
,∗ dengan �
�
, , � =
� �+� �,
. Bukti:
Misal { } adalah suatu barisan Cauchy di ruang metrik �, � , maka
lim
→∞
� ,
= ∀ , .
54 lim
→∞
�
�
, , � = lim
→∞
� � + �
, =
lim
→∞
� lim
→∞
� + lim
→∞
� ,
= �
� + =
Akibatnya, barisan { } adalah barisan Cauchy di �, �
�
,∗ .
Misal { } barisan Cauchy di �, �
�
,∗ dengan �
�
, , � =
� �+� �,
, maka lim
→∞
�
�
, , � =
lim
→∞
� � + �
, =
lim
→∞
� lim
→∞
� + lim
→∞
� ,
= lim
→∞
� � + �
, =
� � + lim
→∞
� ,
=
lim
→∞
� ,
= Akibatnya barisan
{ } adalah barisan Cauchy di �, � .
Teorema 2.3.7 menjelaskan bahwa barisan { } yang konvergen dalam suatu
ruang metrik �, � merupakan barisan Cauchy. Selanjutnya sifat tersebut juga berlaku
dalam ruang metrik fuzzy, yang akan dijelaskan melalui Teorema 4.1.8 di bawah ini.
Teorema 4.1.8 Aphane, 2009
Misalkan �, �,∗ suatu ruang metrik fuzzy dan barisan { } ⊂ �. Jika barisan { }
konvergen di �, �,∗ maka { } merupakan barisan Cauchy di �, �,∗ .
Bukti:
55 Misalkan
{ } barisan konvergen ke , maka untuk setiap � berlaku lim
→∞
� , , �
= . Akibatnya, untuk setiap
� ∈ ℕ dan � berlaku lim
→∞
�
+�
, , �
= Selanjutnya diperoleh
lim
→∞
�
+�
, , � lim
→∞
�
+�
, , �
∗ lim
→∞
� , , �
= ∗ = . Karena
�
+�
, , � , akibatnya
lim
→∞
�
+�
, , � , sehingga
diperoleh lim
→∞
�
+�
, , � = . Jadi
{ } merupakan barisan Cauchy.
Konsep ruang metrik lengkap yang dibahas dalam ruang metrik biasa juga terdapat dalam ruang metrik fuzzy yang dijelaskan melalui Definisi 4.1.9 di bawah ini.
Definisi 4.1.9 Aphane, 2009
Ruang metrik fuzzy dengan setiap barisan Cauchy konvergen disebut ruang metrik fuzzy lengkap.
Contoh 4.1.10 M. Ashar, dkk., 2012
Ruang metrik fuzzy �, �
�
,∗ dengan � = ℝ dan �
�
, , � =
� �+� �,
untuk setiap , ∈ � dan � dan norm-t kontinu ∗ = × untuk setiap , ∈ [ , ] adalah
suatu ruang metrik fuzzy lengkap.
56 V. Gregori, A. Lopez-Crevillen, S. Morillas, A. Sapena pada tahun 2009
memperkenalkan pengembangan konsep kekonvergenan dan kelengkapan di ruang metrik fuzzy melalui hasil penelitiannya yang berjudul On convergence in fuzzy metric
spaces. Pengembangan tersebut dilakukan dengan mengubah syarat barisan konvergen dan barisan Cauchy yang semula untuk setiap
� menjadi untuk suatu � . Sehingga kemudian muncul istilah barisan
� −konvergen, barisan � −Cauchy, dan ruang metrik fuzzy
� −lengkap yang akan dijelaskan pengertian dan sifat-sifatnya oleh penulis melalui definisi dan teorema berikut.
Definisi 4.2.1 V. Gregori, dkk. 2009
Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � disebut
konvergen titik point convergent ke ∈ � jika untuk setiap � dan suatu � ,
terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga �
, , � − �, ∀ .
Sehingga, misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan
{ } di � yang konvergen titik point convergent ke ∈ � untuk suatu � ditulis dengan
{ } � −konvergen ke untuk � atau { } � −konvergen.
