1 6
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA
SISTEM TANGAN KANAN
SISTEM TANGAN KIRI
RUMUS JARAK
՜ ሺ
,
,
ሻ
՜ ሺ
,
,
ሻ
|
| ൌൌൌ ඥሺ
ൌൌ
ሻ
ሺ
ൌൌ
ሻ
ሺ
ൌൌ
ሻ
Contoh : Carilah jarak antara titik ሺ, ൌൌ, ሻ dan ሺൌൌ, , ൌൌሻ.
Solusi :
|| ൌൌൌ ඥሺൌൌ ൌൌ ሻ
ሺ ሻ
ሺൌൌ ൌൌ ሻ
ൌൌൌ √ ൌൌൌ ,
Persamaan baku sebuah bola
Jika ሺ
,
,
ሻ pada bola dengan radius berpusat pada ሺ
,
,
ሻ, maka :
ฮሺ ൌൌ ሻ
ሺ ൌൌ ሻ
ሺ ൌൌ ሻ
ൌൌൌ
ฮ
atau dalam bentuk terurai dapat ditulis sebagai
ൌൌൌ
Contoh : Carilah pusat dan radius bola dengan persamaan :
ൌൌ ൌൌ ૡ ൌൌ ૡ ൌൌൌ
Solusi :
ሺ
ൌൌ ڮ ሻ ሺ
ൌൌ ૡ ڮ ሻ ሺ
ൌൌ ڮ ሻ ൌൌൌ ൌൌૡ ሺ
ൌൌ ሻ ሺ
ൌൌ ૡ ሻ ሺ
ൌൌ ሻ ൌൌൌ ൌൌૡ
ሺ ൌൌ ሻ
ሺ ൌൌ ሻ
ሺ ൌൌ ሻ
ൌൌൌ ൌૢ
Pusat bola ሺ, , ሻ ; radius ൌൌൌ
GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA Contoh : Gambarkanlah grafik dari
ൌൌൌ
Solusi : Perpotongan dengan sumbu ՜ ambil
ݖ
ൌൌൌ 0 ൌൌൌ ՜ ൌൌൌ ՜ ሺ, , ሻ
Perpotongan dengan sumbu ՜ ambil
ݖ
ൌൌൌ 0
ൌൌൌ ՜
ൌൌൌ ՜ ሺ, , ሻ
Perpotongan dengan sumbu
ൌൌൌ ՜
ൌൌൌ ՜ ሺ, , ሻ
ሺ , , ሻ
Bidang ൌൌൌ
ሺ, , ሻ
ሺ, , ሻ
2. VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA
ൌൌൌ ۃ
,
,
ۄ ൌൌൌ
, , adalah vektor satuan baku ՜ disebut vektor basis. Panjang , diberikan sbb:
ቛ|| ൌൌൌ ඥ
ቛ
Bila
ൌൌൌ ۃ
,
,
ۄ dan ൌൌൌ ۃ
,
,
ۄ ; maka
ԡ
.
ൌൌൌ
ԡ
dan
ԡ
.
