29 Misalkan adalah himpunan fuzzy pada ,
∀ dengan adalah himpunan indeks, maka gabungan dan
irisan berturut-turut pada himpunan fuzzy tersebut didefinisikan :
= , μ ∶
dimana μ
= �
∶ , ∀
. = , μ
∶ dimana
� =
� ∶
, ∀ .
Definisi 2.2.10
Misalkan dan adalah dua himpunan fuzzy di .
disebut subset dari dinotasikan dengan ⊂ jika dan
hanya jika �
≤ � ,
∀ .
Definisi 2.2.11
Misalkan dan adalah dua himpunan fuzzy di .
dan dikatakan beririsan jika dan hanya jika ada
sedemikian hingga �
≠ 0. Definisi 2.2.12
Misalkan adalah himpunan fuzzy pada dan
adalah himpunan fuzzy pada . Hasil kali silang
himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy ×
pada × dengan derajat keanggotaan
�
×
, = �
, � , ∀ ,
× .
Teorema 2.2.1
Misalkan adalah himpunan fuzzy pada dan
adalah himpunan fuzzy pada , maka
× = × 1 1 × .
Definisi 2.2.13
Diberikan fungsi :
→ , dan
. Maka: i
Peta dari himpunan fuzzy adalah himpunan fuzzy pada dengan derajat keanggotaan ∀
� =
� ∶
−1
,
−1
≠ ∅ 0 ,
−1
= ∅
ii Prapeta dari himpunan fuzzy adalah himpunan
fuzzy
−1
pada dengan derajat keanggotaan �
−1
= � , ∀
Teorema 2.2.2
Diberikan fungsi :
→ . Maka berlaku : i
−1
=
−1
, untuk sebarang himpunan fuzzy
di . ii
−1 1
2
=
−1 1
−1 2
, untuk
sebarang himpunan fuzzy
1
dan
2
di . iii
1 2
⊂
1 2
, untuk sebarang himpunan fuzzy
1
dan
2
di . iv
−1
⊂ , untuk sebarang himpunan fuzzy di .
v ⊂
−1
, untuk sebarang himpunan fuzzy di .
vi Jika
1
⊂
2
maka
−1 1
⊂
−1 2
, untuk sebarang himpunan fuzzy
1
dan
2
di . vii
Jika
1
⊂
2
maka
1
⊂
2
, untuk sebarang himpunan fuzzy
1
dan
2
di .
Akibat 2.2.1
Diberikan fungsi :
→ , dan
i Jika fungsi injektif maka
1 2
=
1 2
ii Jika fungsi injektif maka =
−1
. iii
Jika fungsi surjektif maka
−1
= .
Teorema 2.2.3
Diberikan fungsi :
→ . Fungsi : → × adalah fungsi graf dari fungsi
. Misalkan adalah himpunan fuzzy pada ,
adalah himpunan fuzzy pada , dan
× adalah himpunan fuzzy pada × . Maka
−1
× =
−1
.
2.3 Topologi Fuzzy dan Ruang Topologi Fuzzy
Definisi 2.3.1
Sebuah koleksi himpunan fuzzy ⊂
disebut topologi fuzzy pada jika memenuhi aksioma sebagai
berikut : i
, 1 ii
∀ , ⇒
iii ∀
⟹ .
Himpunan dengan sebuah topologi fuzzy
disebut ruang topologi fuzzy, dan dinotasikan dengan pasangan
berurutan , .
Definisi 2.3.2
Jika adalah suatu topologi fuzzy pada
, maka anggota-anggota dari disebut himpunan fuzzy buka.
Definisi 2.3.3
Himpunan fuzzy dikatakan tertutup jika
. Dinotasikan dengan
untuk koleksi semua himpunan fuzzy tutup.
Definisi 2.3.4
30 Misalkan
, adalah ruang topologi fuzzy. ℬ
subkoleksi himpunan dari disebut basis dari topologi fuzzy jika dan hanya jika untuk setiap
, terdapat himpunan indeks
dengan ⊂ ℬ , sehingga
= .
Definisi 2.3.5
Misalkan , dan , adalah ruang topologi
fuzzy. Hasil kali topologi fuzzy pada ×
adalah topologi fuzzy yang dibangkitkan oleh koleksi
× ∶ ,
yang membentuk sebuah basis untuk hasil kali topologi fuzzy pada
× .
Teorema 2.3.1
Misalkan , dan , berturut-turut adalah
ruang topologi fuzzy pada dan
. Jika adalah himpunan fuzzy tutup di dan
adalah himpunan fuzzy tutup di maka
× adalah himpunan fuzzy tutup di × .
Definisi 2.3.6
Sebuah himpunan fuzzy di disebut titik fuzzy jika dan hanya jika bernilai 0 untuk semua
, kecuali untuk suatu
. Jika �
= � , maka titik fuzzy tersebut dapat dinotasikan dengan
�
.
Definisi 2.3.7
Misalkan dan
�
adalah dua tiitik fuzzy di . dikatakan sama dengan
�
dan dinotasikan dengan =
�
jika dan hanya jika =
�
.
Definisi 2.3.8
Untuk sebarang titik fuzzy dan sebarang himpunan
fuzzy , dikatakan termuat di dan dinotasikan
dengan jika dan hanya jika ≤ �
.
Definisi 2.3.9
Interior dari himpunan fuzzy pada adalah
himpunan fuzzy pada dengan derajat keanggotaan �
= {�
∶ ⊂ , }
Interior dari himpunan fuzzy pada dinotasikan
dengan atau °.
Definisi 2.3.10
Closure dari himpunan fuzzy pada adalah
himpunan fuzzy pada dengan derajat keanggotaan �
= �
∶ ⊂ , Closure dari himpunan fuzzy dinotasikan dengan
atau .
Definisi 2.3.11
Misalkan , adalah ruang topologi fuzzy.
Himpunan fuzzy di disebut prabuka jika
⊂ . Komplemen dari himpunan fuzzy prabuka
disebut pratutup.
Teorema 2.3.2
Misalkan , adalah ruang topologi fuzzy. Jika
adalah himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di , maka adalah himpunan fuzzy prabuka.
Teorema 2.3.3
Jika dan adalah himpunan fuzzy prabuka di
maka adalah himpunan fuzzy prabuka di .
Definisi 2.3.12
Diberikan dan
adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi
: → dikatakan buka fuzzy jika untuk setiap
himpunan fuzzy yang buka di ,
adalah himpunan fuzzy buka di .
Definisi 2.3.13
Diberikan dan
adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi
: → dikatakan prakontinu fuzzy jika untuk
setiap himpunan fuzzy yang buka di ,
−1
merupakan himpunan fuzzy prabuka di .
Definisi 2.3.14
Basis filter fuzzy pada adalah koleksi tak kosong ℱ
dari himpunan-himpunan fuzzy pada yang memenuhi : i
0 ℱ ii
Jika , ℱ maka terdapat ℱ sedemikian hingga
⊂
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
