Teorema Limit Pusat Pendugaan Parameter

∑ ∑ [ ] [ ]  Untuk variabel kontinu [ ] ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] ∫ [ ] [ ]

D. Teorema Limit Pusat

Teorema 2. 16 Misalkan dan adalah variabel random dengan fungsi pembangkit momen dan Jika maka fungsi distribusi dari konvergen ke fungsi distribusi saat . Bukti: Bukti terdapat pada buku Williams, David. 1991. Probability With Martingales. New York: Cambridge University Press. Halaman 185. Teorema 2.17 Misalkan merupakan variabel acak yang berdistribusi independen dan identik dengan dan . Didefinisikan ∑ √ ̅ √ ⁄ dengan ̅ ∑ Maka fungsi distribusi dari konvergen ke fungsi Distribusi Normal Standar ketika , yaitu ∫ √ untuk semua . Bukti: Misalkan √ √ ∑ √ ∑ √ ∑ Karena variabel acak adalah saling bebas dan berdistribusi identik maka , juga saling bebas dan berdistribusi identik dengan dan , maka fungsi pembangit momen dari jumlahan variabel acak adalah perkalian dari masing-masing fungsi pembangkit momennya Teorema 2.14, maka ∑ [ ] Selanjutnya akan dicari fungsi pembangkit momen untuk √ ∑ √ ∑ √ [ √ ] Deret Taylor dari adalah dan , maka Sehingga [ √ ] [ ⁄ ] √ Saat maka , sehingga maka [ ] . Jika maka Maka [ ⁄ ] merupakan fungsi pembangkit momen bagi distribusi normal standar. Menurut Teorema 2.16 dapat disimpulkan bahwa memiliki fungsi probabilitas yang konvergen ke fungsi probabilitas Normal Standar. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

E. Pendugaan Parameter

Dalam melakukan suatu percobaan atau penelitian pada populasi tertentu dibutuhkan sampel yang representatif. Setiap populasi memiliki karakteristik yang dinyatakan dengan sebuah bilangan yang disebut parameter. Tujuan dari percobaan atau penelitian statistik adalah untuk menduga satu atau lebih parameter yang relevan. Contoh dari parameter populasi adalah rata-rata populasi, variansi populasi, dan standar deviasi populasi. Penduga dibagi menjadi dua macam, yaitu penduga titik dan penduga selang. Definisi 2.24 Sebuah penduga adalah aturan yang biasanya dinyatakan dalam rumus untuk menghitung nilai dari suatu dugaan berdasarkan pengukuran-pengukuran yang terkandung dalam sampel. 1. Penduga Titik Penduga titik adalah penduga yang menghasilkan suatu nilai sebagai hasil pendugaannya. Penduga selang adalah penduga yang menghasilkan suatu selang sebagai hasil pendugaanya. Contoh 2.22 Proporsi sampel yang dinyatakan dalam rumus ̂ ∑ merupakan salah satu penduga titik dari proporsi populasi . Suatu penduga titik dapat dikatakan penduga yang baik atau penduga yang buruk. Penduga yang baiklah yang nantinya akan dipilih untuk menduga suatu nilai dari parameter. Penduga yang baik akan dilihat dari bias dan rata-rata kuadrat galatnya. Syarat dari suatu penduga untuk suatu parameter dikatakan penduga yang baik yaitu apabila penduga tersebut merupakan penduga tak bias. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 2.25 Misalkan ̂ adalah sutu penduga titik untuk sebuah parameter . Jika ̂ maka ̂ disebut penduga tak bias. Jika ̂ maka ̂ disebut penduga bias. Definisi 2.26 Bias dari suatu penduga titik ̂ dinyatakan dalam sebuah rumus, yaitu ̂ ̂ . Definisi 2.27 Rata-rata kuadrat galat dari suatu penduga titik ̂ adalah ̂ [ ̂ ]. Contoh 2.23 Misalkan berdistribusi Binomial dengan parameter dan . Buktikan bahwa ̂ adalah penduga tak bias dari . Jawab: Menurut Definisi 2.25 berarti harus ditunjukkan bahwa ̂ . ̂ Jadi terbukti bahwa ̂ adalah penduga tak bias dari 2. Penduga Selang Penduga selang lebih dikenal dengan selang kepercayaan. Setiap selang kepercayaan mempunyai batas atas atau batas bawah. Batas bawah dan batas atas dari selang kepercayaan disebut dengan limit bawah kepercayaan dan limit atas kepercayaan. Probabilitas bahwa selang kepercayaan akan dekat dengan disebut koefisien kepercayaan. Jika ̂ dan ̂ adalah limit bawah kepercayaan dan limit atas kepercayaan bagi parameter , maka ̂ ̂ adalah koefisien kepercayaan. Selang penduganya yaitu [ ̂ ̂ ] disebut selang kepercayaan dua sisi. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Selang kepercayaan juga dapat berupa selang kepercayaan satu sisi, seperti ̂ dengan selang kepercayaannya [ ̂ ] atau ̂ dengan selang kepercayaannya [ ̂ ]. 3. Metode Pivot Metode pivot merupakan metode yang sangat berguna untuk menentukan selang kepercayaan. Metode pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas pivot. Kuantitas pivot memiliki dua ciri, yaitu: a. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter yang tidak diketahui. b. Distribusi probabilitas dari kuantitas pivot tidak bergantung pada parameter . Contoh 2.24 berdistribusi normal dengan tidak diketahui dan . Tentukan selang kepercayaan bagi bila diketahui kuantitas pivotnya adalah Jawab: Dari Contoh 2.17 diperoleh yang berarti berdistribusi normal dengan dan sehingga √ Syarat kuantitas pivot dipenuhi, yaitu: a. Z merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter yang tidak diketahui. b. Distribusi probabilitas, yaitu tidak bergantung pada parameter . Selang kepercayaan bagi adalah: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Gambar 2.1. Kurva Distribusi Normal dengan Dari Gambar 2.1 diperoleh Dari tabel Distribusi Normal Lampiran 4 diperoleh . Karena kurva Distribusi Normal adalah kurva yang simetri maka . Jadi, Substitusi Z diperoleh Jadi, selang kepercayaan bagi adalah 4. Selang Kepercayaan untuk Sampel Besar Saat ukuran sampel semakin besar maka semua penduga titik akan mendekati Distribusi Normal. Jika parameter target adalah maka untuk sampel yang besar ̂ ̂ mendekati Distribusi Normal Standar. merupakan bentuk kuantitas pivot dan metode pivot dapat digunakan untuk menghasilkan selang kepercayaan bagi parameter target . Contoh 2.25 Misalkan ̂ berdistribusi normal dengan rata-rata dan standar error ̂ . Tentukan selang kepercayaan bagi yang memiliki koefisien kepercayaan sama dengan . Jawab: Kuantitas pivot ̂ ̂ berdistribusi normal standar. Gambar 2.2. Kurva Distribusi Normal dengan Dipilih dua nilai, yaitu dan sehingga Substitusi ke Persamaan 2.1, maka diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Sehingga diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

F. Metode Kemungkinan Maksimum