9356 12418 1 PB

FUZZY SLIGHTLY PRECONTINUITY PADA TOPOLOGI FUZZY

Elita Hartayati

Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : elita_dean@yahoo.com

Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si.

Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : dwi.juniati@yahoo.co.id

Abstrak

Topologi pada himpunan fuzzy disebut topologi fuzzy. Salah satu topik pada topologi fuzzy mengkaji tentang fungsi fuzzy slightly precontinuous, aksioma-aksioma pemisahan dan graf pre-co-closed fuzzy. Jika diberikan dan , berturut-turut adalah ruang topologi fuzzy, maka suatu fungsi : → dikatakan

fuzzy slightly precontinuous jika untuk setiap titik fuzzy di dan setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat , terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga ⊂ . Selanjutnya, pada makalah ini akan dibahas sifat-sifat fungsi fuzzy slightly precontinuous, hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan aksioma-aksioma pemisahan, serta hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan graf pre-co-closed fuzzy.

Kata Kunci: topologi fuzzy, fuzzy slightly precontinuity, aksioma-aksioma pemisahan, graf pre-co-closed

fuzzy.

Abstract

Topology on fuzzy sets is called fuzzy topology. One of the topics on fuzzy topological study of fuzzy slightly precontinuous functions, separation axioms and fuzzy pre-co-closed graphs. Let , and , be fuzzy topological spaces, then a function : → is said to be fuzzy slightly precontinuous if for each fuzzy point in and each fuzzy open and closed set in containing , there exists a fuzzy preopen set in containing such that ⊂ . Furthermore, in this paper will discuss the properties of fuzzy slightly precontinuous functions, relationships between fuzzy slightly precontinuity and separation axioms and between fuzzy slightly precontinuity and fuzzy pre-co-closed graphs.

Keywords: fuzzy topology, fuzzy slightly precontinuity, separation axioms, fuzzy pre-co-closed graphs.

1. PENDAHULUAN 1.1Latar Belakang

Topologi pada himpunan fuzzy disebut topologi fuzzy. Ruang topologi fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh C.L. Chang pada tahun 1968. Sebuah topologi fuzzy pada adalah sebuah koleksi himpunan fuzzy pada subset-subset , yang mana memuat himpunan fuzzy 0 dan himpunan fuzzy 1, gabungan semua elemen dari sebarang subset termuat di dan irisan semua elemen dari subset berhingga termuat di . Pasangan berurutan , disebut ruang topologi fuzzy. Ruang topologi ,� juga merupakan ruang topologi fuzzy dimana setiap subset yang berada di � adalah himpunan fuzzy dengan derajatkeanggotaan setiap elemennya pada 0,1 . Salah satu materi topologi fuzzy mengkaji tentang fungsi fuzzy slightly precontinuous, aksioma-aksioma pemisahan (separation axioms) dan graf pre-co-closed fuzzy.

Pada tahun 2005, Erdal Ekici memperkenalkan konsep tentang fuzzy slightly precontinuity yang merupakan perumuman dari prakontinuitas fuzzy yang diperkenalkan oleh Shahna pada tahun 1991 dan beberapa jenis kontinuitas fuzzy yaitu kontinuitas fuzzy,

fuzzy weakly continuity, fuzzy _�-continuity, fuzzy strongly

�-continuity, fuzzy almost strongly �-continuity, fuzzy weakly �-continuity, fuzzy almost continuity, fuzzy super continuity dan fuzzy -continuity yang diperkenalkan oleh Erdal Ekici pada tahun 2004. Konsep tersebut telah dipublikasikan menjadi artikel di jurnal internasional yang berjudul “Generalization of Some Fuzzy Functions”.

Terinspirasi dari jurnal “Generalization of Some Fuzzy Functions” tersebut, sehingga pada makalah ini dibahas mengenai fuzzy slightly precontinuity pada topologi fuzzy dan akan dibuktikan teorema-teorema yang berkaitan dengan sifat-sifat fungsi fuzzy slightly precontinuous, hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan aksioma-aksioma pemisahan, serta hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan graf pre-co-closed fuzzy.

1.2Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, rumusan masalah pada makalah ini adalah sebagai berikut :

(1)Bagaimana sifat-sifat dari fungsi fuzzy slightly precontinuous ?

(2)Bagaimana hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan aksioma-aksioma pemisahan ? (3)Bagaimana hubungan antara fuzzy slightly

precontinuity dan graf pre-co-closed fuzzy ? 1.3Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan makalah ini adalah untuk menjelaskan sifat-sifat fungsi fuzzy slightly precontinuous, hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan aksioma-aksioma pemisahan, serta hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan graf pre-co-closed fuzzy.

1.4Manfaat Penulisan

Adapun manfaat dari penulisan makalah ini yaitu : (1)Menambah wawasan penulis tentang fuzzy slightly

precontinuity pada topologi fuzzy beserta sifat-sifat dan hubungannya dengan aksioma-aksioma pemisahan dan graf pre-co-closed fuzzy.

(2)Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika. 1.5Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam menyusun makalah ini adalah metode kajian pustaka, yaitu demakalah teoritis mengenai objek yang akan dibahas dengan cara mencari, menelaah, memahami, mendalami dan mengidentifikasi pengetahuan yang ada dalam kepustakaan (sumber buku bacaan, referensi, jurnal, atau hasil penelitian lain untuk menunjang penelitian). Adapun jurnal utama yang digunakan adalah Generalization of Some Fuzzy Functions (Erdal Ekici, 2005) dan buku pendukung yang digunakan adalah Fuzzy Topology (Palaniappan, 2007).

2. LANDASAN TEORI

2.1Relasi dan Fungsi Definisi 2.1.1

Diberikan fungsi : → . Fungsi graf : → × dari fungsi didefinisikan oleh = , , untuk

setiap .

2.2 Himpunan Fuzzy

Definisi 2.2.1

Jika adalah himpunan tak kosong maka himpunan fuzzy pada didefinisikan :

= ,� ∶

dimana � : → 0,1 = . Selanjutnya � ( ) disebut derajat keanggotaan dari , dan fungsi � disebut fungsi keanggotaan dari . Lebih lanjut, jika derajat keanggotaannya 0, boleh tidak ditulis.

Definisi 2.2.2

adalah koleksi semua himpunan fuzzy pada . Definisi 2.2.3

Himpunan fuzzy nol pada dinotasikan 0 adalah himpunan fuzzy dimana �0( ) = 0,∀ .

Himpunan fuzzy satu pada dinotasikan 1 adalah himpunan fuzzy dimana �1( ) = 1,∀ .