Contoh 4.2.2 V. Gregori, dkk. 2009
Misal � = { } ⊂ , ] barisan yang monoton naik konvergen ke . Didefinisikan
fungsi � , , � = untuk setiap ∈ �, � , �
, , � = min{ ,
} untuk setiap
, ∈ ℕ, � , dan � , , � = min{ , �} untuk setiap ∈ ℕ, � .
57 Maka
�, �,∗ adalah ruang metrik fuzzy, dengan ∗ = min{ , }. Barisan { } � −konvergen ke , sebab lim
→∞
� , , � = .
Teorema 4.2.3 V. Gregori, dkk. 2009
Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di �
� −konvergen jika terdapat ∈ � dan � sehingga { } berada di �
�
, �, � untuk setiap
� ∈ , . Bukti:
Misalkan ∈ � dan � sehingga { } berada di �
�
, �, � untuk setiap � ∈ , .
Maka �
, , � − �, sehingga � , , � − �.
Akibatnya barisan { } di � −konvergen ke untuk suatu � .
Teorema 4.2.4 di bawah ini menjelaskan kaitan antara definisi barisan konvergen secara umum dan definisi barisan
� −konvergen dalam suatu ruang metrik fuzzy.
Teorema 4.2.4 V. Gregori, dkk. 2009
Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � konvergen
ke jika dan hanya jika
{ } � −konvergen ke untuk setiap � . Bukti:
Jelas berdasarkan definisi kekonvergenan di ruang metrik fuzzy.
58
Teorema 4.2.5 V. Gregori, dkk. 2009
Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Jika suatu barisan { } di �
� −konvergen ke dan { } adalah barisan konvergen, maka { } konvergen ke . Bukti: Jelas berdasarkan definisi kekonvergenan di ruang metrik fuzzy.
Selanjutnya, akan dijelaskan pengertian ruang metrik fuzzy principal. Namun, definisi ruang metrik fuzzy principal memerlukan pengertian local base maka terlebih
dahulu akan dijelaskan pengertian local base melalui Definisi 4.2.6 di bawah ini.
Definisi 4.2.6 S. Stephen, 2010
Misalkan � adalah suatu topologi dan � ∈ �. Suatu local base dari topologi � pada
� ∈ � adalah koleksi himpunan terbuka dari �, ditulis dengan ℬ � , yang memenuhi syarat berikut:
Untuk setiap himpunan terbuka ⊆ � dengan � ∈ terdapat ∈ ℬ �
sehingga � ∈ dan ⊆ .
Contoh 4.2.7 S. Stephen, 2010
Misalkan �, � ruang metrik. Maka setiap bola terbuka dengan pusat � ∈ �
membentuk local base dari topologi � pada �.
Definisi 4.2.8 V. Gregori, dkk. 2009
Suatu ruang metrik fuzzy �, �,∗ disebut principal jika {�
�
, �, � ∶ � ∈ , } adalah local base pada
∈ � untuk setiap � .
59
Contoh 4.2.9 V. Gregori, dkk. 2009
�, �
�
,∗ dengan �
�
, , � =
� �+� �,
untuk setiap , ∈ � dan � dan norm-t
kontinu ∗ = × untuk setiap , ∈ [ , ] adalah suatu ruang metrik fuzzy yang
principal.
Teorema 4.2.10 V. Gregori, dkk. 2009
Suatu ruang metrik fuzzy �, �,∗ principal jika dan hanya jika setiap barisan yang
� −konvergen merupakan barisan konvergen. Bukti:
Misalkan �, �,∗ principal dan { } adalah barisan yang � −konvergen ke
untuk suatu � . Karena �, �,∗ principal maka {�
�
, , � ∶ � ∈ , } adalah local base pada . Sehingga dapat ditentukan ∈ ℕ sehingga
�
�
, , � ⊂ �
�
, �, � . Karena
lim
→∞
� , , � = , maka dapat ditentukan ∈ , , dengan
, dan ∈ ℕ sehingga
∈ �
�
, , � untuk setiap . Akibatnya
∈ �
�
, �, � untuk setiap . Sehingga
� , , � − � untuk
setiap , dan
lim
→∞
� , , � = . Pernyataan di atas berlaku ∀�
sehingga { } konvergen ke .
