ቚ
Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :
ሺ ൌൌ
ሻ ሺ ൌൌ
ሻ ሺ ൌൌ
ሻ ൌൌൌ
ൌൌൌ
,
ൌ്
Contoh: Cari persamaan bidang yang melalui
ሺ, , ൌൌሻ tegak lurus terhadap ൌൌൌ ۃ, , ۄ. Kemudian cari sudut antara bidang ini dan bidang yang persamaannya
ൌൌ ૠ ൌൌൌ
Solusi :
ሺ ൌൌ ሻ ሺ ൌൌ ሻ ሺ ሻ ൌൌൌ
ൌൌൌ ૡ
Vektor
٣ terhadap bidang kedua adalah ൌൌൌ ۃ, ൌൌ, ૠۄ. Sudut
antara dua bidang tersebut adalah :
ൌൌൌ
.
||||
ሺ ሻ ሺሻ ൌାሺ ൌିሻሺ ሻൌାሺ ૠሻሺ ሻ
ൌൌൌ ൌൌൌ , ૠ
√ ൌૢ
ൌା ൌା ൌૢ √
ൌା ൌା ൌૢ
ൌൌൌ
ૠ ,
3. HASIL KALI SILANG
Hasil kali silang hasil kali vektor atau cross product,
untuk ൌൌൌ ۃ
,
,
ۄ
dan
ൌൌൌ ۃ
,
,
ۄ didefinisikan sebagai
ԡ
ൌൌൌ ۃ
ൌൌ
,
ൌൌ
,
ൌൌ
ۄԡ
Untuk memudahkan, gunakan pengertian determinan
ቚ ൌൌൌ
ൌൌ
อ
อ ൌൌൌ
อ
อ ൌൌ
อ
อ
อ
อ
ൌൌൌ
ฬ
ฬ ൌൌ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
Dengan determinan,
ൌൌൌ อ
อ ൌൌൌ ቚ
ቚ ൌൌ ቚ
ቚ ቚ
ቚ
ԡ
ൌൌൌ ൌൌሺ
ሻ ԡ
՜ hukum anti komutatif Contoh : Andaikan
ൌൌൌ ۃ,
ൌൌ, ൌൌۄ dan ൌൌൌ ۃൌൌ, , ۄ Hitunglah
dan menggunakan definisi determinan Solusi :
ൌൌ
ൌൌ
ൌൌൌ อൌൌ อ ൌൌൌ ቚ
ቚ ൌൌ ቚ ቚ
ቚ ቚ
ൌൌ ൌൌ
ൌൌ ൌൌ
ൌൌ
ൌൌ
ൌൌൌ
ൌൌ ൌൌ
ൌൌ ൌൌ
ൌൌ
ൌൌ
ൌൌൌ อ ൌൌ ൌൌอ ൌൌൌ ቚ
ቚ ൌൌ ቚ ቚ
ቚ ቚ
ൌൌ
ൌൌ
ൌൌ
ൌൌൌ
Teorema :
Andaikan dan vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan sudut antara
mereka, Maka : 1.
. ሺ
ሻ ൌൌൌ ൌൌൌ . ሺ
ሻ ՜
٣
terhadap
,
2. |
| ൌൌൌ |
|
|
|
3. Dua vektor dan dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika
ൌൌൌ
Contoh : Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik
ሺ, ൌൌ, ሻ,
ሺ, , ൌൌሻ,
ሺൌൌ,
ൌൌ, ሻ
Solusi :
ൌൌൌ ሬ ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ ൌൌൌ ۃൌൌ, ൌൌ, ۄ
dan
ൌൌൌ ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ ൌൌൌ ۃൌൌ, ൌൌ, ۄ
Maka,
ൌൌൌ อ
ൌൌ
ൌൌ
ൌൌ
ൌൌ
อ ൌൌൌ
ൌൌ
Bidang yang melalui
ሺ , , ൌൌሻ dengan normal ൌൌ mempunyai persamaan :
ሺ ൌൌ ሻ ሺ ൌൌ ሻ ൌൌ ሺ ሻ ൌൌൌ
atau
ൌൌ ൌൌൌ
SIFAT-SIFAT ALJABAR
TEOREMA : Jika
, dan adalah vektor dalam ruang dimensi tiga dan skalar, maka : 1.
ൌൌൌ ൌൌሺ
ሻ
2.
ሺ ሻ
ൌൌൌ ሺ
ሻ ሺ
ሻ
3.
ሺ
ሻ ൌൌൌ ሺ
ሻ
ൌൌൌ
ሺሻ
4.
ൌൌൌ
ൌൌൌ
5.
ሻ
ൌൌൌ ሺ
ሻ
6.
ሺ
ሻ
ൌൌൌ ሺ
ሻ ൌൌ ሺ
ሻ
4. Garis dan Kurva dalam Ruang Dimensi Tiga