Definisi 2.2.3

Misalkan adalah himpunan fuzzy pada . Support

dari dinotasikan dan didefinisikan oleh

= ∶ � > 0

Operasi Pada Himpunan Fuzzy

Seperti pada himpunan klasik, himpunan fuzzy juga memiliki operasi-operasi himpunan. Operasi-operasi pada himpunan fuzzy adalah

Definisi 2.2.5

Misalkan dan adalah dua himpunan fuzzy di . dikatakan sama dengan dan dinotasikan dengan = jika dan hanya jika � =� ( ),∀ . Definisi 2.2.6

Komplemen dari suatu himpunan fuzzy pada adalah himpunan fuzzy pada , dengan derajat keanggotaan � ( ) = 1− � ( ),∀ .

Definisi 2.2.7

Gabungan dua himpunan fuzzy , pada adalah himpunan fuzzy pada , dengan derajat keanggotaan

� ( ) = {� ( ),� ( )},∀ . Definisi 2.2.8

Irisan dua himpunan fuzzy , pada adalah himpunan fuzzy pada , dengan derajat keanggotaan

� ( ) = {� ( ),� ( )},∀ . Definisi 2.2.9

Misalkan adalah himpunan fuzzy pada , ∀ dengan adalah himpunan indeks, maka gabungan dan irisan berturut-turut pada himpunan fuzzy tersebut didefinisikan :

= ,μ ( ) ∶

dimana μ ( ) = � ∶ ,∀ .

= ,μ ( ) ∶

dimana � ( ) = � ∶ ,∀ .

Definisi 2.2.10

Misalkan dan adalah dua himpunan fuzzy di . disebut subset dari dinotasikan dengan ⊂ jika dan hanya jika � ( )≤ � ( ),∀ .

Definisi 2.2.11

Misalkan dan adalah dua himpunan fuzzy di . dan dikatakan beririsan jika dan hanya jika ada sedemikian hingga � ( )≠0.

Definisi 2.2.12

Misalkan adalah himpunan fuzzy pada dan adalah himpunan fuzzy pada . Hasil kali silang himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy × pada × dengan derajat keanggotaan

� × , = � ,� ,∀ , × .

Teorema 2.2.1

Misalkan adalah himpunan fuzzy pada dan adalah himpunan fuzzy pada , maka × =

× 1 1× .

Definisi 2.2.13

Diberikan fungsi : → , dan . Maka: (i) Peta dari himpunan fuzzy adalah himpunan fuzzy

pada dengan derajat keanggotaan ∀

� = � ∶

−1 _, −1_{( )≠ ∅} 0 , −1_{( ) =∅} (ii)Prapeta dari himpunan fuzzy adalah himpunan

fuzzy −1( ) pada dengan derajat keanggotaan

� −1 =� , ∀

Teorema 2.2.2

Diberikan fungsi : → . Maka berlaku :

(i) −1 = −1 , untuk sebarang himpunan fuzzy di .

(ii) −1 1 2 = −1 1 −1 2 , untuk sebarang himpunan fuzzy 1dan 2 di .

(iii) 1 2 ⊂ 1 2 , untuk sebarang himpunan fuzzy 1dan 2 di .

(iv) −1 ⊂ , untuk sebarang himpunan fuzzy di .

(v) ⊂ −1 , untuk sebarang himpunan fuzzy di .

(vi) Jika 1⊂ 2 maka −1 1 ⊂ −1 2 , untuk sebarang himpunan fuzzy 1 dan 2 di .

(vii) Jika 1⊂ 2 maka 1 ⊂ 2 , untuk sebarang himpunan fuzzy 1 dan 2 di .

Akibat 2.2.1

Diberikan fungsi : → , dan

(i) Jika fungsi injektif maka 1 2 = 1

2

(ii) Jika fungsi injektif maka = −1 .

(iii) Jika fungsi surjektif maka −1 = .

Teorema 2.2.3

Diberikan fungsi : → . Fungsi : → × adalah fungsi graf dari fungsi . Misalkan adalah himpunan fuzzy pada , adalah himpunan fuzzy pada , dan × adalah himpunan fuzzy pada × . Maka −1 _{× =} −1 _.

2.3Topologi Fuzzy dan Ruang Topologi Fuzzy

Definisi 2.3.1

Sebuah koleksi himpunan fuzzy ⊂ disebut topologi fuzzy pada jika memenuhi aksioma sebagai berikut :

(i) 0 , 1

(ii) ∀ , ⇒

(iii) ∀ ⟹ .

Himpunan dengan sebuah topologi fuzzy disebut ruang topologi fuzzy, dan dinotasikan dengan pasangan berurutan ( , ).

Definisi 2.3.2

Jika adalah suatu topologi fuzzy pada , maka anggota-anggota dari disebut himpunan fuzzy buka. Definisi 2.3.3

Himpunan fuzzy dikatakan tertutup jika . Dinotasikan dengan untuk koleksi semua himpunan

fuzzy tutup.

Misalkan ( , ) adalah ruang topologi fuzzy. ℬ subkoleksi himpunan dari disebut basis dari topologi fuzzy jika dan hanya jika untuk setiap , terdapat himpunan indeks dengan ⊂ ℬ , sehingga = . Definisi 2.3.5

Misalkan , dan , adalah ruang topologi fuzzy. Hasil kali topologi fuzzy pada × adalah topologi fuzzy yang dibangkitkan oleh koleksi × ∶

, yang membentuk sebuah basis untuk hasil kali topologi fuzzy pada × .

Teorema 2.3.1

Misalkan , dan , berturut-turut adalah ruang topologi fuzzy pada dan . Jika adalah himpunan fuzzy tutup di dan adalah himpunan fuzzy tutup di maka × adalah himpunan fuzzy tutup di

× . Definisi 2.3.6

Sebuah himpunan fuzzy di disebut titik fuzzy jika dan hanya jika bernilai 0 untuk semua , kecuali untuk suatu . Jika � =�, maka titik fuzzy tersebut dapat dinotasikan dengan _�.

Definisi 2.3.7

Misalkan dan _� adalah dua tiitik fuzzy di . dikatakan sama dengan _� dan dinotasikan dengan

= _� jika dan hanya jika = _� . Definisi 2.3.8

Untuk sebarang titik fuzzy dan sebarang himpunan fuzzy , dikatakan termuat di dan dinotasikan dengan jika dan hanya jika ≤ � .

Definisi 2.3.9

Interior dari himpunan fuzzy pada adalah himpunan fuzzy pada dengan derajat keanggotaan

� ( ) = ⁡{� ∶ ⊂ , }

Interior dari himpunan fuzzy pada dinotasikan

dengan ( ) atau °.

Definisi 2.3.10

Closure dari himpunan fuzzy pada adalah himpunan fuzzy pada dengan derajat keanggotaan

� = � ( )∶ ⊂ ,

Closure dari himpunan fuzzy dinotasikan dengan ( )

atau .

