modifikasinya. Perhitungan nilai kumulant ke-1 sampai dengan ke-4 dapat dilihat pada Lampiran 1.
4.4.3 Pendugaan Parameter Distribusi Gamma
Fungsi Gamma memiliki fungsi kepekatan peluang :
1
1
x
f x x
e
4.28
Berikut ini tahapan pendugaan parameter. 1.
1
, ,
n i
i
L f X
1
1 1
1
n i
i
X n
n i
i
X e
2. log
, L
1 1
1
log log
log log[
]
n n
n i
i i
i i
i
n n
X X
X
Untuk memperoleh nilai penduga bagi α dan β yang memaksimumkan
fungsi log-likehood, turunan pertama dari log L α,β terhadap α dan log Lα,β
terhadap β harus sama dengan 0, sehingga:
1.
, logL
1 1
log n log
log[ ]
log[ ]
n n
i i
i i
n n
X X
1 1
2
log log
log[ ]
log[ ]
n n
i i
i i
n n
X X
1 2
n i
i
X
1 1
2 2
2 2
2
log log
log log
n n
i i
i i
X X
n n
n
1 1
2 2
2 2
log log
log log
n n
i i
i i
X X
n n
1 2
n i
i
X
1 2
2 n
i i
X n
1 n
i i
X n
1 n
i i
X n
Jadi
1 n
i i
X n
4.29
2.
1
log 0,
[ ]
,
n i
i
n n PolyGamma
U logL
Hasil turunan parsial = 0 tidak dapat disajikan dalam bentuk analitik,
sehingga tidak dapat diperoleh secara eksplisit. Dengan bantuan software
Mathematica 7.0 diperoleh hasil secara numerik.
4.4.5 Modifikasi Model
Dari data distribusi penduduk wanita 40 negara didapat masing-masing nilai
α dan β dengan menggunakan metode Kemungkinan Maksimum seperti terlihat pada Lampiran 6. Selanjutnya nilai
α dan β tersebut digunakan pada persamaan 4.21, 4.23, dan 4.25 untuk mendapatkan nilai peubah CVAG dan
K
3
bentuk kontinu seperti pada Lampiran 3. Tahap berikutnya adalah melakukan fitting model seperti pada Model 11 dengan menggunakan gugus data I. Model
dapat ditulis sebagai berikut :
Model 13
3
0, 0268 0,3564ln 0, 0873
0, 4333ln 0, 7969ln
GRR AHH
CVAG K
CWR
2
0,940 R adj
4.30
Hal ini menunjukkan Model 13 dengan fungsi distribusi umur bentuk kontinu diperoleh keragaman sebesar 94,0 dari model menggunakan gugus data I.
Demikian juga jika menggunakan gugus data II maka didapat nilai MAPE
eksternal sebesar 14,0 yaitu lebih kecil dibandingkan Model 11 dengan
fungsi distribusi umur bentuk diskrit.
Dari uraian di atas, maka dibandingkan Model 11 dan Model 13 seperti disajikan pada Tabel 7 berikut :
Tabel 7 Perbandingan Nilai R
2
adj dan MAPE Model 11 dan Model 13
Model Validasi
Model 11 Model 13
R
2
adj
94,3 94,0
MAPE int 3,1
3,3 MAPEeks
14,3 14,0
Berdasarkan Tabel 7, terlihat bahwa Model 11 dan Model 13 adalah model modifikasi terbaik. Model 11 dengan fungsi distribusi umur penduduk wanita
diskrit menghasilkan nilai R
2
adj sebesar 94,3 dari model, nilai MAPE internal sebesar 3,1 dan MAPE eksternal sebesar 14,3. Model 13 dengan fungsi
distribusi umur penduduk wanita kontinu menghasilkan nilai
2
R adj sebesar 94,0, nilai MAPE internal sebesar 3,3 dan MAPE eksternal sebesar 14,0.
