HASIL KALI SILANG | ૛ Dua vektor ૛ dan ૛ dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika ૛ ૛ ૛

ቚ Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi : ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ ૛ ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛ ૛ ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛ ૛ ሻ ൌൌൌ ૛ ૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛ , ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ൌ് ૛ Contoh: Cari persamaan bidang yang melalui ሺ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ tegak lurus terhadap ૛ ൌൌൌ ۃ૛, ૛, ૛ۄ. Kemudian cari sudut antara bidang ini dan bidang yang persamaannya ૛૛ ൌൌ ૛૛ ૛ ૠ૛ ൌൌൌ ૛ Solusi : ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ሺ૛ ૛ ૛ሻ ൌൌൌ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૡ Vektor ૛ ٣ terhadap bidang kedua adalah ૛ ൌൌൌ ۃ૛, ൌൌ૛, ૠۄ. Sudut ૛ antara dua bidang tersebut adalah : ૛૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛ . ૛ |૛||૛| ሺ ૛ሻ ሺ૛ሻ ൌାሺ ૛ ൌିሻሺ ૛ሻൌାሺ ૠሻሺ ૛ሻ ൌൌൌ ൌൌൌ ૛, ૛૛ૠ૛ √ ൌૢ ૛ ൌା ૛ ૛૛ ൌା ൌૢ ૛ √૛૛ ൌା ૛૛૛ ૛ ൌା ൌૢ ૛ ൌൌൌ ૛ ૠ , ૛૛ ૛

3. HASIL KALI SILANG

Hasil kali silang hasil kali vektor atau cross product, ૛ ૛ ૛ untuk ૛ ൌൌൌ ۃ ૛ ૛ , ૛ ૛ , ૛ ૛ ۄ dan ૛ ൌൌൌ ۃ ૛ ૛ , ૛ ૛ , ૛ ૛ ۄ didefinisikan sebagai ԡ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ۃ ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌ ૛ ૛ ૛ ૛ , ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌ ૛ ૛ ૛ ૛ , ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌ ૛ ૛ ૛ ૛ ۄԡ Untuk memudahkan, gunakan pengertian determinan ૛ ૛ ૛ ૛ ቚ ൌൌൌ ૛ ૛ ൌൌ ૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ อ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ อ ൌൌൌ ૛ ૛ อ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ อ ൌൌ ૛ ૛ อ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ อ ૛ ૛ ૛ อ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ อ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛ ૛ ฬ ૛ ૛ ૛ ૛ ฬ ൌൌ ૛ ૛ ฬ૛ ૛ ૛ ૛ ฬ ૛ ૛ ૛ ฬ૛ ૛ ૛ ૛ ฬ Dengan determinan, ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ อ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ อ ൌൌൌ ቚ૛ ૛ ૛ ૛ ቚ ૛ ൌൌ ቚ૛ ૛ ૛ ૛ ቚ ૛ ૛ ቚ૛ ૛ ૛ ૛ ቚ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ԡ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ൌൌሺ ૛ ૛ ૛ ሻ ԡ ՜ hukum anti komutatif Contoh : Andaikan ૛ ൌൌൌ ۃ૛, ૛ ൌൌ, ൌൌ૛ۄ dan ૛ ൌൌൌ ۃൌൌ૛, ૛, ૛ۄ Hitunglah ૛ ૛ ૛ dan ૛ ૛ ૛ menggunakan definisi determinan Solusi : ૛ ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ อൌൌ૛ ૛ ૛ อ ൌൌൌ ૛ ቚ ૛ ૛ ቚ ൌൌ ૛ ቚ ቚ ૛ ૛ ቚ ቚ ૛ ൌൌ૛ ൌൌ૛ ൌൌ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌ૛ ൌൌൌ ૛ ൌൌ૛ ൌൌ ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ อ ૛ ൌൌ૛ ൌൌ૛อ ൌൌൌ ૛ ቚ ૛ ૛ ቚ ൌൌ ૛ ቚ ቚ ૛ ૛ ቚ ቚ ൌൌ૛ ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛ Teorema : Andaikan ૛ dan ૛ vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan ૛ sudut antara mereka, Maka : 1. ૛. ሺ ૛ ૛ ૛ ሻ ൌൌൌ ૛ ൌൌൌ ૛. ሺ ૛ ૛ ૛ ሻ ՜ ૛ ૛ ૛ ٣ terhadap ૛ , ૛ 2. | ૛ ૛ ૛ | ൌൌൌ | ૛ | | ૛ | ૛૛૛ ૛

3. Dua vektor ૛ dan ૛ dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika

૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛ Contoh : Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik ૛ ૛ ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻ, ૛ ૛ ሺ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ, ૛ ૛ ૛ ሺൌൌ, ૛ ൌൌ, ૛ሻ Solusi : ૛ ൌൌൌ ሬ ૛ ሬ ૛ ሬ ૛ ሬ ૛ Ԧ ൌൌൌ ۃൌൌ૛, ൌൌ૛, ૛ۄ dan ૛ ൌൌൌ ሬ ૛ ሬ ૛ ሬ ૛ ሬ ૛ Ԧ ൌൌൌ ۃൌൌ૛, ൌൌ૛, ૛ۄ Maka, ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ อ ૛ ൌൌ ૛ ൌൌ ૛ ൌൌ ૛ ൌൌ ૛อ ൌൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛૛૛ ൌൌ ૛૛ ૛ Bidang yang melalui ૛ ሺ , ૛, ൌൌ૛ሻ dengan normal ૛૛૛ ૛ ૛૛૛ ൌൌ ૛૛ mempunyai persamaan : ૛૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛૛ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ൌൌ ૛ሺ૛ ૛ ૛ሻ ൌൌൌ ૛ atau ૛૛૛ ૛ ૛૛૛ ൌൌ ૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ૛ SIFAT-SIFAT ALJABAR TEOREMA : Jika ૛, ૛ dan ૛ adalah vektor dalam ruang dimensi tiga dan ૛ skalar, maka : 1. ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ൌൌሺ ૛ ૛ ૛ ሻ

2. ૛

૛ ሺ૛ ૛ ૛ሻ ൌൌൌ ሺ ૛ ૛ ૛ ሻ ૛ ሺ ૛ ૛ ૛ ሻ

3. ૛

ሺ ૛ ૛ ૛ ሻ ൌൌൌ ሺ ૛ ૛ ሻ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛ ૛ ሺ૛૛ሻ 4. ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛ 5. ૛ ૛ ૛ ሻ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛ሺ ૛ ૛ ૛ ሻ

6. ૛

૛ ሺ ૛ ૛ ૛ ሻ ൌൌൌ ሺ ૛ ૛ ૛ ሻ૛ ൌൌ ሺ ૛ ૛ ૛ ሻ૛

4. Garis dan Kurva dalam Ruang Dimensi Tiga