Definisi 2.3.11

Misalkan , adalah ruang topologi fuzzy. Himpunan fuzzy di disebut prabuka jika ⊂

( ). Komplemen dari himpunan fuzzy prabuka disebut pratutup.

Teorema 2.3.2

Misalkan , adalah ruang topologi fuzzy. Jika adalah himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di , maka

adalah himpunan fuzzy prabuka. Teorema 2.3.3

Jika dan adalah himpunan fuzzy prabuka di maka adalah himpunan fuzzy prabuka di . Definisi 2.3.12

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi : → dikatakan buka fuzzy jika untuk setiap himpunan fuzzy yang buka di , adalah himpunan fuzzy buka di . Definisi 2.3.13

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi : → dikatakan prakontinu fuzzy jika untuk setiap himpunan fuzzy yang buka di , −1 merupakan himpunan fuzzyprabuka di .

Definisi 2.3.14

Basis filter fuzzy pada adalah koleksi tak kosong ℱ dari himpunan-himpunan fuzzy pada yang memenuhi :

(i) 0 ℱ

(ii) Jika , ℱ maka terdapat ℱ sedemikian

hingga ⊂( ) 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1Fungsi Fuzzy Slightly Precontinuous

Definisi 3.1.1

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi : → dikatakan fuzzy slightly precontinuous

jika untuk setiap titik fuzzy di dan setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat

, terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga ⊂ .

Teorema 3.1.1

Diberikan fungsi : → dengan dan adalah ruang topologi fuzzy, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen :

(1)Fungsi fuzzy slightly precontinuous;

(2)Untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di , −1 adalah himpunan fuzzy prabuka; (3)Untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus

tutup di , −1 adalah himpunan fuzzy pratutup; (4)Untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus

tutup di , −1 adalah himpunan fuzzy prabuka sekaligus pratutup.

Bukti :

(1→2) : Diberikan fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka untuk setiap titik fuzzy di dan setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat , terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga

⊂ . Karena maka −1( ) . Karena ⊂ maka −1 ⊂ −1( ) . Karena ⊂ −1 dan −1 ⊂

−1_{( ) maka ⊂} −1_{( ) . Sehingga} −1 ₌

−1 . Karena adalah himpunan fuzzy

prabuka di maka −1 = −1 adalah

himpunan fuzzy prabuka.

(2→3) : Misal adalah sebarang himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di , maka adalah himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di . Berdasarkan (2), diperoleh −1 ₌ −1 _{adalah himpunan fuzzy prabuka.} Oleh karena itu, −1( ) adalah himpunan fuzzy pratutup. (3→4) : Misal adalah sebarang himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di , maka adalah himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di . Berdasarkan (3), diperoleh −1 _dan −1 ₌ −1 _{adalah himpunan} fuzzy pratutup. Karena −1 adalah himpunan fuzzy pratutup, maka −1 = −1 adalah himpunan fuzzy prabuka. Jadi −1 adalah himpunan fuzzy prabuka sekaligus pratutup.

(4→1) : Misal adalah sebarang titik fuzzy di dan adalah sebarang himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di

yang memuat . Berdasarkan (4), diperoleh −1 _{adalah himpunan fuzzy prabuka. Karena}

maka −1( ). Dengan memilih = −1 _{maka diperoleh adalah himpunan fuzzy} prabuka dengan dan = −1 ⊂ . Jadi fungsi fuzzy slightly precontinuous.

Contoh 3.1.1

Diberikan = , 0.3 , , 0.4 dan =

, 0.7 , , 0.5 berturut-turut adalah himpunan fuzzy pada = , dan = , . Misalkan = 0, 1, dan = 0, 1, berturut-turut adalah topologi fuzzy pada dan . Fungsi : → didefinisikan oleh = , , , . Himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di adalah 0 dan 1. Karena −1 0 = 0 dan −1 _{1 = 1 adalah himpunan fuzzy prabuka, maka} berdasarkan teorema 3.1.1, fungsi merupakan fungsi

fuzzy slightly precontinuous. Teorema 3.1.2

Diberikan fungsi : → dengan dan adalah ruang topologi fuzzy. Misalkan fungsi : → × adalah fungsi graf dari fungsi . Jika fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka fungsi fuzzy slightly precontinuous.

Bukti :

Misal adalah sebarang himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di . Karena 1 dan berturut-turut merupakan himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di dan , maka 1× adalah himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di × . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous maka −1 1× = 1 −1 =

−1 _{adalah himpunan fuzzy prabuka di . Jadi} berdasarkan teorema 3.1.1, fungsi fuzzy slightly precontinuous.

Definisi 3.1.2

Diberikan adalah ruang topologi fuzzy. Basis filter fuzzy ℱ dikatakan p-konvergen ke titik fuzzy di jika untuk sebarang himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat , terdapat himpunan fuzzy ℱ sedemikian hingga ⊂ .

Definisi 3.1.3

Diberikan adalah ruang topologi fuzzy. Basis filter fuzzy ℱ dikatakan co-konvergen ke titik fuzzy di jika untuk sebarang himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat , terdapat himpunan fuzzy ℱ sedemikian hingga ⊂ .

Adapun hubungan antara definisi 3.1.2 dan definisi 3.1.3 yaitu jika diberikan adalah ruang topologi fuzzy dan basis filter fuzzy ℱ co-konvergen ke titik fuzzy di , maka basis filter fuzzy ℱ p-konvergen ke titik fuzzy di , sebab setiap himpunan fuzzy buka sekaligus tuup di merupakan himpunan fuzzy prabuka di .

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Jika fungsi : → fuzzy slightly precontinuous, maka untuk setiap titik fuzzy di dan setiap basis filter fuzzy ℱ di yang p-konvergen ke , (ℱ) co-konvergen ke . Bukti :

Misalkan adalah sebarang titik fuzzy di dan ℱ adalah sebarang basis filter fuzzy di yang p-konvergen ke . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat , terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga ⊂

. Karena basis filter fuzzy ℱ p-konvergen ke , maka terdapat himpunan fuzzy sedemikian hingga

⊂ . Dengan memilih ℱ , maka diperoleh

⊂ ⊂ . Jadi (ℱ) co-konvergen ke .

Jelas bahwa jika suatu fungsi : → prakontinu fuzzy, maka fungsi fuzzy slightly precontinuous. Contoh berikut menunjukkan bahwa pernyataan tersebut tidak berlaku sebaliknya.