Berikut disajikan selisih nilai dari GRR asli dengan GRR duga pada Model 13. Tabel 8 Nilai galat Model 13 pada gugus data II
No Negara
GRR duga GRR asli
Error 1
Armenia 0,72798
0,70 0,02554
2 Croatia
0,67878 0,72
0,03829 3
Czech Rep 0,57042
0,66 0,09298
4 Greece
0,73074 0,73
0,00096 5
Hungary 0,69188
0,65 0,03822
6 India
1,20119 1,41
0,21344 7
Israel 1,29372
1,44 0,15018
8 Kazakhastan
0,94297 1,29
0,34970 9
Korea 0,90988
0,57 0,33915
10 Lithuania
0,59345 0,72
0,12362 11
Malaysia 1,36922
1,07 0,29604
12 Moldova
0,59632 0,61
0,01343 13
Norwegia 0,94000
1,32 0,37706
14 Portugal
0,73203 0,67
0,06374 15
Rusia 1,07179
0,73 0,34495
16 Singapore
0,66286 0,62
0,03847 17
Slovenia 0,68611
0,64 0,04220
18 Swedia
0,91015 0,95
0,03618 19
Turky 1,10711
1,23 0,12703
20 USA
0,92416 1,02
0,10022
Berdasarkan Tabel 8 menunjukkan adanya nilai galat cukup kecil antara GRR duga dengan GRR asli. Namun masih ada beberapa negara yang mempunyai
nilai galat cukup besar diantaranya Kazakhastan, Rusia, dan Norwegia yang memiliki perbedaan nilai galat hingga 38.
Untuk jelasnya, berikut ini akan dibandingkan nilai GRR duga dengan nilai GRR asli Model 13 pada gugus data II seperti disajikan pada Gambar 8.
Gambar 8 Perbandingan antara nilai GRR asli dengan GRR duga Model 13 pada gugus data II
Berdasarkan Gambar 8, secara umum GRR duga sudah mendekati GRR asli dengan nilai galat cukup kecil untuk semua negara pada gugus data II. Dengan
demikian Model 13 dapat digunakan untuk menduga nilai GRR pada suatu negara
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 1.6
A rm
e ni
a C
ro ati
a C
ze ch
R e
p G
re e
ce H
un g
ar y
Ind ia
Isr ae
l Kaz
ak ha
st an
Kor e
a Li
thu an
ia M
al ay
si a
M o
ldo v
a N
o rwe
g ia
P o
rt ug
al R
us ia
S ing
ap o
re S
lo v
e ni
a S
we di
a T
ur k
y US
A
Gr o
ss R
e p
ro d
u ction
R atle
Negara
grr asli grr duga
jika negara tersebut belum dapat melaksanakan vital statistic untuk masalah kependudukannya. Namun masih ada beberapa negara diantaranya yaitu
Kazakhastan, Rusia, dan Norwegia masih memiliki nilai selisih cukup besar antara GRR duga dengan GRR asli. Hal ini dapat disebabkan karena adanya pola
berbeda pada tingkat kematian dan kelahiran di negara tersebut dengan tren yang ada.
Untuk lebih jelasnya, Gambar 9 berikut dapat menyajikan contoh satu negara yaitu Malaysia untuk melihat perbandingan keadaan jumlah penduduk
wanita dengan grafik bentuk diskrit dan bentuk kontinu menggunakan fungsi distribusi Gamma.
Gambar 9 Kurva fungsi Gamma umur dan proporsi jumlah penduduk wanita dengan nilai
α = 1,39 dan β = 18,21 pada distribusi umur penduduk Malaysia tahun 1991
Berdasarkan Gambar 9, hasil dari fungsi gamma dengan nilai duga untuk jumlah penduduk wanita ada yang lebih tinggi dari nilai sebenarnya dan ada yang
di bawah nilai sebenarnya. Dari gambar di atas terlihat adanya penurunan jumlah penduduk wanita pada saat umur mendekati batas akhir umur manusia pada
umumnya yaitu mendekati nol.
20 40
60 80
100 umur x
0.005 0.010
0.015 0.020
0.025 h x
-
nilai duga ..nilai sebenarnya
4.5 Evaluasi Model
Kategori