Distribusi Gamma dicirikan oleh adanya dua parameter yaitu α dan β. Untuk
suatu nilai parameter α dan β tertentu, grafik distribusi Gamma yang mempunyai
fungsi kepekatan peluang exp
adalah sebagai berikut :
f
X Gambar 7 Grafik distribusi Gamma dengan nilai parameter
α dan β tertentu Dengan melihat grafik bentuk distribusi umur penduduk wanita Gambar 6
dan grafik distribusi gamma Gambar 7 terdapat kemiripan. Kedua grafik distribusi tersebut menunjukkan bahwa data pada awal kejadian rendah kemudian
meninggi dan selanjutnya menurun menuju nol seiring bertambahnya waktu. Untuk selanjutnya dibahas penggunaan metode Gamma dalam mencari momen
pertama, kedua, ketiga dan keempat dalam fungsi distribusi umur penduduk wanita.
4.4.2 Mencari nilai , dan
Diketahui fungsi kepekatan peluang dari distribusi Gamma adalah
1
1 exp
x f
x x
Г
4.13
dengan menggunakan fungsi pembangkit momen , maka
persamaan 4.13 menjadi
1
1 exp
tx x
x M
t e
x dx
Г
1 1
1
x t
x
M t
x e
dx Г
4.14
pilih
1 x
t y
dengan 1
t
4.15
dan 1
y x
t
4.16
1 dx
dy t
4.17
sehingga dengan mensubstitusi persamaan 4.15, 4.16, dan 4.17 ke dalam persamaan 4.14 akan diperoleh persamaan sebagai berikut :
1 1
1
x t
x
M t
x e
dx Г
1
1 1
1
y
y e
dy Г
t t
1
1 1
1
y
y e
dy Г
t t
1
1 1
y
t y
e dy Г
t
1 1
1 1
1
y
y e dy
t t
Г
1 1
1 1
1 1
y
y e dy
Г t
t
1 1
1 t
Г
1 1
t
,
1 t
4.18 Jadi
1
x
M t
t
4.19
dengan menurunkan persamaan 4.19 maka diperoleh persamaan sebagai berikut
1
1
x
M t
t
1
1 t
4.20 sehingga untuk
1 1
1 0 E X
M
4.21 dengan menurunkan persamaan 4.20 maka diperoleh persamaan sebagai berikut
1
1 d
M t
t dt
2
1 1
t
2 2
2
1 t
4.22 sehingga untuk
2 2
2 2
1
1 0 E X
M
2 2
4.23 dengan menurunkan persamaan 4.22 maka diperoleh persamaan sebagai berikut:
2 2
3
1 d
M t
t dt
2 2
3
2 1
t
2 2
2 3
2 1
t
3 3
2 3
3 3
3 2
1 t
4.24 sehingga untuk
3 3
2 3
3 3
3
3 2
E X M
4.25 dengan menurunkan persamaan 4.24 maka akan diperoleh persamaan sebagai
berikut :
4 3
3 2
3 3
3
3 2
1 d
M t
t dt
3 3
2 3
3 4
3 2
3 1
t
4 4
3 4
2 4
4 4
6 11
6 1
t
4.26 untuk
4 4
4 4
3 4
2 4
4 4
6 11
6 E X
M
4.27 Empat nilai harapan di atas yaitu persamaan 4.21, 4.23, 4.25 dan 4.27
digunakan untuk mencari nilai kumulant ke-1 sampai dengan kumulant ke-4 pada fungsi distribusi umur penduduk wanita dalam metode Gunasekaran-Palmore dan
modifikasinya. Perhitungan nilai kumulant ke-1 sampai dengan ke-4 dapat dilihat pada Lampiran 1.
4.4.3 Pendugaan Parameter Distribusi Gamma