Contoh 3.1.2

Diberikan = , 0.3 , , 0.4 dan = { , 0.7 , , 0.5 } berturut-turut adalah himpunan fuzzy pada = , dan = , . Misalkan = 1, 0, dan = 1, 0, berturut-turut adalah topologi fuzzy pada dan . Fungsi : → yang didefinisikan oleh = , , , merupakan fungsi fuzzy slightly precontinuous tetapi fungsi tidak prakontinu fuzzy. Teorema 3.1.4

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy dengan memiliki basis yang hanya memuat himpunan-himpunan fuzzy buka sekaligus tutup. Jika fungsi

: → fuzzy slightly precontinuous, maka fungsi prakontinu fuzzy.

Bukti :

Misalkan adalah sebarang titik fuzzy di dan adalah sebarang himpunan fuzzy buka di yang memuat

( ). Karena hanya memiliki basis yang memuat himpunan-himpunan fuzzy buka sekaligus tutup, maka terdapat himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup dan memuat sedemikian hingga ⊂ . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga ( )⊂ ⊂ . Jadi fungsi prakontinu fuzzy.

3.2Aksioma-aksioma Pemisahan dan Graf Pre-co-closed Fuzzy

Definisi 3.2.1

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy

p-�0 jika untuk setiap pasang titik fuzzy berbeda di , terdapat himpunan fuzzy prabuka di yang memuat salah satu titik fuzzy tersebut.

Definisi 3.2.2

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy co-�0 jika untuk setiap pasang titik fuzzy berbeda di , terdapat himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di yang memuat tepat salah satu titik fuzzy tersebut.

Definisi 3.2.2

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy

p-�1 jika untuk setiap pasang titik fuzzy berbeda di misalkan dan _�, terdapat himpunan fuzzy dan yang prabuka di dan berturut-turut memuat dan _� sedemikian hingga _� dan .

Definisi 3.2.3

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy co-�1 jika untuk setiap pasang titik fuzzy berbeda di misalkan dan _�, terdapat himpunan fuzzy dan yang buka sekaligus tutup di dan berturut-turut memuat

dan _� sedemikian hingga _� dan . Definisi 3.2.5

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy

p-�2 (Ruang Fuzzy p-Hausdorff) jika untuk setiap pasang titik fuzzy berbeda di misalkan dan _�, terdapat himpunan fuzzy dan yang prabuka di dan tidak beririsan sedemikian hingga dan _� .

Definisi 3.2.6

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy co-�2 (Ruang fuzzy co-Hausdorff) jika untuk setiap pasang titik fuzzy berbeda di misalkan dan _�, terdapat himpunan fuzzy dan yang buka sekaligus tutup di dan tidak beririsan sedemikian hingga dan _� .

Definisi 3.2.7

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy p-reguler kuat jika untuk setiap himpunan fuzzy yang pratutup di dan setiap titik fuzzy , terdapat himpunan fuzzy dan yang buka di dan tidak beririsan sedemikian hingga ⊂ dan .

Definisi 3.2.8

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy co-reguler jika untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan setiap titik fuzzy ,

terdapat himpunan fuzzy dan yang buka di dan tidak beririsan sedemikian hingga ⊂ dan . Definisi 3.2.9

Sebuah ruang toplogi fuzzy disebut ruang fuzzy p-normal kuat jika untuk setiap pasang himpunan fuzzy dan yang pratutup di dan tidak beririsan, terdapat himpunan fuzzy dan yang buka di dan tidak beririsan sedemikian hingga ⊂ dan ⊂ .

Definisi 3.2.10

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy co-normal jika untuk setiap pasang himpunan fuzzy dan yang buka sekaligus tutup di dan tidak beririsan, terdapat himpunan fuzzy dan yang buka di dan tidak beririsan sedemikian hingga ⊂ dan ⊂ . Teorema 3.2.1

Diberikan fungsi : → merupakan fungsi fuzzy slightly precontinuous dan fungsi injektif. Jika ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-�1, maka ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�1.

Bukti :

Misalkan dan _� adalah sebarang titik fuzzy berbeda di . Karena fungsi injektif maka dan � adalah titik fuzzy berbeda di dan berlaku −1 _{= dan} −1

� = �. Karena ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-�1 maka terdapat himpunan fuzzy dan yang buka sekaligus tutup di sedemikian sehingga , , ( _�) , dan ( _�) . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka berdasarkan teorema 3.1.1 diperoleh −1 dan −1 adalah himpunan fuzzy prabuka di . Sehingga diperoleh −1 , _�

−1 _, −1 _dan

� −1 . Jadi ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�1.

Teorema 3.2.2

Diberikan fungsi : → merupakan fungsi fuzzy slightly precontinuous dan fungsi injektif. Jika ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-�2, maka ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�2.

Bukti :

Misalkan dan _� adalah sebarang titik fuzzy berbeda di . Karena fungsi injektif maka dan � adalah titik fuzzy berbeda di dan berlaku −1 _{= dan} −1

� = �. Karena ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-�2 maka terdapat himpunan fuzzy dan yang buka sekaligus tutup di dan tidak beririsan sedemikian hingga ( ) dan ( _�) . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous,

maka berdasarkan teorema 3.1.1 diperoleh −1 dan −1 _{adalah himpunan fuzzy prabuka di . Karena} himpunan fuzzy dan tidak beririsan maka = 0. Akibatnya −1 −1 = −1 = 0. Hal ini berarti −1 dan −1 tidak beririsan. Dan diperoleh −1 , _� −1 . Jadi ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�1.

Teorema 3.2.2

Diberikan fungsi : → merupakan fungsi fuzzy slightly precontinuous, fungsi injektif dan fungsi buka fuzzy. Jika ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-regular kuat, maka ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-regular.

Bukti :

Ambil sebarang himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan titik fuzzy . Misalkan = dan = . Karena fungsi injektif, maka −1 = −1 = dan −1 = −1

= . Karena maka diperoleh . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka berdasarkan teorema 3.1.1 diperoleh −1 = adalah himpunan fuzzy pratutup di . Karena ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-reguler kuat, maka terdapat himpunan fuzzy dan yang buka di dan tidak beririsan sedemikian hingga ⊂ dan . Karena fungsi adalah fungsi buka fuzzy, maka dan adalah himpunan fuzzy buka di . Karena himpunan fuzzy dan tidak beririsan maka = 0. Karena fungsi injektif maka = = 0. Hal ini berarti dan tidak beririsan. Sehingga diperoleh = ⊂ dan = . Jadi ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-reguler.

Teorema 3.2.3

Diberikan fungsi : → fuzzy slightly precontinuous, injektif dan merupakan fungsi buka fuzzy. Jika ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-normal kuat, maka ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-normal.

