C. Distribusi Probabilitas Multivariat
Definisi 2.17 Misalkan
dan merupakan variabel acak diskrit. Fungsi probabilitas untuk
dan ditunjukkan sebagai
, .
Definisi 2.18 Misalkan
dan merupakan variabel acak dengan fungsi probabilitas bersama,
maka 1.
untuk semua dan
2. ∑
. Contoh 2.18
Misalkan 3 bola diambil dari sebuah ember berisi 3 bola biru, 3 bola putih, dan 4
bola hitam. Jika adalah banyaknya bola biru yang terambil dan
adalah banyaknya bola putih yang terambil, maka carilah fungsi probabilitas bersama
dari dan
. Jawab:
Terdapat 10 bola di dalam ember, sehingga ada cara untuk mengambil
3 bola dari 10 bola. Banyaknya cara mengambil 0 bola biru, 0 bola putih, dan 3 bola hitam adalah
cara, sehingga . Cara yang sama
dapat dilakukan untuk mencari semua kemungkinan nilai dan
. Tabel 2.1 memperlihatkan semua fungsi probabilitas bersama.
Tabel 2.1. Fungsi Probabilitas Bersama
Definisi 2.19 Untuk sebarang variabel
dan , fungsi distribusi bersama
didefinisikan sebagai ,
. Contoh 2.19
Tentukan untuk Contoh
2.18. Jawab:
Untuk dua variabel diskrit dan
, diberikan dengan
∑ ∑
Sehingga .
Definisi 2.20 Misalkan
dan merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi
bersama . Jika terdapat fungsi tak negatif
seperti ∫ ∫
untuk semua , maka
dan disebut sebagai
variabel acak kontinu bersama. Fungsi disebut fungsi densitas bersama.
Definisi 2.21 Misalkan
dan merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas
bersama yang dilambangkan dengan , maka
1. untuk semua
dan 2.
∫ ∫
Contoh 2.20 Sebuah perusahaan permen mendistrbusikan dus-dus permen yang terdiri atas tiga
rasa, yaitu coklat, strawberry, dan jeruk. Terdapat dua jenis permen yang diproduksi, yaitu permen karet dan permen hisap. Misalkan dipilih secara acak
satu dus dan variabel acak dan
menyatakan persentase dari permen karet dan permen hisap rasa jeruk dengan fungsi densitas bersama sebagai berikut:
{ ,
, lainnya. Buktikan bahwa fungsi densitas bersamanya memenuhi Definisi 2.21.
Jawab: 1.
Jelas bahwa untuk semua
dan .
2. Akan ditunjukkan bahwa ∫ ∫
∫ ∫ ∫
|
∫
| .
Definisi 2.22 Misalkan
memiliki fungsi distribusi ,
memiliki fungsi distribusi , serta
dan memiliki fungsi distribusi bersama
, maka dan
dikatakan saling bebas jika dan hanya jika PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Untuk setiap pasangan bilangan real .
Definisi 2.23 Misalkan
adalah fungsi dari variabel acak diskrit yang mempunyai fungsi probabilitas
maka nilai harapan dari adalah
[ ] ∑ ∑ ∑
Jika adalah variabel acak kontinu yang mempunyai fungsi densitas
maka [
] ∫ ∫ ∫ Contoh 2.21
Diketahui variabel diskrit dan
yang mempunyai fungsi probabilitas bersama {
, ,lainnya
Tentukan: a.
E b.
E c.
E Jawab:
a. Menurut Definisi
2.23 diperoleh
E ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
| PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∫ |
b. Menurut Definisi 2.23
diperoleh E
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
|
∫ |
c. Menurut Definisi 2.23
diperoleh ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
|
∫ |
Teorema 2.15 Misalkan
dan adalah variabel acak yang yang saling bebas dan
adalah fungsi dari
serta adalah fungsi dari
maka [
] [ ] [
] Bukti:
Untuk variabel diskrit [
] ∑ ∑
∑ ∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∑ ∑
[ ] [
] Untuk variabel kontinu
[ ] ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
[ ] ∫
[ ] [
]
D. Teorema Limit Pusat
Kategori