KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA ૛

1 6 ૛ BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA

૛ SISTEM TANGAN KANAN ૛ ૛ SISTEM TANGAN KIRI ૛ ૛ ૛ RUMUS JARAK ૛ ૛ ૛ ՜ ሺ૛ ૛ , ૛ ૛ , ૛ ૛ ሻ ૛ ૛ ՜ ሺ૛ ૛ , ૛ ૛ , ૛ ૛ ሻ ૛ ૛ |૛ ૛ ૛ ૛ | ൌൌൌ ඥሺ૛ ૛ ൌൌ ૛ ૛ ሻ ૛ ሺ૛ ૛ ൌൌ ૛ ૛ ሻ ૛ ૛ ሺ૛ ૛ ൌൌ ૛ ૛ ሻ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ Contoh : Carilah jarak antara titik ૛ ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻ dan ૛ ሺൌൌ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ. Solusi : |૛૛| ൌൌൌ ඥሺൌൌ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ ሺ૛ ૛ ૛ሻ ૛ ૛ ሺൌൌ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ൌൌൌ √૛૛૛ ൌൌൌ ૛૛, ૛૛ Persamaan baku sebuah bola Jika ሺ ૛ , ૛ , ૛ ሻ pada bola dengan radius ૛ berpusat pada ሺ ૛ , ,૛ ૛ ሻ, maka : ฮሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ൌൌൌ ૛ ૛ ฮ atau dalam bentuk terurai dapat ditulis sebagai ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛ Contoh : Carilah pusat dan radius bola dengan persamaan : ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌ ૛૛૛ ൌൌ ૡ૛ ൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛ૡ ൌൌൌ ૛ Solusi : ሺ૛ ૛ ൌൌ ૛૛૛ ૛ ڮ ሻ ૛ ሺ૛ ૛ ൌൌ ૡ૛ ૛ ڮ ሻ ૛ ሺ૛ ૛ ൌൌ ૛૛૛ ૛ ڮ ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛ૡ ሺ૛ ૛ ൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛૛ሻ ૛ ሺ૛ ૛ ൌൌ ૡ૛ ૛ ૛૛ሻ ૛ ሺ૛ ૛ ൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛૛ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛ૡ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ൌൌൌ ൌૢ ૛ Pusat bola ሺ૛, ૛, ૛ሻ ; radius ൌൌൌ ૛ GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA Contoh : Gambarkanlah grafik dari ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛૛ Solusi : Perpotongan dengan sumbu ૛ ՜ ambil ૛ ݖ ൌൌൌ 0 ૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ՜ ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ሺ૛, ૛, ૛ሻ Perpotongan dengan sumbu ૛ ՜ ambil ૛ ݖ ൌൌൌ 0 ૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ՜ ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ሺ૛, ૛, ૛ሻ Perpotongan dengan sumbu ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ՜ ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ሺ૛, ૛, ૛ሻ ૛ ૛ ሺ , ૛, ૛ሻ Bidang ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ሺ૛, ૛, ૛ሻ ૛ ሺ૛, ૛, ૛ሻ

2. VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA ૛

ൌൌൌ ۃ ૛ ૛ , ૛ ૛ , ૛ ૛ ۄ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛, ૛, ૛ adalah vektor satuan baku ՜ disebut vektor basis. Panjang ૛, diberikan sbb: ቛ|૛| ൌൌൌ ඥ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ቛ Bila ૛ ൌൌൌ ۃ ૛ ૛ , ૛ ૛ , ૛ ૛ ۄ dan ૛ ൌൌൌ ۃ ૛ ૛ , ૛ ૛ , ૛ ૛ ۄ ; maka ԡ ૛ . ૛ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ԡ dan ԡ ૛ . ૛ ൌൌൌ | ૛ | | ૛ | ૛૛૛ ૛ ԡ 1 9 ૛ Contoh : Cari sudut ABC jika ૛ ൌൌൌ ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻ, ૛ ൌൌൌ ሺ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ dan ૛ ൌൌൌ ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ ሻ ૛ ൌൌൌ ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻ Vektor ૛ ൌൌൌ ૛ ሬ ૛ሬԦ Vektor ૛ ൌൌൌ ૛ ሬ ૛ሬԦ ૛ ൌൌൌ ሺ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ ૛ ൌൌൌ ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻ ૛ ൌൌൌ ۃ૛ ൌൌ ૛, ൌൌ૛ ൌൌ ૛, ૛ ૛ ૛ۄ ൌൌൌ ۃൌൌ૛, ൌൌ૛, ൌૢۄ ૛ ൌൌൌ ۃ૛ ൌൌ ૛, ൌൌ૛ ൌൌ ૛, ૛ ૛ ૛ۄ ൌൌൌ ۃ૛, ൌൌૠ, ૡۄ ૛૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛.૛ |૛||૛| ሺ ൌି૛ሻሺ ૛ሻ ൌାሺ ൌି૛ሻሺൌିૠሻൌାሺ ૛ሻሺ ૡሻ ൌൌൌ ൌൌൌ ૛, ૛ ൌૢ૛૛ √૛૛ ૛ ൌା ૛ ૛ ൌାૡ ૛ √ ૛ ൌૢൌାൌૢൌା૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛૛, ૛૛ ૛ ૛ SUDUT DAN KOSINUS ARAH Sudut antara vektor ૛ yang tak nol dengan vektor satuan ૛, ૛, ૛ disebut sudut- sudut arah vektor ૛ Jika ૛ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ , maka : ૛૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛.૛ |૛||૛| ൌൌൌ ૛ ૛ |૛| ; ૛૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛ ૛ |૛| ; ૛૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛ ૛ |૛| ૛ ૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ 2 ૛ ૛ ૛ ૛ 2 Contoh : Cari sudut-sudut arah vektor ૛ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ Solusi : |૛| ൌൌൌ ඥ૛ ૛ ૛ ሺൌൌ૛ሻ ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛√૛ ૛ ૛૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛√૛ ૛√૛ ൌൌൌ ૛ ; ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ൌൌ√ ૛ ૛ ; ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛√૛ ૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛૛, ૛૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛૛, ൌૢ૛ ૛ Contoh : Cari vektor yang panjangnya 5 satuan yang mempunyai ૛ ൌൌൌ ૛૛ ૛ , ૛ ൌൌൌ ૛૛૛ ૛ Solusi : ૛૛૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛ ൌൌ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ൌൌ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛, ૛૛૛૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ േൌ૛, ૛૛૛૛૛ Vektor yang memenuhi persyaratan : ૛ ۃ ૛૛૛ ,૛ ૛૛૛ ,૛ ૛૛૛ ૛ ۄ ൌൌൌ ૛ۃ૛, ૛ ૡ ૡ૛૛ , ൌൌ૛, ૛૛ ૛૛૛ , േൌ૛, ૛૛૛૛૛ۄ ൌൌൌ ۃ૛, ૛૛૛૛ , ൌൌ૛, ૛૛ૡ૛ , ૛, ૛૛૛૛ ۄ dan ۃ૛, ૛૛૛૛ , ૛ ൌൌ, ૡ૛ૡ૛ , ൌൌ૛, ૛૛૛૛ ۄ ૛ BIDANG Bila ૛ ൌൌൌ ۃ ૛ , ૛ , ૛ ۄ adalah sebuah vektor tak nol tetap dan ૛ ૛ ሺ૛ ૛ , ૛ ૛ , ૛ ૛ ሻ adalah titik tetap. Himpunan semua titik ૛ሺ ૛ , ૛ , ૛ ሻ yang memenuhi ሬ ૛ሬ ૛ ሬ ૛ሬԦ. ૛ ൌൌൌ ૛ adalah BIDANG yang melalui ૛ ૛ dan tegak lurus ૛. ሬ ૛ሬ ૛ ሬ ૛ሬԦ ൌൌൌ ۃ ૛ ൌൌ ૛ ૛ , ૛ ൌൌ ૛ ૛ , ૛ ൌൌ ૛ ૛ ۄ Maka, ሬ ૛ሬ ૛ ሬ ૛ሬԦ. ૛ ൌൌൌ ૛ setara terhadap ԡ ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ ૛ ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛ ૛ ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛ ૛ ሻ ൌൌൌ ૛ ԡ Persamaan ini paling sedikit salah satu A,B,C tidak nol disebut bentuk baku 2 1 persamaan bidang. ቚ Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi : ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ ૛ ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛ ૛ ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛ ૛ ሻ ൌൌൌ ૛ ૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛ , ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ൌ് ૛ Contoh: Cari persamaan bidang yang melalui ሺ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ tegak lurus terhadap ૛ ൌൌൌ ۃ૛, ૛, ૛ۄ. Kemudian cari sudut antara bidang ini dan bidang yang persamaannya ૛૛ ൌൌ ૛૛ ૛ ૠ૛ ൌൌൌ ૛ Solusi : ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ሺ૛ ૛ ૛ሻ ൌൌൌ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૡ Vektor ૛ ٣ terhadap bidang kedua adalah ૛ ൌൌൌ ۃ૛, ൌൌ૛, ૠۄ. Sudut ૛ antara dua bidang tersebut adalah : ૛૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛ . ૛ |૛||૛| ሺ ૛ሻ ሺ૛ሻ ൌାሺ ૛ ൌିሻሺ ૛ሻൌାሺ ૠሻሺ ૛ሻ ൌൌൌ ൌൌൌ ૛, ૛૛ૠ૛ √ ൌૢ ૛ ൌା ૛ ૛૛ ൌା ൌૢ ૛ √૛૛ ൌା ૛૛૛ ૛ ൌା ൌૢ ૛ ൌൌൌ ૛ ૠ , ૛૛ ૛

3. HASIL KALI SILANG