Bukti :

Ambil sebarang himpunan fuzzy 1 dan 2 yang buka sekaligus tutup di dan tidak beririsan. Misalkan 1= 1 dan 2= 2 . Karena fungsi injektif, maka −1 1 = −1 1 = 1 dan −1 2 = −1

2 = 2 . Karena fungsi fuzzy slightly

diperoleh −1 1 = 1 dan −1 2 = 2 adalah himpunan fuzzy pratutup di . Karena himpunan fuzzy 1 dan 2 tidak beririsan maka 1 2= 0. Akibatnya 1 2= −1 1 −1 2 = −1 1 2 = 0 . Hal ini berarti 1 dan 2 tidak beririsan. Karena adalah ruang topologi fuzzy p-normal kuat, maka terdapat himpunan fuzzy 1 dan 2 yang buka di dan tidak beririsan sedemikian hingga 1⊂ 1 dan 2⊂ 2 . Karena fungsi adalah fungsi buka fuzzy, maka 1 dan 2 adalah himpunan fuzzy buka di . Karena himpunan fuzzy 1 dan 2 tidak beririsan maka 1

2= 0. Karena fungsi injektif maka 1 2 =

1 2 = 0. Hal ini berarti 1 dan 2 tidak beririsan. Sehingga diperoleh 1= 1 ⊂ 1 dan 2= 2 ⊂ 2 . Jadi ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-normal.

Definisi 3.2.11

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Misalkan fungsi : → . Graf dari fungsi adalah himpunan fuzzy pada × , dinotasikan ( ) dan didefinisikan

= , ,� _{( )} , | , dengan

� ( ) , =

1 jika = 0 jika ( )≠ Definisi 3.2.12

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Misalkan fungsi : → . Sebuah graf ( ) dari fungsi disebut pre-co-closed fuzzy di × jika untuk setiap di dan _� di dengan ≠ , terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat serta himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat _� sedemikian sehingga ( × ) ( ) = 0. Lemma 3.2.5

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Sebuah graf ( ) dari fungsi : → disebut pre-co-closed fuzzy di × jika dan hanya jika untuk setiap di dan _� di dengan ≠ , terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat serta himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat _� sedemikian sehingga = 0.

Teorema 3.2.6

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Jika fungsi : → fuzzy slightly precontinuous dan ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-Haussdorff, maka graf ( ) pre-co-closed fuzzy di × .

Bukti :

Ambil sebarang titik fuzzy di dan _� di dengan ≠ , maka ≠ _� . Karena ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-Hausdorff, maka terdapat himpunan fuzzy dan yang buka sekaligus tutup di dan tidak beririsan sedemikian hingga

dan _� . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga ⊂ . Karena himpunan fuzzy dan tidak beririsan, maka

= 0 . Karena ⊂ maka = 0 . Sehingga diperoleh , _� dan = 0. Jadi berdasarkan lemma 3.2.5, graf pre-co-closed

fuzzy di × . Teorema 3.2.7

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Jika fungsi : → prakontinu fuzzy dan ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-�1, maka graf ( )

pre-co-closed fuzzy di × . Bukti :

Ambil sebarang titik fuzzy di dan _� di dengan ≠ , maka ≠ _� . Karena ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-�1 maka terdapat himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di sedemikian hingga dan _� . Karena fungsi

prakontinu fuzzy, maka fungsi fuzzy slightly precontinuous. Akibatnya terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di sedemikian hingga dan

⊂ . Karena _� maka _� . Sehingga diperoleh , _� dan = 0. Jadi berdasarkan lemma 3.2.5, graf pre-co-closed fuzzy di × .

Teorema 3.2.8

Misalkan dan adalah ruang topologi fuzzy. Diberikan graf ( ) dari fungsi : → , dengan graf

pre-co-closed fuzzy di × . Jika fungsi injektif, maka ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�1. Bukti :

Misalkan dan _� adalah sebarang titik fuzzy berbeda di . Karena fungsi injektif maka ≠

. Karena graf pre-co-closed fuzzy di × , maka berdasarkan lemma 3.2.5, terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di sedemikian hingga , _�

dan = 0. Karena fungsi injektif, maka −1 _{= . Akibatnya} −1 _{= 0. Sehingga} diperoleh , _� −1 , _� dan

−1 _{. Jadi ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy} p-�1.

Definisi 3.2.14

Misalkan dan adalah ruang topologi fuzzy. Sebuah fungsi : → disebut fungsi prabuka-M fuzzy jika peta dari setiap himpunan fuzzy prabuka di merupakan himpunan fuzzy prabuka di .

Teorema 3.2.9

Misalkan dan adalah ruang topologi fuzzy. Diberikan graf ( ) dari fungsi : → , dengan graf

pre-co-closed fuzzy di × . Jika fungsi surjektif dan merupakan fungsi prabuka-M fuzzy, maka ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�2.

Bukti :

Misalkan dan _� adalah sebarang titik fuzzy berbeda di . Karena fungsi surjektif, maka terdapat di sedemikian hingga = dan ≠ . Karena graf pre-co-closed fuzzy di × , maka berdasarkan lemma 3.2.5, terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di sedemikian hingga , _� dan = 0. Sehingga diperoleh dan tidak beririsan dan = . Karena fungsi merupakan fungsi prabuka-M fuzzy, maka adalah himpunan fuzzy prabuka di . Karena himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di , maka adalah himpunan fuzzy prabuka di . Jadi ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�2.

4. PENUTUP 4.1 Kesimpulan

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi : → dikatakan fuzzy slightly precontinuous

jika untuk setiap titik fuzzy di dan setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat

, terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga ⊂ . Dari pembahasan di atas, diperoleh sifat-sifat dari fungsi fuzzy slightly precontinuous, hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan aksioma-aksioma pemisahan, serta hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan graf pre-co-closed fuzzy dalam bentuk teorema dan lemma. 4.2 Saran

Pada makalah ini penulis banyak mengkaji sifat-sifat dari fungsi fuzzy slightly precontinuous, hubungan antara

fuzzy slightly precontinuity dan aksioma-aksioma pemisahan, serta hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan graf pre-co-closed fuzzy. Bagi pembaca

yang tertarik dan ingin melanjutkan penelitian dari makalah ini, penulis menyarankan untuk mengkaji hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan kekompakkan (compactness) serta hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan keterhubungan (connectedness).

DAFTAR PUSTAKA

Caldas, Miguel, Navalagi Govindappa, Saraf Ratnesh. 2000. Weakly preopen and weakly preclosed functions in fuzzy topology, (Online), (http://www.polytech.univsavoie.fr/fileadmin/poly tech_autres_sites/sites/listic/busefal/Papers/89.zip/ 89_08.pdf, diakses 7 Maret 2014).

Carlson, Steve. 2010. Fuzzy Sets and Fuzzy Topologies : Early Ideas and Obstacles. New York: Rose-Hulman Institute of Technology, (Online), (http://www.rose-hulman.edu/math/seminar/ seminar_files/2005-06/abstract2006-05-10.pdf, diakses 8 Maret 2014).

Chang, C.L..1968. “Fuzzy Topological Spaces”. Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol. 24: pp 182-190.

Ekici, Erdal. 2005. “Generalization of Some Fuzzy Functions”.Journal of Mathemathics. Vol. 33 (3): pp 277-289.

Juniati, Dwi. 2013. Topologi Dasar. Surabaya: Unesa. Lipschutz, Seymour. 1981. General Topology. Singapore:

Kin Keong Printing Co. Pte. Ltd.

Nouh, Ali Ahmed. 2005. “On convergence theory in fuzzy topological spaces and its application”. Journal of Mathematics. Vol. 55 (2): pp 295-316.

Palaniappan, N. 2007. Fuzzy Topology. Second Edition. UK: Alpha Science International Ltd.

Shi W, Liu K. 2006. “A fuzzy topology for computing the interior, boundary, and exterior of spatial objects quantitatively in GIS”. Journal of Computers and Geosciences. Vol. 33: pp 898-915. Singh, Amit Kumar. 2009. “On �1 Separation Axioms in -Fuzzy Topological Spaces”. Jornal of Mathematical Sciences and Applications. Vol. 3 (49): pp 2421-2425.

Smith, Trey. 2003. Topology Definition and Theorems, (Online), (http://www.angelo.edufacultytsmith00 main.pdf, diakses 8 Maret 2014).

Zimmermann. H.J. 1992. Fuzzy Set Theory and Its Applications. Second, Revised Edition. Massachusetts: Kluwer Academic Publishers.

Misalkan ( , ) adalah ruang topologi fuzzy. ℬ subkoleksi himpunan dari disebut basis dari topologi fuzzy jika dan hanya jika untuk setiap , terdapat himpunan indeks dengan ⊂ ℬ , sehingga = .

Definisi 2.3.5

Misalkan , dan , adalah ruang topologi fuzzy. Hasil kali topologi fuzzy pada × adalah topologi fuzzy yang dibangkitkan oleh koleksi × ∶

, yang membentuk sebuah basis untuk hasil kali topologi fuzzy pada × .

Teorema 2.3.1

Misalkan , dan , berturut-turut adalah ruang topologi fuzzy pada dan . Jika adalah himpunan fuzzy tutup di dan adalah himpunan fuzzy tutup di maka × adalah himpunan fuzzy tutup di

× . Definisi 2.3.6

Sebuah himpunan fuzzy di disebut titik fuzzy jika dan hanya jika bernilai 0 untuk semua , kecuali untuk suatu . Jika � =�, maka titik fuzzy tersebut dapat dinotasikan dengan _�.

Definisi 2.3.7

Misalkan dan _� adalah dua tiitik fuzzy di . dikatakan sama dengan _� dan dinotasikan dengan

= _� jika dan hanya jika = _� . Definisi 2.3.8

Untuk sebarang titik fuzzy dan sebarang himpunan fuzzy , dikatakan termuat di dan dinotasikan dengan jika dan hanya jika ≤ � .

Definisi 2.3.9

Interior dari himpunan fuzzy pada adalah himpunan fuzzy pada dengan derajat keanggotaan

� ( ) = ⁡{� ∶ ⊂ , } Interior dari himpunan fuzzy pada dinotasikan

dengan ( ) atau °.

Definisi 2.3.10

Closure dari himpunan fuzzy pada adalah himpunan fuzzy pada dengan derajat keanggotaan

� = � ( )∶ ⊂ ,

Closure dari himpunan fuzzy dinotasikan dengan ( )

atau .

Definisi 2.3.11

Misalkan , adalah ruang topologi fuzzy. Himpunan fuzzy di disebut prabuka jika ⊂

( ). Komplemen dari himpunan fuzzy prabuka disebut pratutup.

Teorema 2.3.2

Misalkan , adalah ruang topologi fuzzy. Jika adalah himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di , maka

adalah himpunan fuzzy prabuka. Teorema 2.3.3

Jika dan adalah himpunan fuzzy prabuka di maka adalah himpunan fuzzy prabuka di . Definisi 2.3.12

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi : → dikatakan buka fuzzy jika untuk setiap himpunan fuzzy yang buka di , adalah himpunan fuzzy buka di . Definisi 2.3.13

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi : → dikatakan prakontinu fuzzy jika untuk setiap himpunan fuzzy yang buka di , −1

merupakan himpunan fuzzy prabuka di . Definisi 2.3.14

Basis filter fuzzy pada adalah koleksi tak kosong ℱ dari himpunan-himpunan fuzzy pada yang memenuhi :

(i) 0 ℱ

(ii) Jika , ℱ maka terdapat ℱ sedemikian hingga ⊂( )

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1Fungsi Fuzzy Slightly Precontinuous Definisi 3.1.1

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi : → dikatakan fuzzy slightly precontinuous jika untuk setiap titik fuzzy di dan setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat , terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga ⊂ .

Teorema 3.1.1

Diberikan fungsi : → dengan dan adalah ruang topologi fuzzy, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen :

(1) Fungsi fuzzy slightly precontinuous;

(2) Untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di , −1 adalah himpunan fuzzy prabuka; (3) Untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus

tutup di , −1 adalah himpunan fuzzy pratutup; (4) Untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus

tutup di , −1 _{adalah himpunan fuzzy prabuka}

sekaligus pratutup. Bukti :

(1→2) : Diberikan fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka untuk setiap titik fuzzy di dan setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat , terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga ⊂ . Karena maka −1( ) . Karena ⊂ maka −1 ⊂ −1( ) . Karena ⊂ −1 dan −1 ⊂

−1₍ ) _maka ⊂ −1_{( ) . Sehingga} −1 ₌

−1 . Karena adalah himpunan fuzzy

prabuka di maka −1 _{= −1}

adalah himpunan fuzzy prabuka.

(2→3) : Misal adalah sebarang himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di , maka adalah himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di . Berdasarkan (2), diperoleh −1 ₌ −1 _{adalah himpunan fuzzy prabuka.}

Oleh karena itu, −1( ) adalah himpunan fuzzy pratutup. (3→4) : Misal adalah sebarang himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di , maka adalah himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di . Berdasarkan (3), diperoleh −1 _dan −1 ₌ −1 _{adalah himpunan}

fuzzy pratutup. Karena −1 _{adalah himpunan}

fuzzy pratutup, maka −1 = −1 _adalah

himpunan fuzzy prabuka. Jadi −1 _{adalah himpunan}

fuzzy prabuka sekaligus pratutup.

(4→1) : Misal adalah sebarang titik fuzzy di dan adalah sebarang himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di yang memuat . Berdasarkan (4), diperoleh −1 _{adalah himpunan fuzzy prabuka. Karena}

maka −1₍ )_{. Dengan memilih =}

−1 _{maka diperoleh adalah himpunan fuzzy}

prabuka dengan dan = −1 _{⊂ .}

Jadi fungsi fuzzy slightly precontinuous. Contoh 3.1.1

Diberikan = , 0.3 , , 0.4 dan = , 0.7 , , 0.5 berturut-turut adalah himpunan fuzzy pada = , dan = , . Misalkan = 0 , 1 , dan = 0 , 1 , berturut-turut adalah topologi fuzzy pada dan . Fungsi : → didefinisikan oleh = , , , . Himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di adalah 0 dan 1. Karena −1 0 = 0 dan −1 _{1 = 1 adalah himpunan fuzzy prabuka, maka}

berdasarkan teorema 3.1.1, fungsi merupakan fungsi fuzzy slightly precontinuous.

Teorema 3.1.2

Diberikan fungsi : → dengan dan adalah ruang topologi fuzzy. Misalkan fungsi : → × adalah fungsi graf dari fungsi . Jika fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka fungsi fuzzy slightly precontinuous.

Bukti :

Misal adalah sebarang himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di . Karena 1 dan berturut-turut merupakan himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di dan , maka 1× adalah himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di × . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous maka −1 1× = 1 −1 ₌

−1 _{adalah himpunan fuzzy prabuka di . Jadi}

berdasarkan teorema 3.1.1, fungsi fuzzy slightly precontinuous.

Definisi 3.1.2

Diberikan adalah ruang topologi fuzzy. Basis filter fuzzy ℱ dikatakan p-konvergen ke titik fuzzy di jika untuk sebarang himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat , terdapat himpunan fuzzy ℱ sedemikian hingga ⊂ .

Definisi 3.1.3

Diberikan adalah ruang topologi fuzzy. Basis filter fuzzy ℱ dikatakan co-konvergen ke titik fuzzy di jika untuk sebarang himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat , terdapat himpunan fuzzy ℱ sedemikian hingga ⊂ .

Adapun hubungan antara definisi 3.1.2 dan definisi 3.1.3 yaitu jika diberikan adalah ruang topologi fuzzy dan basis filter fuzzy ℱ co-konvergen ke titik fuzzy di , maka basis filter fuzzy ℱ p-konvergen ke titik fuzzy di , sebab setiap himpunan fuzzy buka sekaligus tuup di merupakan himpunan fuzzy prabuka di .

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Jika fungsi : → fuzzy slightly precontinuous, maka untuk setiap titik fuzzy di dan setiap basis filter fuzzy ℱ di yang p-konvergen ke , (ℱ) co-konvergen ke . Bukti :

Misalkan adalah sebarang titik fuzzy di dan ℱ adalah sebarang basis filter fuzzy di yang p-konvergen ke . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat , terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga ⊂

. Karena basis filter fuzzy ℱ p-konvergen ke , maka terdapat himpunan fuzzy sedemikian hingga ⊂ . Dengan memilih ℱ , maka diperoleh

⊂ ⊂ . Jadi (ℱ) co-konvergen ke .

Jelas bahwa jika suatu fungsi : → prakontinu fuzzy, maka fungsi fuzzy slightly precontinuous. Contoh berikut menunjukkan bahwa pernyataan tersebut tidak berlaku sebaliknya.

Contoh 3.1.2

Diberikan = , 0.3 , , 0.4 dan = { , 0.7 , , 0.5 } berturut-turut adalah himpunan fuzzy pada = , dan = , . Misalkan = 1, 0 , dan = 1 , 0, berturut-turut adalah topologi fuzzy pada dan . Fungsi : → yang didefinisikan oleh = , , , merupakan fungsi fuzzy slightly precontinuous tetapi fungsi tidak prakontinu fuzzy. Teorema 3.1.4

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy dengan memiliki basis yang hanya memuat himpunan-himpunan fuzzy buka sekaligus tutup. Jika fungsi

: → fuzzy slightly precontinuous, maka fungsi prakontinu fuzzy.

Bukti :

Misalkan adalah sebarang titik fuzzy di dan adalah sebarang himpunan fuzzy buka di yang memuat ( ). Karena hanya memiliki basis yang memuat himpunan-himpunan fuzzy buka sekaligus tutup, maka terdapat himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup dan memuat sedemikian hingga ⊂ . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga ( )⊂ ⊂ . Jadi fungsi prakontinu fuzzy.

3.2Aksioma-aksioma Pemisahan dan Graf Pre-co-closed Fuzzy

Definisi 3.2.1

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy p-�0 jika untuk setiap pasang titik fuzzy berbeda di ,

terdapat himpunan fuzzy prabuka di yang memuat salah satu titik fuzzy tersebut.

Definisi 3.2.2

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy co-�0 jika untuk setiap pasang titik fuzzy berbeda di ,

terdapat himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di yang memuat tepat salah satu titik fuzzy tersebut.

Definisi 3.2.2

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy p-�1 jika untuk setiap pasang titik fuzzy berbeda di

misalkan dan _�, terdapat himpunan fuzzy dan yang prabuka di dan berturut-turut memuat dan _� sedemikian hingga _� dan .

Definisi 3.2.3

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy co-�1 jika untuk setiap pasang titik fuzzy berbeda di

misalkan dan _�, terdapat himpunan fuzzy dan yang buka sekaligus tutup di dan berturut-turut memuat

dan _� sedemikian hingga _� dan . Definisi 3.2.5

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy p-�2 (Ruang Fuzzy p-Hausdorff) jika untuk setiap pasang

titik fuzzy berbeda di misalkan dan _�, terdapat himpunan fuzzy dan yang prabuka di dan tidak beririsan sedemikian hingga dan _� .

Definisi 3.2.6

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy co-�2 (Ruang fuzzy co-Hausdorff) jika untuk setiap

pasang titik fuzzy berbeda di misalkan dan _�, terdapat himpunan fuzzy dan yang buka sekaligus tutup di dan tidak beririsan sedemikian hingga dan _� .

Definisi 3.2.7

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy p-reguler kuat jika untuk setiap himpunan fuzzy yang pratutup di dan setiap titik fuzzy , terdapat himpunan fuzzy dan yang buka di dan tidak beririsan sedemikian hingga ⊂ dan .