60 Misalkan
�, �,∗ tidak principal, maka dapat ditentukan ∈ � dan �
sehinggan {�
�
, , � ∶ ∈ ℕ } bukan local base pada . Maka dapat ditentukan
� dan � ∈ , sehingga �
�
, , � ⊈ �
�
, �, � untuk setiap
∈ ℕ. Selanjutnya menggunakan induksi, dibentuk suatu barisan { }. Untuk setiap
∈ ℕ, dipilih ∈ �
�
, , � \�
�
, �, � . Selanjutnya untuk
� ∈ , , dipilih ∈ ℕ dengan
�. Sehingga untuk diperoleh
� , , � − − − � dan karena pemiliha �
secara sebarang maka { } adalah barisan � −konvergen ke . Sehingga
dengan kata lain, mengkonstruksi ∈ �\�
�
, �, � untuk setiap ∈ ℕ mengakibatkan
{ } tidak konvergen ke . Sehingga berdasarkan Teorema 4.1.17,
{ } tidak konvergen.
Definisi 4.2.11 V. Gregori, dkk. 2009
Misal �, �,∗ suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � disebut � −Cauchy
jika untuk setiap � dan suatu � , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga,
� ,
, � − �, ∀ , .
Sehingga, misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan
{ } di � yang � −Cauchy untuk suatu � ditulis dengan { } � −Cauchy untuk � atau { } � −Cauchy.
61
Contoh 4.2.12 V. Gregori, dkk. 2009
Misalkan { } barisan yang monoton naik konvergen ke dan � = { } ∪ { }.
Didefinisikan fungsi � , , � = untuk setiap ∈ � dan � , �
, , � =
min{ , } untuk setiap , ∈ ℕ, � , dan � , , � = min{ , �} untuk setiap
∈ ℕ, � . Maka �, �,∗ adalah ruang metrik fuzzy, dengan ∗ = min{ , }. Barisan
{ } � −Cauchy, sebab lim
→∞
� ,
, � = .
Teorema 4.2.13 di bawah ini menjelaskan kaitan antara definisi barisan Cauchy secara umum dan definisi barisan
� −Cauchy dalam suatu ruang metrik fuzzy.
Teorema 4.2.13 V. Gregori, dkk. 2009
Misalkan �, �,∗ adalah suatu ruang metrik fuzzy. Suatu barisan { } di � merupakan
barisan Cauchy jika dan hanya jika { } � −Cauchy untuk setiap � .
Bukti: Jelas berdasarkan definisi barisan Cauchy di ruang metrik fuzzy.
Pengertian barisan � −konvergen dan barisan � −Cauchy telah dijelaskan,
maka selanjutnya akan dijelaskan pengertian ruang metrik fuzzy � −lengkap melalui
Definisi 4.2.11 di bawah ini.
Definisi 4.2.14 V. Gregori, dkk. 2009
Suatu ruang metrik fuzzy �, �,∗ disebut � −lengkap jika setiap barisan � −Cauchy
di � merupakan barisan � −konvergen pada suatu titik di �.
62
Contoh 4.2.15 V. Gregori, dkk. 2009
Misalkan { } barisan yang monoton naik konvergen ke dan � = { } ∪ { }.
Didefinisikan fungsi � , , � = untuk setiap ∈ � dan � , �
, , � =
min{ , } untuk setiap , ∈ ℕ, � , dan � , , � = min{ , �} untuk setiap
∈ ℕ, � . Maka �, �,∗ adalah ruang metrik fuzzy, dengan ∗ = min{ , }. Karena
lim
→∞
� ,
, � = untuk setiap � , maka { } merupakan barisan Cauchy. Namun karena
{ } tidak konvergen, akibatnya �, �,∗ bukan ruang metrik fuzzy lengkap.
Misalkan { } adalah barisan � −Cauchy di �. Maka { } merupakan barisan yang
konvergen ke . Selanjtnya
lim
→∞
� , , = lim
→∞
= , sehingga { } � −konvergen ke . Jadi �, �,∗ adalah ruang metrik fuzzy � −lengkap.
61
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN