Aplikasi metode kaplan Meier untuk menduga selang waktu ketahanan hidup (studi kasus pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti Rapih)

APLIKASI METODE KAPLAN MEIER UNTUK MENDUGA SELANG WAKTU KETAHANAN HIDUP

(Studi Kasus: Pasien Kanker Payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta)

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Caecilia Bintang Girik Allo NIM : 133114013

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

ii

(Case Study: Breast Cancer Patients at Panti Rapih Yogyakarta Hospital)

A Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

Caecilia Bintang Girik Allo Student Number: 133114013

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

v Skripsi ini saya persembahkan kepada:

 Tuhan Yesus atas segala Berkat dan Kasih-Nya sepanjang perjalanan hidup saya.

 Papa dan Mama Tercinta.

 Kakak-kakak saya, yaitu Kak Ardi, Kak Suhar, Kak Muli, dan Kak Rian.  Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing skripsi yang

terbaik.

 Semua orang yang akan membaca skripsi saya.

Berdoa dan Berusaha. Serahkan semua kekhawatiranmu Pada-Nya dan

yakinlah semua indah pada Waktu-Nya.

vii

Metode Kaplan Meier adalah salah satu metode analisis ketahanan hidup. Metode Kaplan Meier menghasilkan penduga fungsi ketahanan hidup. Penduga ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier diperoleh menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Penduga variansi untuk penduga ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier diperoleh menggunakan Metode Delta. Dalam pendugaan fungsi ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier dibutuhkan data. Dalam praktik, data yang sering muncul pada saat pengambilan data adalah data yang tidak lengkap (data tersensor). Banyak penyebab suatu data dapat dikatakan data tersensor, seperti kondisi terakhir individu yang tidak diketahui.

Pendugaan fungsi ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier langsung diaplikasikan pada pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta tahun 2014-2016. Pendugaan akan menghasilkan selang kepercayaan waktu bertahan hidup pasien kanker payudara secara keseluruhan, pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi pada suatu waktu. Kurva ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier yang dihasilkan digunakan untuk membandingkan peluang bertahan hidup antar dua kelompok.

Dari pembahasan diperoleh empat kesimpulan. Pertama, peluang bertahan hidup pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti Rapih secara keseluruhan dapat dikatakan relatif kecil. Kedua, peluang bertahan hidup secara keseluruhan pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi lebih besar dari pada pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi. Ketiga, peluang bertahan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi lebih besar dari pada pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi. Keempat, kemoterapi dapat memperpanjang waktu hidup pasien kanker payudara.

Kata Kunci: Data Tersensor, Kanker Payudara, Analisis Ketahanan Hidup, Metode Kaplan Meier.

viii

Kaplan Meier Method is one of the survival analysis method. Kaplan Meier Method produces an estimator for survival function. The survival estimator with Kaplan Meier Method is obtained by using Maximum Likelihood Method. Variance estimator for the survival estimator with Kaplan Meier Method is obtained by using Delta Method. Data are needed to calculate the estimation for the survival function with Kaplan Meier Method. In practice, the data that often appear in data collection are the incomplete data (censored data). There are many causes that make the survival data called censored data, such as the unknown last condition of an individual.

The survival estimation by using Kaplan Meier Method was applied to breast cancer patients at Panti Rapih Hospital Yogyakarta in 2014-2016. The estimation would produce a survival confidence interval of breast cancer patients in general, breast cancer patients who take the chemotherapy and do not take the chemotherapy. As a result, the survival curve with Kaplan Meier method is used to compare the survival probability between two groups.

There are four conclusions that can be found in this study. First, the survival probability of breast cancer patients in Panti Rapih Hospital is relatively small. Second, the survival probability for breast cancer patients who take the chemotherapy is bigger than survival probability for breast cancer patients who do not take the chemotherapy. Third, survival probability of level fourth breast cancer patients who take chemotherapy is bigger than survival probability of level fourth breast cancer patients who do not take chemotherapy. Fourth, chemotherapy can extend the lifetime for breast cancer patients.

Key Words: Censored Data, Breast Cancer, Survival Analysis, Kaplan Meier Method.

x

Puji dan syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkat, kasih, dan penyertaan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik. Tugas akhir yang berjudul “Aplikasi Metode Kaplan Meier untuk Menduga Selang Waktu Ketahanan Hidup (Studi Kasus: Pasien Kanker Payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta)” merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis mendapat banyak dukungan dan bantuan dalam proses menyelesaikan tugas akhir ini. Oleh karena itu, dengan tulus hati penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas akhir yang dengan penuh kesabaran telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta memberikan masukan, arahan, dan nasihat kepada penulis. 2. Pihak Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta yang telah mengizinkan dan

membantu penulis dalam pengambilan data.

3. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kepala Program Studi. 4. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku wakil kepala program studi

Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik yang selalu memberikan arahan yang berkaitan dengan perkuliahan.

5. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

6. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Sc., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen program studi matematika yang telah membagikan ilmu dan pengalaman selama masa perkuliahan. 7. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas

Sains dan Teknologi yang telah banyak membantu dalam proses administrasi.

xii

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING iiiError! Bookmark not defined. HALAMAN PENGESAHAN ... Error! Bookmark not defined. HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... Error! Bookmark not defined. ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ... Error! Bookmark not defined. KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Makalah ... 2

C. Batasan Masalah ... 3

D. Tujuan Penulisan ... 3

E. Manfaat Penulisan ... 3

F. Metode Penulisan ... 3

G. Sistematika Penulisan ... 4

BAB II LANDASAN TEORI ... 6

A. Probabilitas ... 6

1. Probabilitas dari Sebuah Kejadian ... 6

2. Probablitias Bersyarat ... 6

3. Variabel Acak ... 8

B. Distribusi Probabilitas ... 9

1. Distribusi Probabilitas Diskrit... 9

2. Distribusi Probabilitas Kontinu ... 12

3. Nilai Harapan ... 14

4. Variansi ... 18

5. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen ... 22

6. Metode Fungsi Pembangkit Momen ... 26

C. Distribusi Probabilitas Multivariat ... 28

D. Teorema Limit Pusat ... 33

E. Pendugaan Parameter ... 36

1. Penduga Titik ... 36

2. Penduga Selang ... 37

3. Metode Pivot ... 38

xiii

BAB III METODE KAPLAN MEIER ... 45

A. Analisis Ketahanan Hidup ... 45

B. Fungsi Ketahanan Hidup ... 46

C. Fungsi Hazard ... 47

D. Distribusi Waktu Hidup Model Kontinu ... 47

E. Distribusi Waktu Hidup Model Diskrit ... 49

F. Data Tersensor ... 50

1. Penyensoran Kanan ... 51

2. Penyensoran Kiri ... 54

3. Penyensoran Interval ... 55

G. Penduga Fungsi Ketahanan Hidup dengan Metode Kaplan Meier ... 55

H. Kurva Ketahanan Hidup Kaplan Meier dengan program R ... 62

BAB IV APLIKASI METODE KAPLAN MEIER UNTUK MENDUGA SELANG WAKTU KETAHANAN HIDUP ... 65

A. Kanker ... 65

B. Proses Pengambilan Sampel ... 67

C. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara ... 71

1. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016 ... 72

2. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti Kemoterapi .. ... 74

3. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Tidak Mengikuti Kemoterapi. ... 76

4. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti Kemoterapi dengan Pasien yang Tidak Mengikuti Kemoterapi ... 79

5. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 2 ... 80

6. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 3 ... 80

7. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 ... 80

BAB V PENUTUP ... 86

A. Kesimpulan ... 86

C. Saran ... 87

1. Saran untuk Peneliti Selanjutnya ... 87

2. Saran untuk Rumah Sakit Panti Rapih ... 88 DAFTAR PUSTAKA

1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang

Ilmu matematika dapat digunakan untuk menganalisis ketahanan hidup dari suatu obyek. Obyek dapat berupa makhluk hidup maupun benda yang mempunyai ketahanan hidup, seperti lampu dan mobil. Analisis ketahanan hidup merupakan cabang dari ilmu statistik yang dapat digunakan untuk menganalisis terjadinya suatu kejadian, misalnya kematian, munculnya suatu penyakit, atau kambuhnya suatu penyakit. Dalam tugas akhir ini kejadian yang dimaksud adalah kematian. Analisis ketahanan hidup digunakan dalam berbagai bidang ilmu seperti biologi, sosiologi, maupun bidang ilmu yang berkaitan dengan mesin, dan ekonomi. Analisis ketahanan hidup mempunyai beberapa metode, yaitu Life Tables, Kaplan Meier, Regresi Exponensial, Regresi Log-Normal, dan Regresi Proporsi Hazard.

Fungsi ketahanan hidup secara matematis dapat ditulis sebagai berikut �

dengan merupakan variabel acak waktu hidup, merupakan fungsi probabilitas, dan adalah suatu waktu.

Pada tahun 1958, Edward L. Kaplan dan Paul Meier menerbitkan sebuah makalah tentang cara menyelesaikan suatu permasalahan dengan pengamatan yang tidak lengkap. Metode ini termasuk metode nonparametrik karena pada umumnya bentuk distribusi dari populasi yang akan diteliti tidak diketahui. Metode Kaplan Meier disebut juga Metode Product - Limit. Metode Kaplan Meier sering digunakan di dalam bidang ilmu kesehatan. Metode Kaplan Meier juga menghasilkan suatu kurva yang menggambarkan ketahanan hidup dari populasi atau sampel yang dipilih.

Data yang dihasilkan dari suatu sampel dapat berupa data tak tersensor atau data tersensor. Data tak tersensor adalah data yang didapat dari setiap individu dalam sampel dan setiap perkembangan individu dari awal penelitian sampai individu tersebut meninggal dunia (gagal) tercatat dengan jelas. Pada kenyataannya data dari setiap perkembangan individu dari awal hingga individu tersebut meninggal dunia (mati) jarang ditemukan. Banyak faktor yang

menyebabkan data tersebut tidak bisa diperoleh. Faktor-faktor tersebut antara lain individu yang dinyatakan sembuh sebelum penelitian berakhir, individu yang tidak lagi bersedia mengikuti penelitian, individu berhenti diberi perlakuan karena suatu alasan, dan individu meninggal dunia bukan karena diberi perlakuan sebagaimana yang dimaksud dalam penelitian. Data yang dihasilkan oleh berbagai faktor tersebut disebut data tersensor. Biasanya data yang dihasilkan berupa waktu dengan satuan tahun, bulan, minggu, atau hari.

Rumus penduga ketahanan hidup �̂ dengan Metode Kaplan Meier adalah sebagai berikut

�̂ ∏

dengan:

banyaknya individu yang meninggal pada waktu ke- ,

banyaknya individu yang berada pada risiko kegagalan waktu ke- .

Kanker adalah salah satu penyakit yang menjadi penyumbang terbesar kematian di dunia. Terdapat berbagai jenis penyakit kanker diantaranya kanker payudara, kanker serviks, kanker paru-paru, kanker kulit, kanker usus, dan lain-lain. Selain kanker paru-paru, kanker payudara pun termasuk kanker yang banyak ditemui di masyarakat. Banyak faktor yang dapat menyebabkan penyakit kanker, diantaranya faktor keturunan, faktor pola hidup yang tidak sehat, faktor radiasi, dan lain-lain. Namun ada beberapa cara untuk mengatasi kanker seperti operasi, terapi radiasi, dan kemoterapi. Rumah Sakit Panti Rapih (RSPR) Yogyakarta merupakan salah satu rumah sakit swasta terbesar di Yogyakarta yang turut melayani penderita kanker. Oleh karena itu, penelitian ini bertujuan untuk menghitung probabilitas ketahanan hidup penderita kanker payudara di rumah sakit Panti Rapih.

B. Rumusan Makalah

Perumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Apa itu Metode Kaplan Meier?

2. Bagaimana landasan matematis untuk memperoleh Metode Kaplan Meier? 3. Bagaimana menerapkan Metode Kaplan Meier dalam bidang kesehatan,

khususnya untuk memperkirakan ketahanan hidup penderita Kanker Payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta?

4. Apakah pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi memiliki ketahanan yang lebih tinggi dibandingkan dengan pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi?

C. Batasan Masalah

Batasan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Data yang digunakan merupakan data tensensor acak.

2. Teorema Ketunggalan tidak dibuktikan.

3. Teori probabilitas yang dibahas hanya yang berkaitan dengan materi pokok. 4. Interpretasi hasil perbandingan antar kelompok berdasarkan gambar.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah:

1. Menjelaskan penduga ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier dalam perhitungan probabilitas ketahanan hidup.

2. Mengetahui penerapan penduga ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier dalam kehidupan sehari-hari khususnya dalam bidang kesehatan.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah menghasilkan informasi tentang peluang bertahan hidup penderita Kanker Payudara di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan adalah studi pustaka dari buku-buku dan jurnal serta menerapkan aplikasi Metode Kaplan Meier dalam dunia kesehatan.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan

BAB II LANDASAN TEORI A. Probabilitas

B. Distribusi Probabilitas

C. Distribusi Probabilitas Multivariat D. Teorema Limit Pusat

E. Penduga Parameter F. Maksimum Likelihood G. Metode Delta

BAB III METODE KAPLAN MEIER A. Analisis Ketahanan Hidup

B. Fungsi Ketahanan Hidup C. Fungsi Hazard

D. Distribusi Waktu Hidup Model Kontinu E. Distribusi Waktu Hidup Model Diskrit F. Data Tersensor

G. Penduga Fungsi Ketahanan Hidup dengan Metode Kaplan Meier H. Kurva Ketahanan Hidup Kaplan Meier dalam R

BAB IV APLIKASI PENDUGAAN KETAHANAN HIDUP DENGAN METODE KAPLAN MEIER

A. Kanker

B. Proses Pengambilan Sampel

BAB V PENUTUP A. Kesimpulan

B. Saran

6 BAB II

LANDASAN TEORI A. Probabilitas

1. Probabilitas dari Sebuah Kejadian

Oleh karena probabilitas dari suatu kejadian biasanya dibutuhkan untuk pengambilan keputusan, sangat penting untuk memahami teori probabilitas dari suatu kejadian. Banyak bidang yang berhubungan dengan probabilitas, seperti ekonomi, bisnis, kesehatan, dan lain-lain.

Definisi 2.1

Misalkan � adalah ruang sampel yang terkait dengan percobaan. Probabilitas dari kejadian dalam �, dinotasikan dengan simbol memenuhi:

Aksioma 1: Aksioma 2: �

Aksioma 3: Jika membentuk urutan berpasangan kejadian saling asing dalam � maka ∑

2. Probablitias Bersyarat Definisi 2.2

Probabilitas kejadian jika diketahui kejadian telah terjadi adalah | , .

Simbol | dibaca “Probabilitas bersyarat jika diketahui kejadian terjadi”.

Contoh 2.1

Sebuah dadu setimbang dilempar sekali. Tentukan probabilitas munculnya mata dadu genap jika diketahui munculnya kejadian mata dadu prima terlebih dahulu. Jawab:

Ruang sampel percobaan � adalah { }.

Didefinisikan merupakan kejadian munculnya mata dadu genap dan merupakan kejadian munculnya mata dadu prima

{ }. { }. { }

Sehingga diperoleh:

| Definisi 2.3

Kejadian dan kejadian dikatakan saling bebas jika salah satu dari pernyataan di bawah terpenuhi:

| , | , .

Jika tidak, berarti dua kejadian tersebut saling bergantung. Contoh 2.2

Dua buah dadu setimbang dilemparkan secara bersamaan. Didefinisikan kejadian adalah munculnya angka dadu 2 pada dadu pertama dan kejadian adalah munculnya angka dadu 4 pada dadu kedua. Apakah kejadian dan B saling bebas?

Jawab:

Akan ditunjukkan bahwa apakah kejadian dan B saling bebas menggunakan pernyataan pada Definisi 2.3

� { } Sehingga diperoleh banyaknya elemen �, � .

{ } { }

dan { }

Jadi, kejadian dan kejadian saling bebas.

3. Variabel Acak Definisi 2.4

Variabel acak adalah fungsi yang memetakan setiap elemen ruang sampel ke bilangan real. Dengan kata lain variabel acak merupakan pemetaan dari himpunan ruang sampel ke himpunan bilangan real. Variabel acak ditulis dengan huruf kapital, misalnya X atau Y.

Definisi 2.5

Variabel acak dikatakan diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang. Jika tidak memenuhi hal tersebut maka variabel acak dikatakan kontinu.

Contoh 2.3

Dua buah koin yang telah dilabeli angka 1 pada sisi gambar dan angka 2 pada sisi angka dilemparkan sebanyak dua kali. Variabel acak didefinisikan sebagai jumlah kedua koin yang muncul. Tentukan ruang sampelnya dan semua kemungkinan nilai variabel acak .

Jawab:

Ruang sampel percobaan adalah � { }. Setiap elemen dari � dipetakan ke adalah variabel acak seperti berikut:

Nilai adalah 2, 3, atau 4.

B. Distribusi Probabilitas 1. Distribusi Probabilitas Diskrit Definisi 2.6

Himpunan pasangan terurut adalah fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit jika untuk setiap kemungkinan nilai : 1.

2. ∑ Contoh 2.4

Sebuah sekolah mempunyai lima pemain basket putri dan lima pemain basket putra. Sekolah harus memilih dua orang secara acak yang akan dikirim untuk mengikuti pelatihan khusus di tingkat provinsi. adalah banyaknya pemain basket putri yang terpilih. Tentukan distribusi probabilitas dari .

Jawab:

: banyaknya pemain basket putri yang terpilih. Sekolah hanya akan memilih dua orang, sehingga kemungkinan nilai adalah 0 , 1, atau 2.

�

{ } { } { } { }

3 4 >

Definisi 2.7

Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak yang fungsi probabilitasnya adalah

∑ , untuk .

Contoh 2.5

Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak pada Contoh 2.4. Jawab:

Dari Contoh 2.4 diperoleh

,

,

. Selanjutnya akan dicari , , .

, , , sehingga {

Contoh-contoh distribusi probabilitas diskrit adalah Distribusi Binomial, Distribusi Geometrik, Distribusi Hipergeometrik, dan Distribusi Poisson. Selanjutnya akan dibahas mengenai Distribusi Binomial.

Definisi 2.8

Proses percobaan Binomial memiliki sifat sebagai berikut: 1. Percobaan terdiri dari ulangan yang identik.

2. Setiap ulangan menghasilkan satu dari dua hasil, yaitu sukses (S) atau gagal (G).

3. Probabilitas sukses pada sebuah ulangan adalah dan tetap sama untuk ulangan-ulangan lainnya. Probabilitas gagal dari ulangan tersebut adalah .

4. Ulangan-ulangan bersifat saling bebas.

5. Variabel acak adalah banyaknya ulangan sukses yang teramati selama ulangan.

Contoh 2.6

Sistem deteksi peringatan dini untuk pesawat terdiri dari 4 unit radar identik yang beroperasi secara independen (saling bebas) satu sama lain. Setiap unit radar memiliki peluang untuk mendeteksi adanya ganguan pada pesawat. Ketika pesawat beroperasi, variabel acak adalah banyaknya unit radar yang tidak mendeteksi gangguan. Apakah ini termasuk percobaan binomial?

Jawab:

Apabila soal di atas termasuk percobaan binomial maka percobaan harus memenuhi sifat-sifat yang ada pada Definisi 2.8. Lebih lanjut, karena variabel acak adalah banyaknya unit radar yang tidak mendeteksi gangguan maka pada kasus ini percobaan dikatakan sukses apabila radar tidak dapat mendeteksi.

Sifat 1 : Jelas bahwa percobaan terdiri dari 4 ulangan yang identik.

Sifat 2 : Setiap ulangan hanya akan menghasilkan satu dari hasil, yaitu radar tidak dapat mendeteksi atau radar dapat mendeteksi.

Sifat 3 : Setiap ulangan memiliki peluang sukses yang sama, yaitu . Sifat 4 : Ulangan-ulangan bersifat saling bebas karena setiap unit bekerja secara

independen satu sama lain.

Sifat 5 : Variabel acak adalah banyaknya sukses dalam 4 ulangan.

Definisi 2.9

Variabel acak dikatakan berdistribusi Binomial pada ulangan dengan probabilitas sukses jika dan hanya jika

Contoh 2.7

Terdapat 5000 bola lampu yang diantaranya cacat. Jika diambil sampel sebanyak 5 bola lampu untuk di tes. Tentukan probabilitas banyaknya bola lampu yang rusak paling sedikit satu.

Jawab:

: banyaknya bola lampu yang rusak. Dari soal diketahui bahwa dari bola lampu rusak, berarti terdapat 250 bola lampu yang rusak.

dan .

( ) .

2. Distribusi Probabilitas Kontinu Definisi 2.10

Fungsi adalah fungsi probabilitas (densitas) untuk variabel acak kontinu , jika

1. , untuk semua . 2. ∫ .

Contoh 2.8

Misalkan kesalahan dalam pengiriman pada suatu perusahaan pengiriman adalah variabel acak kontinu yang memiliki fungsi probabilitas densitas

{ Buktikan adalah fungsi probabilitas densitas. Jawab:

Akan dibuktikan memenuhi Definisi 2.10 1. jelas terlihat dari definisi . 2. ∫ ∫ |

Definisi 2.11

Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu dengan fungsi densitas adalah

∫ , untuk . Akibat dari Definisi 2.11

dan

jika turunannya ada. Contoh 2.9

Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari Contoh 2.8 dan tentukan  Untuk

∫

 Untuk

∫

∫

 Untuk

∫

∫

∫ Jadi,

{

Sekarang .

Contoh distribusi probabilitas kontinu adalah Distribusi Normal, Distribusi Gamma, Distribusi Eksponensial, dan Distribusi Chi-square. Selanjutnya akan dibahas mengenai Distribusi Normal.

Definisi 2.12

Variabel acak dikatakan berdistribusi normal jika dan hanya jika untuk dan , fungsi densitas dari adalah

√

3. Nilai Harapan Definisi 2.13

Misalkan adalah variabel acak. Nilai harapan dari , dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai

{

∑ ∫

Contoh 2.10

Tentukan nilai harapan dari Contoh 2.4 Jawab:

.

Contoh 2.11

Tentukan nilai harapan dari Contoh 2.8 ∫

∫

Teorema 2.1

Jika adalah variabel acak diskrit dengan distribusi probabilitas dan , , , adalah fungsi dari maka

[ ] [ ] [ ] [ ]. Bukti:

[ ] ∑( ) ∑[

]

∑ ∑ ∑

[ ] [ ] [ ] Teorema 2.2

Jika adalah variabel acak kontinu dengan distribusi probabilitas dan , , , adalah fungsi dari maka

[ ] [ ] [ ] [ ]. Bukti:

[ ] ∫( )

∫[

] ∫

∫

∫

[ ] [ ] [ ] Teorema 2.3

Diberikan suatu konstanta tak nol , maka Bukti:

Kasus 1: untuk variabel acak diskrit

∑ ∑ Kasus 2: untuk variabel acak kontinu

∫

∫

Jadi terbukti .

Teorema 2.4

Diberikan suatu konstanta tak nol , maka . Bukti:

Kasus 1: untuk variabel acak diskrit

∑ ∑ Kasus 2: untuk variabel acak kontinu

∫

∫

Jadi terbukti .

Teorema 2.5

Diberikan konstanta tak nol dan , maka . Bukti:

Kasus 1: untuk variabel acak diskrit

∑ ∑ ∑ ∑

Kasus 2: untuk variabel acak kontinu

∫

∫( )

∫

∫

∫

∫

Jadi terbukti .

Teorema 2.6

Jika adalah variabel acak binomial pada ulangan dan adalah probabilitas sukses, maka

Bukti:

Akan dibuktikan Dari Definisi 2.13

∑

Karena jumlahan pertama adalah 0 dan menurut Definisi 2.9 diperoleh

∑ ( ₎

∑

∑

∑

Misal , sehingga

∑

∑ ( ₎

Karena ∑ ( ) , maka

4. Variansi

Definisi 2.14

Misalkan adalah variabel acak dengan . Variansi dari variabel acak didefinisikan sebagai nilai harapan dari , yaitu

[ ]

Standar deviasi dari , dinotasikan adalah akar kuadrat positif dari . Teorema 2.7

Jika adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas dan rata-rata maka [ ] .

Bukti:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Contoh 2.12

Tentukan standar deviasi dari Contoh 2.4 Jawab:

[ ]

√ .

Contoh 2.13

Tentukan variansi dari Contoh 2.8 Jawab:

Dari Contoh 2.11 diketahui

∫

∫

[ ] Teorema 2.8

Diberikan konstanta tak nol , maka . Bukti:

[ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

Teorema 2.9

Bukti:

[( ) ] [( ) ]

[ ]

[ ] [ ]

Teorema 2.10

Jika adalah variabel acak binomial pada percobaan dan adalah probabilitas sukses, maka

Akan dibuktikan

Diketahui dari Teorema 2.7 bahwa Selanjutnya akan dicari , yaitu

∑

∑ ( ₎

∑

Dari bentuk di atas dapat disimpulkan bahwa mencari adalah sulit karena bukanlah faktor dari . Oleh karena itu dapat diperoleh dari [ ]

[ ] ∑

∑ ( ₎

∑

Jumlahan saat dan adalah nol, sehingga diperoleh

[ ] ∑

∑

∑

Misal , diperoleh

[ ] ∑

Karena ∑

, maka

[ ]

Sehingga diperoleh [ ] Jadi diperoleh

5. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen Definisi 2.15

Momen ke- dari variabel acak di sekitar titik asal didefinisikan dan dinotasikan dengan .

Definisi 2.16

Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak didefinisikan _{. Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika ada sebuah konstanta} positif sehingga berhingga untuk | | .

Teorema 2.11

Jika ada, maka untuk setiap bilangan bulat positif ,

| Bukti:

atau adalah turunan ke- dari terhadap . Karena

Sehingga

Secara umum,

Saat , maka

dan , sehingga secara umum

Contoh 2.14

Tentukan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Binomial. Jawab:

∑ ∑ ₍ ) ∑ ₍ ) ∑ ₍ ) .

Jadi, fungsi pembangkit momen bagi Distribusi Binomial adalah .

Contoh 2.15

Tentukan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal. Jawab:

_∫

√

Misal maka dan , sehingga diperoleh

∫ √ _∫ √ _∫ √ _∫ √

Karena maka

_∫

√

_∫ √

[( ) ]

_∫

√

( )

Karena ∫

√

( ) dengan variansi dan rata-rata

, maka

Teorema 2.12

Jika berdistribusi normal dengan parameter dan maka dan . Bukti:

Pembuktian nilai harapan dan variansi dari Distribusi Normal dibuktikan menggunakan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal.

Dari Definisi 2.15 dan Teorema 2.11, diperoleh

| |

Akan dibuktikan . Diketahui dari Teorema 2.7

|

_|

Sehingga diperoleh

( )

Contoh 2.16

Misalkan dengan adalah variabel acak berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi . Tentukan fungsi pembangkit momen bagi .

Jawab:

Misal maka

[ _]

[ _]

∫

√

Misal maka dan , sehingga ∫

√

∫

√

∫ √

( )

Menambahkan

∫ √

( )

∫

√

( )

∫ √

( ) ∫

√

( )

Karena ∫

√

( ) dengan variansi dan rata-rata

, maka

6. Metode Fungsi Pembangkit Momen

Metode fungsi pembangkit momen dapat digunakan untuk menentukan fungsi probabilitas.

Teorema 2.13 Teorema Ketunggalan

Misalkan dan adalah fungsi pembangkit momen dari variabel acak dan . Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan untuk semua nilai dari , maka dan mempunyai distribusi probabilitas sama.

Bukti:

Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu

( _{) dengan adalah bilangan kompleks.} Perhatikan bahwa fungsi pembangkit momen (FPM) adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukkan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama, yaitu

∫

∫

Maka (Skripsi halaman 54).

Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.

Contoh 2.17

Misalkan adalah variabel yang berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi . Buktikan bahwa berdistribusi normal standar, yaitu berdistribusi normal dengan dan .

Jawab:

Misal dan berdistribusi normal maka [ _]

[ ]

[ _]

( ₎

akan sama dengan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal apabila dan , sehingga menurut Teorema 2.13 berdistribusi normal standar dengan dan .

Teorema 2.14

Misalkan adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen . Jika , maka

Bukti:

( ₎

C. Distribusi Probabilitas Multivariat

Definisi 2.17

Misalkan dan merupakan variabel acak diskrit. Fungsi probabilitas untuk dan ditunjukkan sebagai

, . Definisi 2.18

Misalkan dan merupakan variabel acak dengan fungsi probabilitas bersama, maka

1. untuk semua dan 2. ∑ .

Contoh 2.18

Misalkan 3 bola diambil dari sebuah ember berisi 3 bola biru, 3 bola putih, dan 4 bola hitam. Jika adalah banyaknya bola biru yang terambil dan adalah banyaknya bola putih yang terambil, maka carilah fungsi probabilitas bersama dari dan .

Jawab:

Terdapat 10 bola di dalam ember, sehingga ada ( ) cara untuk mengambil 3 bola dari 10 bola.

Banyaknya cara mengambil 0 bola biru, 0 bola putih, dan 3 bola hitam adalah ( )( )( ) cara, sehingga

. Cara yang sama dapat dilakukan untuk mencari semua kemungkinan nilai dan . Tabel 2.1 memperlihatkan semua fungsi probabilitas bersama.

Tabel 2.1. Fungsi Probabilitas Bersama

Definisi 2.19

Untuk sebarang variabel dan , fungsi distribusi bersama didefinisikan sebagai

, . Contoh 2.19

Tentukan untuk Contoh 2.18. Jawab:

Untuk dua variabel diskrit dan , diberikan dengan ∑ ∑

Sehingga . Definisi 2.20

Misalkan dan merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi bersama . Jika terdapat fungsi tak negatif seperti

∫ ∫

untuk semua , maka dan disebut sebagai variabel acak kontinu bersama. Fungsi disebut fungsi densitas bersama.

Definisi 2.21

Misalkan dan merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama yang dilambangkan dengan , maka

1. untuk semua dan 2. ∫ ∫

Contoh 2.20

Sebuah perusahaan permen mendistrbusikan dus-dus permen yang terdiri atas tiga rasa, yaitu coklat, strawberry, dan jeruk. Terdapat dua jenis permen yang diproduksi, yaitu permen karet dan permen hisap. Misalkan dipilih secara acak satu dus dan variabel acak dan menyatakan persentase dari permen karet dan permen hisap rasa jeruk dengan fungsi densitas bersama sebagai berikut:

{ , , lainnya.

Buktikan bahwa fungsi densitas bersamanya memenuhi Definisi 2.21. Jawab:

1. Jelas bahwa untuk semua dan .

2. Akan ditunjukkan bahwa ∫ ∫

∫ ∫ ( ) ∫ |

∫ ( )

|

.

Definisi 2.22

Misalkan memiliki fungsi distribusi , memiliki fungsi distribusi , serta dan memiliki fungsi distribusi bersama , maka dan dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

Untuk setiap pasangan bilangan real .

Definisi 2.23

Misalkan adalah fungsi dari variabel acak diskrit yang mempunyai fungsi probabilitas maka nilai harapan dari adalah

[ ] ∑ ∑ ∑

Jika adalah variabel acak kontinu yang mempunyai fungsi densitas maka

[ ] ∫ ∫ ∫

Contoh 2.21

Diketahui variabel diskrit dan yang mempunyai fungsi probabilitas bersama { ,

,lainnya Tentukan:

a. E b. E c. E Jawab:

a. Menurut Definisi 2.23 diperoleh

E ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ |

∫ | b. Menurut Definisi 2.23 diperoleh

E ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ |

∫ |

c. Menurut Definisi 2.23 diperoleh

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ | ∫ |

Teorema 2.15

Misalkan dan adalah variabel acak yang yang saling bebas dan adalah fungsi dari serta adalah fungsi dari maka

[ ] [ ] [ ] Bukti:

 Untuk variabel diskrit

[ ] ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

[ ] [ ]  Untuk variabel kontinu

[ ] ∫ ∫

∫ ∫

∫ ( ∫

)

[ ] ∫

[ ] [ ] D. Teorema Limit Pusat

Teorema 2. 16

Misalkan dan adalah variabel random dengan fungsi pembangkit momen dan Jika

maka fungsi distribusi dari konvergen ke fungsi distribusi saat . Bukti:

Bukti terdapat pada buku Williams, David. (1991). Probability With Martingales. New York: Cambridge University Press. Halaman 185.

Teorema 2.17

Misalkan merupakan variabel acak yang berdistribusi independen dan identik dengan dan . Didefinisikan

∑ √

̅ √

Maka fungsi distribusi dari konvergen ke fungsi Distribusi Normal Standar ketika , yaitu

∫_√

untuk semua . Bukti:

Misalkan

√

√

∑

√

∑

√ ∑

Karena variabel acak adalah saling bebas dan berdistribusi identik maka , juga saling bebas dan berdistribusi identik dengan dan , maka fungsi pembangit momen dari jumlahan variabel acak adalah perkalian dari masing-masing fungsi pembangkit momennya (Teorema 2.14), maka

∑

[ ]

Selanjutnya akan dicari fungsi pembangkit momen untuk √ ∑ √ ∑

( √ ) [ (

Deret Taylor dari adalah

_{dan ,} maka

Sehingga

[

( √ ) ]

[

_⁄

]

√ Saat maka , sehingga

maka ( ) [ ] . Jika maka

Maka

[

_⁄

]

merupakan fungsi pembangkit momen bagi distribusi normal standar. Menurut Teorema 2.16 dapat disimpulkan bahwa memiliki fungsi probabilitas yang konvergen ke fungsi probabilitas Normal Standar.

E. Pendugaan Parameter

Dalam melakukan suatu percobaan atau penelitian pada populasi tertentu dibutuhkan sampel yang representatif. Setiap populasi memiliki karakteristik yang dinyatakan dengan sebuah bilangan yang disebut parameter. Tujuan dari percobaan atau penelitian statistik adalah untuk menduga satu atau lebih parameter yang relevan. Contoh dari parameter populasi adalah rata-rata populasi, variansi populasi, dan standar deviasi populasi. Penduga dibagi menjadi dua macam, yaitu penduga titik dan penduga selang.

Definisi 2.24

Sebuah penduga adalah aturan yang biasanya dinyatakan dalam rumus untuk menghitung nilai dari suatu dugaan berdasarkan pengukuran-pengukuran yang terkandung dalam sampel.

1. Penduga Titik

Penduga titik adalah penduga yang menghasilkan suatu nilai sebagai hasil pendugaannya. Penduga selang adalah penduga yang menghasilkan suatu selang sebagai hasil pendugaanya.

Contoh 2.22

Proporsi sampel yang dinyatakan dalam rumus ̂ _∑

merupakan salah satu penduga titik dari proporsi populasi .

Suatu penduga titik dapat dikatakan penduga yang baik atau penduga yang buruk. Penduga yang baiklah yang nantinya akan dipilih untuk menduga suatu nilai dari parameter. Penduga yang baik akan dilihat dari bias dan rata-rata kuadrat galatnya. Syarat dari suatu penduga untuk suatu parameter dikatakan penduga yang baik yaitu apabila penduga tersebut merupakan penduga tak bias.

Definisi 2.25

Misalkan ̂ adalah sutu penduga titik untuk sebuah parameter . Jika ( ̂) maka ̂ disebut penduga tak bias. Jika ( ̂) maka ̂ disebut penduga bias. Definisi 2.26

Bias dari suatu penduga titik ̂ dinyatakan dalam sebuah rumus, yaitu ( ̂) ( ̂) .

Definisi 2.27

Rata-rata kuadrat galat dari suatu penduga titik ̂ adalah � ( ̂) [( ̂ ) ]. Contoh 2.23

Misalkan berdistribusi Binomial dengan parameter dan . Buktikan bahwa ̂ adalah penduga tak bias dari .

Jawab:

Menurut Definisi 2.25 berarti harus ditunjukkan bahwa ̂ . ̂ ( ₎ Jadi terbukti bahwa ̂ adalah penduga tak bias dari

2. Penduga Selang

Penduga selang lebih dikenal dengan selang kepercayaan. Setiap selang kepercayaan mempunyai batas atas atau batas bawah. Batas bawah dan batas atas dari selang kepercayaan disebut dengan limit bawah kepercayaan dan limit atas kepercayaan. Probabilitas bahwa selang kepercayaan akan dekat dengan disebut koefisien kepercayaan.

Jika ̂ dan ̂ adalah limit bawah kepercayaan dan limit atas kepercayaan bagi parameter , maka

( ̂ ̂ )

adalah koefisien kepercayaan. Selang penduganya yaitu [ ̂ ̂ ] disebut selang kepercayaan dua sisi.

Selang kepercayaan juga dapat berupa selang kepercayaan satu sisi, seperti ( ̂ )

dengan selang kepercayaannya [ ̂ ] atau

( ̂ ) dengan selang kepercayaannya [ ̂ ].

3. Metode Pivot

Metode pivot merupakan metode yang sangat berguna untuk menentukan selang kepercayaan. Metode pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas pivot. Kuantitas pivot memiliki dua ciri, yaitu:

a. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter yang tidak diketahui.

b. Distribusi probabilitas dari kuantitas pivot tidak bergantung pada parameter . Contoh 2.24

berdistribusi normal dengan tidak diketahui dan . Tentukan selang kepercayaan bagi bila diketahui kuantitas pivotnya adalah

Jawab:

Dari Contoh 2.17 diperoleh yang berarti berdistribusi normal dengan dan sehingga

√ Syarat kuantitas pivot dipenuhi, yaitu:

a. Z merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter yang tidak diketahui.

b. Distribusi probabilitas, yaitu tidak bergantung pada parameter . Selang kepercayaan bagi adalah:

Gambar 2.1. Kurva Distribusi Normal dengan

Dari Gambar 2.1 diperoleh

Dari tabel Distribusi Normal (Lampiran 4) diperoleh .

Karena kurva Distribusi Normal adalah kurva yang simetri maka . Jadi,

Substitusi Z diperoleh

Jadi, selang kepercayaan bagi adalah

4. Selang Kepercayaan untuk Sampel Besar

Saat ukuran sampel semakin besar maka semua penduga titik akan mendekati Distribusi Normal. Jika parameter target adalah maka untuk sampel yang besar

̂ ̂

mendekati Distribusi Normal Standar. merupakan bentuk kuantitas pivot dan metode pivot dapat digunakan untuk menghasilkan selang kepercayaan bagi parameter target .

Contoh 2.25

Misalkan ̂ berdistribusi normal dengan rata-rata dan standar error _̂. Tentukan selang kepercayaan bagi yang memiliki koefisien kepercayaan sama dengan .

Jawab:

Kuantitas pivot ̂

̂ berdistribusi normal standar.

Gambar 2.2. Kurva Distribusi Normal dengan ( )

Dipilih dua nilai, yaitu dan sehingga

( )

Substitusi ke Persamaan (2.1), maka diperoleh

̂

̂

( _̂ ̂ _̂) ( ̂ _̂ ̂ _̂)

( ̂ _̂ ̂ _̂) Sehingga diperoleh

̂ ̂ _̂ ̂ ̂ _̂ F. Metode Kemungkinan Maksimum

Dalam membuktikan penduga Kaplan Meier dibutuhkan Metode Kemungkinan Maksimum. Oleh karena itu perlu dipahami mengenai Metode Kemungkinan Maksimum. Misalkan terdapat sebuah kotak yang berisi tiga bola dengan kemungkinan warna dari setiap bola adalah putih atau merah, tetapi jumlah bola yang berwarna putih dan jumlah bola yang berwarna merah tidak diketahui. Pengambilan dua bola secara acak tanpa pengembalian dilakukan. Jika hasil dari pengambilan tersebut adalah dua bolah merah, maka apakah yang akan menjadi dugaan terbaik tentang jumlah bola merah di dalam kotak? Jelas bahwa jumlah bola merah yang ada di dalam kotak harus ada dua bola atau tiga bola. Kasus 1: Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih di dalam kotak, maka probabilitas mengambil dua bola merah secara acak adalah

( )( )

( )

Kasus 2: Jika terdapat tiga bola merah di dalam kotak, maka probabilitas mengambil dua bola merah secara acak adalah

( ) ( )

Dari dua kasus di atas dapat disimpulkan bahwa dugaan terbaik tentang jumlah bola merah di dalam kotak adalah terdapat tiga bola merah di dalam kotak karena kemungkinan mendapatkan dua bola merah lebih tinggi probabilitasnya pada kasus 2 dari pada kasus 1. Dugaan ini memaksimumkan probabilitas pengamatan sampel.

Contoh di atas mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah penduga yang dapat digunakan dalam situasi apapun. Teknik untuk menemukan

sebuah penduga disebut Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood).

Definisi 2.28 Fungsi Kemungkinan Likelihood dari Sampel

Misalkan sampel yang diambil dari pengamatan yang berkorespodensi dengan variabel yang distribusinya bergantung pada parameter . merupakan variabel acak diskrit maka Likelihood dari sampel adalah | | atau | | | .

Definisi 2.29 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood

Method)

Misalkan fungsi Likelihood bergantung pada buah parameter . Metode kemungkinan maksimum memilih penduga nilai-nilai dari parameter-parameter sedemikian sehingga memaksimalkan fungsi kemungkinan | .

Contoh 2.26

Sebuah percobaan Binomial terdiri dari ulangan menghasilkan dengan berarti ulangan ke- sukses dan berarti ulangan ke- gagal. Temukan penduga kemungkinan maksimum bagi .

Jawab:

Fungsi Kemungkinan dari sampel adalah probabilitas dari , sehingga | _{dengan ∑}

Jika maka dan akan maksimum ketika Jika maka dan akan maksimum ketika Sekarang akan dicari penduga kemungkinan maksimum bagi jika dengan

. Agar mempermudah perhitungan maka dilakukan transformasi ln pada kedua sisi pada persamaan likelihood sehingga diperoleh:

[ ] [ _]

0

Pembuat nol dari persamaan adalah , sehingga diperoleh:

Jadi penduga bagi adalah ̂

G. Metode Delta

Metode Delta dibutuhkan untuk mencari variansi dari penduga fungsi ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier. Metode Delta akan menghasilkan [ ( ̂)] dengan ̂ adalah sebuah penduga dari parameter dan adalah sebuah fungsi dari ̂.

Fungsi ( ̂) mempunyai dua kemungkinan, yaitu ( ̂) merupakan fungsi linear atau ( ̂) merupakan fungsi nonlinear. Jika ( ̂) merupakan fungsi linear berarti ( ̂) ̂, maka menurut Teorema 2.8 dan Teorema 2.9 [ ( ̂)]

( ̂). Kasus yang berbeda muncul apabila ( ̂) merupakan fungsi nonlinear. Penyelesaian dari kasus ini adalah mengambil pendekatan linear dari fungsi tersebut.

Deret Taylor dari fungsi ( ̂) sekitar adalah ( ̂) ( ̂ )

( ̂ )

dengan adalah turunan pertama dari fungsi dan pendekatan nilai ( ̂) sebagai berikut:

( ̂) ( ̂ )

Mengambil variansi di kedua sisi pada persamaan , maka diperoleh

Menggunakan Teorema 2.8 dan Teorema 2.9, maka penyelesaian dari persamaan adalah

[ ( ̂)] [ ] ( ̂)

Pada kenyataannya tidak diketahui, sehingga didekati dengan ̂. Maka persamaan menjadi

45 BAB III

METODE KAPLAN MEIER A. Analisis Ketahanan Hidup

Analisis ketahanan hidup adalah kumpulan dari prosedur statistik untuk menganalisis data dengan variabel keluaran yang diperhatikan adalah waktu sampai terjadinya suatu peristiwa atau event.Waktu dalam analisis ketahanan hidup dapat berupa tahun, bulan, minggu, atau hari. Sedangkan suatu peristiwa atau event dalam analisis ketahanan hidup dapat berupa kejadian-kejadian negatif atau positif yang terjadi pada suatu obyek. Obyek dapat berarti manusia, lampu, mobil, hewan atau apapun yang mempunyai waktu hidup. Selanjutnya obyek yang dibahas adalah manusia yang akan disebut individu. Waktu hidup atau survival time adalah waktu dari awal pengamatan hingga terjadinya suatu kejadian. Dalam analisis ketahanan hidup survival time sering disebut dengan waktu kegagalan atau failure time.

Analisis ketahanan hidup sangat berguna untuk mempelajari berbagai peristiwa dalam ilmu-ilmu sosial dan alam, seperti serangan penyakit, kematian, kegagalan suatu alat, gempa bumi, kecelakaan mobil, dan lain-lain. Oleh karena analisis ketahanan hidup dapat digunakan dalam berbagai bidang ilmu maka analisis ketahanan hidup mempunyai nama yang berbeda-beda sesuai dengan bidang ilmunya. Pada bidang ilmu sosiologi analisis ketahanan hidup dikenal degan Analisis Sejarah (History Analysis). Pada bidang ilmu yang berkaitan dengan mesin, analisis ketahanan hidup dikenal dengan Analisis Realibiliti (Realibility Anaslysis). Pada bidang ilmu ekonomi, analisis ketahanan hidup dikenal dengan nama Analisis Durasi (Duration Analysis). Sedangkan analisis ketahanan hidup dikenal dalam bidang ilmu biologi. Analisis ketahanan hidup juga mempunyai beberapa metode, yaitu Life Tables, Kaplan Meier, Regresi Exponensial, Regresi Log-Normal, Regresi Proporsi Hazard.

B. Fungsi Ketahanan Hidup Definisi 3.1

Fungsi ketahanan hidup atau survival function � adalah probabilitas variabel acak yang merupakan waktu hidup melebihi suatu waktu t. Secara matematis, fungsi ketahanan hidup dapat ditulis

�

Secara teori, berada diantara sampai . Fungsi ketahanan hidup memenuhi tiga sifat. Pertama, fungsi ketahanan hidup merupakan fungsi tak naik. Kedua, saat , � � , artinya awal pengamatan karena belum ada individu yang mengalami suatu peristiwa maka probabilitas ketahanan hidup pada saat itu adalah . Ketiga, saat , � , artinya jika waktu pengamatan bertambah tanpa batas maka tidak ada obyek yang bertahan hidup. Jadi, pada akhirnya kurva fungsi ketahanan hidup akan menuju nol. Pada kenyataannya, ketika digunakan data yang nyata akan diperoleh kurva ketahanan hidup berupa fungsi tangga. Oleh karena waktu pengamatan tidak mungkin menuju tak berhingga, mungkin tidak setiap individu yang diamati akan mengalami peristiwa yang sama sehingga tidak semua fungsi ketahanan hidup akan sama dengan nol pada akhir pengamatan.

Fungsi ketahanan hidup dapat diubah menjadi beberapa bentuk, sebagai berikut: 1. � 2. Jika adalah variabel acak diskrit maka fungsi ketahanan hidup adalah

jumlahan dari fungsi probabilitas, yaitu � ∑ ( )

3. Jika adalah variabel acak kontinu maka fungsi ketahanan hidup adalah integral dari fungsi densitas, yaitu

C. Fungsi Hazard

Suatu kuantitas dasar yang merupakan dasar dalam analisis ketahanan hidup adalah fungsi hazard. Fungsi hazard juga dikenal dengan hazard rate.

Definisi 3.2

Fungsi hazard atau hazard rate didefinisikan sebagai probabilitas kegagalan selama interval waktu yang kecil dengan asumsi individu masih bertahan pada awal interval atau limit dari probabilitas individu gagal pada interval waktu yang kecil dengan individu masih bertahan sampai waktu . Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut:

| D. Distribusi Waktu Hidup Model Kontinu

Misalkan adalah fungsi probabilitas dan adalah variabel acak kontinu, maka dapat diperoleh

|

� �

�

Dari persamaan diketahui bahwa � dan

� �

Dari persamaan dan , diperoleh

� �

� � _� �

� � �

Dari persamaan diperoleh

∫ ∫ �

∫ ∫

� ∫ � |

∫ � �

Karena � maka � , sehingga diperoleh ∫ �

� ∫

Persamaan , , dan menunjukkan bahwa apabila fungsi hazard

diketahui maka fungsi densitas dan fungsi ketahanan hidup � dapat dicari, begitu pula apabila ataupun � yang diketahui maka fungsi hazard

E. Distribusi Waktu Hidup Model Diskrit

Misalkan adalah fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas, adalah banyaknya pengamatan, dan adalah variabel acak diskrit dengan , , , adalah nilai dari . Fungsi hazard untuk variabel acak diskrit adalah

( ) ( | )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) �( )

dengan � Dari persamaan diketahui � berarti

�( ) ( )

( ) ( ) ( ) �( )

atau

( ) �( ) �( )

Berdasarkan persamaan maka diperoleh

( ) ( )

�( )

�( ) �( ) �( ) �( )

�( )

Fungsi ketahanan hidup dapat ditulis sebagai perkalian dari probabilitas bersyarat ketahanan hidup, yaitu

� ∏ �( ) �( )

Jadi, hubungan antara fungsi ketahanan hidup pada persamaan dan fungsi

hazard pada persamaan , yaitu � ∏[ ( )]

F. Data Tersensor

Dalam perhitungan menggunakan metode-metode analisis ketahanan hidup diperlukan data atau yang biasa disebut dengan data ketahanan hidup. Bentuk umum dari data ketahanan hidup adalah mendeskripsikan proses waktu terjadinya suatu kejadian. Bentuk utama dari struktur data ketahanan hidup adalah penyensoran. Biasanya suatu pengamatan ketahanan hidup mempunyai waktu awal mulai pengamatan dan waktu terakhir pengamatan, sehingga pengamat hanya dapat mengamati semua kejadian dan mencatat waktu kejadian selama waktu yang sudah ditentukan. Penyensoran terjadi ketika terdapat individu yang tetap bertahan hidup sampai akhir pengamatan, individu yang hilang dari pengamatan dengan berbagai alasan, atau individu mengikuti pengamatan tidak dari waktu awal. Penyensoran dibagi menjadi beberapa tipe. Tipe-tipe penyensoran dapat dilihat pada diagram dibawah ini.

Misalkan merupakan banyaknya individu yang akan mengikuti suatu percobaan dan , , , merupakan waktu hidup yang dimiliki setiap individu.

Penyensoran

Penyensoran Kanan

Penyesoran Tipe I Penyensoran

Acak Penyensoran

Tipe II Penyensoran

Kiri Penyensoran

1. Penyensoran Kanan

Penyensoran kanan terjadi apabila individu telah memasuki proses pengamatan tetapi hilang dari pengamatan. Waktu kejadian sesungguhnya terletak di sebelah kanan dari waktu penyensoran sepanjang sumbu waktu. Penyensoran kanan terbagi menjadi tiga tipe, yaitu penyensoran tipe I, penyensoran acak, dan penyensoran tipe II.

a. Penyensoran Tipe I

Penyensoran ini biasanya terjadi dalam aplikasi yang berkaitan dengan mesin. Setiap individu mulai diamati pada waktu dan mencacat waktu ketahanan hidup setiap individu sampai mengalami kegagalan. Tidak semua individu akan mempunyai waktu kegagalan yang cepat. Terdapat beberapa individu yang membutuhkan waktu yang lama agar individu tersebut mengalami kegagalan. Suatu percobaan biasanya memiliki batas waktu untuk mengamati setiap kejadian yang terjadi pada individu. Hingga batas waktu pengamatan berakhir biasanya ada individu yang belum mengalami kegagalan dan peneliti tidak ingin menambah waktu pengamatan. Waktu terakhir pengamatan dinotasikan dengan yang disebut juga waktu penyensoran. Jika banyaknya individu yang masuk dalam percobaan adalah , maka waktu kegagalan yang harus diamati adalah . Sebagai pengganti dari waktu yang diamati, akan diobservasi dimana

{ .

b. Penyensoran Acak

Penyensoran acak sering terjadi pada percobaan-percobaan kesehatan. Individu masuk dalam sebuah percobaan pada waktu yang berbeda. Kemudian masing-masing individu diperlakukan dengan percobaan yang sudah ditetapkan. Setiap individu yang masuk dalam pengamatan akan diamati waktu kegagalan tetapi penyensoran dapat terjadi selama pengamatan. Kejadian-kejadian yang menyebabkan terjadinya penyensoran adalah sebagai berikut:

1) Hilang dari pemeriksaan (Loss to Follow Up)

Individu meninggalkan pengamatan tanpa diketahui alasannya. Waktu ketahanan hidup individu yang sebenarnya tidak diketahui, yang diketahui hanya individu bertahan hidup dari tanggal individu masuk dalam pengamatan sampai individu meninggalkan pengamatan.

2) Keluar

Efek buruk yang terjadi dari sebuah percobaan memaksa pemberhentian percobaan atau individu yang menolak untuk melanjutkan percobaan dengan alasan apapun.

3) Penghentian Pengamatan

Penghentian pengamatan terjadi karena individu yang tetap hidup pada akhir dari pengamatan.

Setiap individu yang masuk dalam percobaan mempunyai waktu hidup dan waktu sensor . Pada setiap individu didapat pasangan pengamatan dimana dan {

.

Gambar berikut akan memperjelas pemahaman mengenai penyensoran tipe I dan penyensoran acak. Pada gambar terdapat enam individu yang masuk ke dalam pengamatan. Tanda “x” berarti kegagalan yang terjadi adalah kematian. Tanda “+” berarti penyensoran kanan.

6 5 4 3 2

1 x

x

+

+

+

+ Waktu Awal

Pengamatan

Waktu Terakhir Pengamatan

Angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 menyatakan individu. Dua garis tegak menyatakan waktu awal pengamatan dan waktu terakhir pengamatan. Individu 1 masuk ke dalam pengamatan mulai dari waktu awal pengamatan dan meninggal sebelum waktu terakhir pengamatan. Jadi waktu hidup untuk individu 1, yaitu dihitung dari waktu awal pengamatan sampai waktu individu meninggal. Individu 2 masuk ke dalam pengamatan mulai dari waktu awal pengamatan dan individu belum meninggal sampai akhir pengamatan. Dalam kasus ini, individu 2 termasuk ke dalam penyensoran tipe I. Jadi waktu sensor individu 2, yaitu adalah waktu terakhir pengamatan. Individu 3 masuk ke dalam percobaan tidak mulai dari waktu awal dan meninggal sebelum pengamatan berakhir. Dalam kasus ini, individu 3 termasuk dalam penyensoran acak. Jadi waktu sensor individu 3, yaitu adalah jarak waktu dari individu masuk ke dalam pengamatan sampai individu meninggal. Sama halnya dengan individu 3, individu 4 masuk ke dalam percobaan tidak mulai dari waktu awal pengamatan. Namun, individu 4 belum meninggal sampai waktu terakhir pengamatan. Dalam kasus ini, individu 4 termasuk dalam penyensoran acak. Jadi, waktu sensor individu 4, yaitu adalah jarak waktu dari individu masuk ke dalam pengamatan sampai waktu terakhir pengamatan. Individu 5 dan individu 6 memiliki kasus yang sama, yaitu hilang dari pengamatan. Perbedaannya adalah individu 5 masuk ke dalam pengamatan mulai dari awal pengamatan, sedangkan individu 6 tidak masuk ke dalam pengamatan mulai dari awal. Dalam kasus ini, individu 5 dan individu 6 termasuk dalam penyensoran acak. Waktu sensor individu 5, yaitu adalah jarak waktu dari awal pengamatan sampai individu hilang dari pengamatan. Waktu sensor individu 6, yaitu adalah jarak waktu dari individu masuk dalam pengamatan sampai individu hilang dari pengamatan.

c. Penyensoran Tipe II

Sama seperti penyensoran Tipe I, pengamatan dimulai pada waktu . Misalkan menunjukkan nilai yang telah diurut dari sampel acak . Pengamatan akan berakhir sesudah kegagalan ke- terjadi.