ൌൌൌ |
| |
|
ԡ
1 9
Contoh : Cari sudut ABC jika
ൌൌൌ ሺ, ൌൌ, ሻ,
ൌൌൌ ሺ, , ൌൌሻ dan ൌൌൌ ሺ, ൌൌ,
ሻ
ൌൌൌ ሺ,
ൌൌ, ሻ
Vektor
ൌൌൌ ሬ ሬԦ
Vektor
ൌൌൌ ሬ ሬԦ
ൌൌൌ ሺ, , ൌൌሻ
ൌൌൌ ሺ, ൌൌ, ሻ
ൌൌൌ ۃ ൌൌ , ൌൌ ൌൌ , ۄ ൌൌൌ ۃൌൌ, ൌൌ, ൌૢۄ
ൌൌൌ ۃ ൌൌ , ൌൌ ൌൌ , ۄ ൌൌൌ ۃ,
ൌൌૠ, ૡۄ
ൌൌൌ
. ||||
ሺ ൌିሻሺ ሻ ൌାሺ ൌିሻሺൌିૠሻൌାሺ ሻሺ ૡሻ
ൌൌൌ ൌൌൌ ,
ൌૢ
√ ൌା
ൌାૡ √
ൌૢൌାൌૢൌା
ൌൌൌ ,
SUDUT DAN KOSINUS ARAH
Sudut antara vektor yang tak nol dengan vektor satuan , , disebut sudut-
sudut arah vektor
Jika ൌൌൌ
, maka :
ൌൌൌ
. ||||
ൌൌൌ
||
;
ൌൌൌ
||
;
ൌൌൌ
||
ൌൌൌ
2
2
Contoh : Cari sudut-sudut arah vektor
ൌൌൌ
Solusi :
|| ൌൌൌ ඥ
ሺൌൌሻ
ൌൌൌ √
ൌൌൌ √
√ ൌൌൌ
;
ൌൌൌ ൌൌ√
;
ൌൌൌ
√
ൌൌൌ ,
ൌൌൌ
ൌൌൌ , ൌૢ
Contoh : Cari vektor yang panjangnya 5 satuan yang mempunyai
ൌൌൌ
, ൌൌൌ
Solusi :
ൌൌൌ ൌൌ
ൌൌ
ൌൌൌ ,
ൌൌൌ േൌ,
Vektor yang memenuhi persyaratan :
ۃ
,
,
ۄ ൌൌൌ ۃ,
ૡ ૡ , ൌൌ, , േൌ, ۄ ൌൌൌ ۃ, , ൌൌ, ૡ , ,
ۄ dan
ۃ, ,
ൌൌ, ૡૡ , ൌൌ,
ۄ
BIDANG
Bila ൌൌൌ
ۃ
,
,
ۄ
adalah sebuah vektor tak nol tetap dan
ሺ
,
,
ሻ
adalah titik tetap. Himpunan semua titik ሺ
,
,
ሻ yang memenuhi ሬ ሬ
ሬ ሬԦ.
ൌൌൌ adalah BIDANG yang melalui
dan tegak lurus .
ሬ ሬ
ሬ ሬԦ ൌൌൌ ۃ
ൌൌ
, ൌൌ
, ൌൌ
ۄ
Maka, ሬ ሬ
ሬ ሬԦ.
ൌൌൌ setara terhadap
ԡ
ሺ ൌൌ
ሻ ሺ ൌൌ
ሻ ሺ ൌൌ
ሻ ൌൌൌ ԡ
Persamaan ini paling sedikit salah satu A,B,C tidak nol disebut bentuk baku
2 1
persamaan bidang.
ቚ
Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :
ሺ ൌൌ
ሻ ሺ ൌൌ
ሻ ሺ ൌൌ
ሻ ൌൌൌ
ൌൌൌ
,
ൌ്
Contoh: Cari persamaan bidang yang melalui
ሺ, , ൌൌሻ tegak lurus terhadap ൌൌൌ ۃ, , ۄ. Kemudian cari sudut antara bidang ini dan bidang yang persamaannya
ൌൌ ૠ ൌൌൌ
Solusi :
ሺ ൌൌ ሻ ሺ ൌൌ ሻ ሺ ሻ ൌൌൌ
ൌൌൌ ૡ
Vektor
٣ terhadap bidang kedua adalah ൌൌൌ ۃ, ൌൌ, ૠۄ. Sudut
antara dua bidang tersebut adalah :
ൌൌൌ
.
||||
ሺ ሻ ሺሻ ൌାሺ ൌିሻሺ ሻൌାሺ ૠሻሺ ሻ
ൌൌൌ ൌൌൌ , ૠ
√ ൌૢ
ൌା ൌା ൌૢ √
ൌା ൌା ൌૢ
ൌൌൌ
ૠ ,
3. HASIL KALI SILANG