Misalnya dipilih , sehingga pada umumnya akan terdapat waktu kegagalan. Namun pada penyensoran ini, pengamatan berkahir pada saat waktu kegagalan dari kegagalan ke- terjadi. Jadi, pada percobaan hanya akan diamati pengamatan dalam sampel acak dari item. Pada penyensoran ini pengamatan mungkin saja akan membutuhkan waktu yang lama karena harus menunggu sampai kegagalan ke- terjadi. Namun pengamatan juga dapat berakhir cepat apabila kegagalan ke- terjadi sangat cepat. Misalkan adalah waktu pengamatan berakhir pada saat kegagalan ke- terjadi. Semua individu yang masih bertahan sampai waktu memiliki waktu sensor yaitu . Secara umum penyensoran ini diilustrasikan sebagai berikut:

2. Penyensoran Kiri

Penyensoran kiri sering terjadi sering terjadi pada pengamatan yang melibatkan dua tahap pengamatan yang berbeda. Individu yang masuk pada proses pengamatan pertama tetapi tidak memenuhi syarat untuk masuk ke tahap kedua dipandang sebagai tersensor kiri. Misalkan sebuah pengamatan berjudul “Inisiasi Penggunaan Alat Kontrasepsi Pertama Kali Sesudah Menikah”. Pasangan yang mengikuti pengamatan tetapi telah menggunakan alat kontrasepsi sebelum menikah maka data dari pasangan tersebut tersensor kiri. Contoh lainnya adalah misalkan pengamatan dilakukan pada sebuah Sekolah Menengah Atas yang berjudul “Pemakaian Ganja Pertama Kali Selama Masa Sekolah Menengah Atas”. Seorang anak SMA yang mengikuti

pengamatan telah memakai ganja tetapi anak tersebut tidak mengingat waktu pertama memakai ganja maka data dari anak tersebut tersensor kiri.

3. Penyensoran Interval

Pada penyensoran interval waktu hidup hanya terjadi pada suatu interval. Setiap waktu hidup individu, yaitu jatuh dalam interval ] yang merepresentasikan interval waktu dengan merupakan batas bawah waktu penyensoran dan merupakan batas atas waktu penyensoran. Misalkan individu ke- memperlihatkan gejala kegagalan pada waktu pemeriksaan pertama maka dan adalah waktu pemeriksaan selanjutnya. Jika individu tidak memperlihatkan gejala kegagalan sampai waktu pemeriksaan ke- tetapi menunjukkan gejala kegagalan pada waktu ke- maka adalah waktu pemeriksaan ke- dan adalah waktu pemeriksaan ke- . Jika individu tidak menunjukkan gejala kegagalan sampai waktu pemeriksaan terakhir maka adalah waktu pemeriksaan terakhir dan . Waktu ketahanan hidup pada penyensoran interval biasa ditetapkan, misalnya waktu tengah dari interval waktu.

G. Penduga Fungsi Ketahanan Hidup dengan Metode Kaplan Meier

Penduga Kaplan Meier dikenal juga dengan sebutan penduga product limit. Penduga Kaplan Meier pertama kali diperkenalkan oleh Kaplan dan Meier pada tahun 1958. Penduga Kaplan Meier banyak digunakan dalam dunia medis untuk menduga fungsi ketahanan hidup. Diketahui fungsi ketahanan hidup � adalah � . Ketika tidak ada data tersensor maka penduga Kaplan Meier adalah �̂ . Penduga Kaplan Meier untuk kasus penyensoran kanan yang tunggal sama dengan penduga Kaplan Meier untuk kasus tidak ada penyensoran, yaitu �̂ untuk setiap , merupakan waktu sensor. Semua kasus penyensoran yang disensor pada waktu yang sama disebut kasus penyensoran kanan tunggal. Dalam kasus ini, untuk �̂ tidak terdefinisi. Hal yang berbeda muncul apabila beberapa waktu penyensoran lebih kecil dari pada beberapa waktu kegagalan. akan menjadi bias karena

kasus yang disensor sebelum pada kenyataannya bisa saja termasuk dalam kegagalan tanpa diketahui. Solusi untuk masalah tersebut adalah sebagai berikut: Misalkan terdapat waktu yang berbeda dengan . Untuk setiap

, ada individu yang dikatakan berada pada risiko kegagalan. Risiko berarti individu-individu tersebut tidak mengalami kegagalan dan juga belum disensor sebelum waktu ke- . Jika terdapat individu yang tersensor tepat pada waktu ke-maka individu tersebut termasuk dalam risiko pada waktu ke- . Misalkan adalah banyaknya individu yang meninggal pada waktu ke- .

Teorema 3.1

Penduga fungsi ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier adalah �̂ ∏

untuk . Bukti:

Fungsi likelihood untuk dengan merupakan fungsi

hazard saat waktu ke- adalah

[ ] ∏ ( ) [ ( )]

dengan adalah banyaknya kegagalan yang terjadi waktu ke- dan adalah banyaknya individu yang berisiko gagal pada waktu ke- .

Selanjutnya akan dicari penduga untuk fungsi hazard dengan mengambil turunan pertama dari [ ] terhadap ( ) sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan tersebut untuk ( ).

Langkah 1: Tentunya akan sulit apabila persamaan di atas langsung diturunkan terhadap ( ), sehingga diperlukan cara untuk mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang lebih sederhana dengan transformasi logaritma.

[ ] ∏ ( ) [ ( )]

∑ [ ( ) ( ) ( ) ]

Langkah 2: Mengambil turunan pertama dari [ ] terhadap ( ), yaitu:

[ [ ]]

( ) ( )

( ) Langkah 3: mencari penyelesaian untuk ( ), yaitu

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Sehingga pembuat nol dari persamaan di atas adalah ( ) , maka diperoleh ( )

Jadi diperoleh ̂( ) atau biasa ditulis dengan ̂ . Persamaan menyatakan bahwa � ∏ ( ) sehingga �̂ ∏ ( ̂ ) atau

�̂ ∏

Teorema 3.2

Penduga variansi untuk penduga Kaplan Meier adalah ̂[�̂ ] [�̂ ] ∑

( )

Standar error dari penduga Kaplan Meier adalah akar kuadrat dari penduga variansi untuk penduga Kaplan Meier.

Bukti:

Teorema menyatakan bahwa �̂ ∏ ( ) dengan menambahkan fungsi ln pada kedua ruas diperoleh:

[�̂ ] ∑

∑ [ ̂( )]

dengan ̂( ) adalah probabilitas bersyarat dari ketahanan hidup dalam interval ( ) ̂( ) dapat dinyatakan sebagai sebuah penduga dari proporsi. Penduga variansi untuk ̂( ) adalah ̂[ ̂( )] ̂( )[ ̂( )]

Selanjutnya menggunakan Metode Delta persamaan diperoleh ̂[ ̂( )] [

̂( )]

̂( )[ ̂( )] [ ̂( )] ̂( )

Pembilang dan penyebut dari persamaan di atas dikalikan dengan sehingga ̂[ ̂( )] [ ̂( )]

̂( ) Karena ̂( ) maka ̂( ) . Jadi

̂[ ̂( )] ̂( ) ( )

( )

( ) ( )

Penduga variansi �̂ dapat diperoleh dengan menjumlahkan variansi dari ln ̂( ) dengan , yaitu

̂[ �̂ ] ∑

( )

Selanjutnya digunakan Metode Delta dengan ( �̂ ), sehingga diperoleh penduga variansi dari penduga Kaplan Meier yaitu

̂[�̂ ] [�̂ ] ∑

( )

Rumus dari penduga variansi untuk penduga Kaplan Meier sering disebut dengan formula Greenwood.

Selang kepercayaan bagi �̂ diperoleh dengan mengasumsikan bahwa nilai penduga dari fungsi ketahanan hidup pada berdistribusi normal dengan rata-rata

� dan standar eror √ ̂[�̂ ] . Dengan demikian diperoleh kuantitas pivot

̂ _{√ ̂[ ̂ ]} berdistribusi Normal Standar, sehingga menurut persamaan

selang kepercayaan untuk � yang memiliki koefisien kepercayaan sama dengan , yaitu

( )

(

�̂ � √ ̂[�̂ ]

)

√ ̂[�̂ ] �̂ � √ ̂[�̂ ] �̂ √ ̂[�̂ ] � �̂ √ ̂[�̂ ] Jadi, selang kepercayaan untuk � adalah

�̂ √ ̂[�̂ ] � �̂ √ ̂[�̂ ] Contoh 3.1

Terdapat dua kelompok pasien penderita leukemia di suatu rumah sakit. Setiap kelompok terdiri dari 21 orang. Kelompok 1 adalah kelompok yang tidak diberi pengobatan sedangkan kelompok 2 adalah kelompok yang diberi pengobatan. Pengamat ingin mengetahui apakah obat yang diberikan kepada penderita leukema dapat memperlambat kematian dengan melihat ketahanan hidup setelah 23 minggu. Berikut adalah data dari setiap pasien dengan tanda + berarti pasien tersebut tersensor.

Waktu kegagalan kelompok 1 secara berurut adalah 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 8, 11, 11, 12, 12, 15, 17, 22, 23. Waktu kegagalan pada kelompok 2 secara berurut adalah 6, 6, 6, 6+, 7, 9+, 10, 10+, 11+, 13, 16, 17+, 19+, 22, 23, 25+, 32+, 32+, 34+, 35+.

Menggunakan rumus penduga Kaplan Meier, yaitu �̂ . Hasil untuk kelompok 1 dapat dilihat dalam tabel di bawah ini.

Tabel 3.1 Hasil Perhitungan untuk Kelompok 1

�̂( )

0 21 0 1

1 21 2

2 19 2

3 17 1

4 16 2

5 14 2

8 12 4

11 8 2

12 6 2

15 4 1

17 3 1

22 2 1

23 1 1

Sedangkan untuk kelompok 2 menggunakan rumus �̂ ∏ ( ). Hasil perhitungan dapat dilihat pada tabel di bawah ini.

Tabel 3.2 Hasil Perhitungan untuk Kelompok 2

�̂( )

0 0 21 1

6 3 21

7 1 17

10 1 15

13 1 12

16 1 11

22 1 7

23 1 6

Dari Tabel 3.1 diketahui bahwa ketahanan hidup penderita leukimia setelah 23 minggu adalah 0, ini artinya adalah kelompok 1 yaitu kelompok yang tidak diberi pengobatan tidak dapat bertahan hidup setelah 23 minggu. Dari Tabel 3.2 diketahui bahwa ketahanan hidup penderita leukimia setelah 23 minggu adalah 0.4482, ini artinya bahwa kelompok 2 yaitu kelompok yang diberi pengobatan dapat bertahan hidup setelah 23 minggu dengan peluang 0.4482. Kesimpulan yang diperoleh dari hasil perhitungan adalah obat yang diberikan kepada penderita leukima dapat memperlambat kematian penderita leukemia.

Contoh 3.2

Tentukan selang kepercayaan bagi � untuk kelompok 1 pada Contoh 3.1 Jawab:

Sebelum mencari selang kepercayaan akan dicari ̂[�̂ ]. Menurut Teorema 3.2, yaitu ̂[�̂ ] [�̂ ] ∑

( )

, maka ̂[�̂ ] [�̂ ] ∑ _{( )}

[ _]

Dari persamaan dapat diperoleh selang kepercayaan bagi � adalah �̂ √ � �̂ √

� �

Artinya, dengan tingkat kepercayaan ketahanan hidup pasien penderita leukimia yang tidak diberi pengobatan lebih dari 8 minggu berada pada selang [ ].

Lampiran 10: List Program Kelangsungan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Tidak Mengikuti Kemoterapi

1. payunonkemo<-read.table(file.choose(), sep=";", header = TRUE) 2. library(survival)

3. attach(payunonkemo)

4. payunonkemo.surv <- survfit( Surv(Time, Sensor)~ 1,conf.type="plain") 5. summary(payunonkemo.surv)

Call: survfit(formula = Surv(Time, Sensor) ~ 1, conf.type = "plain")

time n.risk n.event survival std.err lower 95% CI

upper 95% CI 0 315 4 0.987 0.00631 0.975 1.000 1 310 7 0.965 0.01036 0.945 0.985 2 293 4 0.952 0.01214 0.928 0.976 3 279 2 0.945 0.01297 0.920 0.970 4 259 4 0.930 0.01468 0.902 0.959 7 169 2 0.919 0.01644 0.887 0.952 8 138 1 0.913 0.01762 0.878 0.947 9 116 1 0.905 0.01915 0.867 0.942 10 107 1 0.896 0.02075 0.856 0.937 11 101 1 0.888 0.02236 0.844 0.931 12 97 2 0.869 0.02537 0.820 0.919 15 91 2 0.850 0.02818 0.795 0.905 16 87 3 0.821 0.03189 0.758 0.883 18 83 1 0.811 0.03300 0.746 0.876 20 81 1 0.801 0.03408 0.734 0.868 26 75 1 0.790 0.03526 0.721 0.859 32 70 1 0.779 0.03652 0.707 0.851 33 69 1 0.768 0.03769 0.694 0.842 35 67 1 0.756 0.03883 0.680 0.822 58 58 1 0.731 0.04148 0.649 0.812 98 47 1 0.715 0.04342 0.630 0.800

135 32 1 0.693 0.04746 0.600 0.786 166 26 1 0.666 0.05259 0.563 0.769 178 24 1 0.638 0.05726 0.526 0.751 223 19 1 0.605 0.06334 0.481 0.729 229 18 1 0.571 0.06816 0.438 0.705 234 17 1 0.538 0.07196 0.397 0.679 243 16 1 0.504 0.07490 0.357 0.651 257 14 1 0.468 0.07772 0.316 0.620 283 12 1 0.429 0.08044 0.271 0.587 309 8 1 0.375 0.08643 0.206 0.545 883 1 1 0.000 NaN NaN NaN

Lampiran 11: List Program Grafik Perbandingan Kelangsungan Hidup Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti Kemoterapi dengan yang Tidak Mengikuti Kemoterapi

1. payukemo.surv <- survfit( Surv(Waktu, Censor)~ 1, conf.type="none") 2. plot (payukemo.surv, xlab="Time", ylab="Survival Probability",col="red" ) 3. payunonkemo.surv <- survfit( Surv(Time, Sensor)~ 1, conf.type="none") 4. lines (payunonkemo.surv, xlab="Time", ylab="Survival

Probability",col="blue" )

Lampiran 12: List Program Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Mengikuti Kemoterapi

1. stadium4kemo<-read.table(file.choose(), sep=";", header = TRUE) 2. library(survival)

3. attach(stadium4kemo)

4. stadium4kemo.surv<-survfit(Surv(Time,Sensor)~1,conf.type="plain") 5. summary(stadium4kemo.surv)

Call: survfit(formula = Surv(Time, Sensor) ~ 1, conf.type = "plain")

time n.risk n.event survival std.err lower 95% CI

upper 95% CI 38 22 1 0.9545 0.0444 0.8675 1.000 77 20 1 0.9068 0.0628 0.7837 1.000 90 18 1 0.8564 0.0769 0.7057 1.000 92 17 1 0.8061 0.0873 0.6349 0.977 157 16 1 0.7557 0.0953 0.5689 0.942 162 15 1 0.7053 0.1014 0.5066 0.904 171 14 1 0.6549 0.1059 0.4473 0.863 198 13 1 0.6045 0.1091 0.3907 0.818 231 12 1 0.5542 0.1110 0.3365 0.772 463 8 1 0.4849 0.1168 0.2560 0.714 497 7 1 0.4156 0.1189 0.1826 0.649 580 5 1 0.3325 0.1207 0.0959 0.569 589 4 1 0.2494 0.1157 0.0227 0.476 667 3 1 0.1662 0.1027 0.0000 0.368 766 2 1 0.0831 0.0781 0.0000 0.236 6. plot (stadium4kemo.surv, xlab="Time", ylab="Survival Probability" )

Lampiran 13: List Program Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Tidak Mengikuti Kemoterapi

1. stadium4nonkemo<-read.table(file.choose(), sep=";", header = TRUE) 2. library(survival)

3. attach(stadium4nonkemo)

4. stadium4nonkemo.surv<-survfit(Surv(time,censor)~1,conf.type="plain") 5. summary(stadium4nonkemo.surv)

Call: survfit(formula = Surv(time, censor) ~ 1, conf.type = "plain")

time n.risk n.event survival std.err lower 95% CI

upper 95% CI 7 12 1 0.917 0.0798 0.760 1.000 16 11 1 0.833 0.1076 0.622 1.000 18 10 1 0.750 0.1250 0.505 0.995 20 9 1 0.667 0.1361 0.400 0.933 35 8 1 0.583 0.1423 0.304 0.862 229 4 1 0.437 0.1654 0.113 0.762 243 3 1 0.292 0.1623 0.000 0.610 883 1 1 0.000 NaN NaN NaN

Lampiran 14: List Program Grafik Perbandingan Kelangsungan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Mengikuti Kemoterapi dengan yang Tidak Mengikuti Kemoterapi 1. stadium4kemo.surv<-survfit(Surv(Time,Sensor)~1,conf.type="none") 2. plot (stadium4kemo.surv, xlab="Time", ylab="Survival

Probability",col="red" )

3. stadium4nonkemo.surv<-survfit(Surv(time,censor)~1,conf.type="none") 4. lines (stadium4nonkemo.surv, xlab="Time", ylab="Survival

Probability",col="blue" )