Definisi 3.2.8

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy co-reguler jika untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan setiap titik fuzzy ,

terdapat himpunan fuzzy dan yang buka di dan tidak beririsan sedemikian hingga ⊂ dan . Definisi 3.2.9

Sebuah ruang toplogi fuzzy disebut ruang fuzzy p-normal kuat jika untuk setiap pasang himpunan fuzzy dan yang pratutup di dan tidak beririsan, terdapat himpunan fuzzy dan yang buka di dan tidak beririsan sedemikian hingga ⊂ dan ⊂ .

Definisi 3.2.10

Sebuah ruang topologi fuzzy disebut ruang fuzzy co-normal jika untuk setiap pasang himpunan fuzzy dan yang buka sekaligus tutup di dan tidak beririsan, terdapat himpunan fuzzy dan yang buka di dan tidak beririsan sedemikian hingga ⊂ dan ⊂ . Teorema 3.2.1

Diberikan fungsi : → merupakan fungsi fuzzy slightly precontinuous dan fungsi injektif. Jika ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-�1, maka ruang

topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�1.

Bukti :

Misalkan dan _� adalah sebarang titik fuzzy berbeda di . Karena fungsi injektif maka dan � adalah titik fuzzy berbeda di dan berlaku −1 _{= dan} −1

� = �. Karena ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-�1 maka terdapat

himpunan fuzzy dan yang buka sekaligus tutup di sedemikian sehingga , , ( _�) , dan ( _�) . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka berdasarkan teorema 3.1.1 diperoleh −1 dan −1 adalah himpunan fuzzy prabuka di . Sehingga diperoleh −1 , _�

−1 _, −1 _dan

� −1 . Jadi ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�1.

Teorema 3.2.2

Diberikan fungsi : → merupakan fungsi fuzzy slightly precontinuous dan fungsi injektif. Jika ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-�2, maka ruang

topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�2.

Bukti :

Misalkan dan _� adalah sebarang titik fuzzy berbeda di . Karena fungsi injektif maka dan � adalah titik fuzzy berbeda di dan berlaku −1 _{= dan} −1

� = �. Karena ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-�2 maka terdapat

himpunan fuzzy dan yang buka sekaligus tutup di dan tidak beririsan sedemikian hingga ( ) dan ( _�) . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous,

maka berdasarkan teorema 3.1.1 diperoleh −1 _dan

−1 _{adalah himpunan fuzzy prabuka di . Karena}

himpunan fuzzy dan tidak beririsan maka = 0 . Akibatnya −1 −1 ₌ −1 _{= 0} . Hal ini

berarti −1 _dan −1 _{tidak beririsan. Dan}

diperoleh −1 _,

� −1 . Jadi ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�1.

Teorema 3.2.2

Diberikan fungsi : → merupakan fungsi fuzzy slightly precontinuous, fungsi injektif dan fungsi buka fuzzy. Jika ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-regular kuat, maka ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-regular.

Bukti :

Ambil sebarang himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan titik fuzzy . Misalkan = dan = . Karena fungsi injektif, maka −1 ₌ −1 _{= dan} −1 ₌ −1

= . Karena maka diperoleh . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka berdasarkan teorema 3.1.1 diperoleh −1 = adalah himpunan fuzzy pratutup di . Karena ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-reguler kuat, maka terdapat himpunan fuzzy dan yang buka di dan tidak beririsan sedemikian hingga ⊂ dan . Karena fungsi adalah fungsi buka fuzzy, maka dan adalah himpunan fuzzy buka di . Karena himpunan fuzzy dan tidak beririsan maka = 0. Karena fungsi injektif maka = = 0. Hal ini berarti dan tidak beririsan. Sehingga diperoleh = ⊂ dan = . Jadi ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-reguler.

Teorema 3.2.3

Diberikan fungsi : → fuzzy slightly precontinuous, injektif dan merupakan fungsi buka fuzzy. Jika ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-normal kuat, maka ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-normal.

Bukti :

Ambil sebarang himpunan fuzzy 1 dan 2 yang buka

sekaligus tutup di dan tidak beririsan. Misalkan

1= 1 dan 2= 2 . Karena fungsi injektif,

maka −1

1 = −1 1 = 1 dan −1 2 = −1

2 = 2 . Karena fungsi fuzzy slightly

diperoleh −1

1 = 1 dan −1 2 = 2 adalah

himpunan fuzzy pratutup di . Karena himpunan fuzzy

1 dan 2 tidak beririsan maka 1 2= 0. Akibatnya 1 2= −1 1 −1 2 = −1 1 2 = 0 .

Hal ini berarti 1 dan 2 tidak beririsan. Karena adalah

ruang topologi fuzzy p-normal kuat, maka terdapat himpunan fuzzy 1 dan 2 yang buka di dan tidak

beririsan sedemikian hingga 1⊂ 1 dan 2⊂ 2 .

Karena fungsi adalah fungsi buka fuzzy, maka 1

dan 2 adalah himpunan fuzzy buka di . Karena

himpunan fuzzy 1 dan 2 tidak beririsan maka 1 2= 0 . Karena fungsi injektif maka 1 2 =

1 2 = 0. Hal ini berarti 1 dan 2 tidak

beririsan. Sehingga diperoleh 1= 1 ⊂ 1 dan 2= 2 ⊂ 2 . Jadi ruang topologi fuzzy adalah

ruang fuzzy co-normal. Definisi 3.2.11

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Misalkan fungsi : → . Graf dari fungsi adalah himpunan fuzzy pada × , dinotasikan ( ) dan didefinisikan

= , ,� _{( )} , | , dengan

� ( ) , =

1 jika = 0 jika ( )≠ Definisi 3.2.12

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Misalkan fungsi : → . Sebuah graf ( ) dari fungsi disebut pre-co-closed fuzzy di × jika untuk setiap di dan _� di dengan ≠ , terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat serta himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat _� sedemikian sehingga ( × ) ( ) = 0 . Lemma 3.2.5

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Sebuah graf ( ) dari fungsi : → disebut pre-co-closed fuzzy di × jika dan hanya jika untuk setiap di dan _� di dengan ≠ , terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat serta himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat _� sedemikian sehingga = 0.

Teorema 3.2.6

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Jika fungsi : → fuzzy slightly precontinuous dan ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-Haussdorff, maka graf ( ) pre-co-closed fuzzy di × .

Bukti :

Ambil sebarang titik fuzzy di dan _� di dengan ≠ , maka ≠ _� . Karena ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-Hausdorff, maka terdapat himpunan fuzzy dan yang buka sekaligus tutup di dan tidak beririsan sedemikian hingga

dan _� . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga ⊂ . Karena himpunan fuzzy dan tidak beririsan, maka

= 0 . Karena ⊂ maka = 0 . Sehingga diperoleh , _� dan = 0. Jadi berdasarkan lemma 3.2.5, graf pre-co-closed fuzzy di × .

Teorema 3.2.7

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Jika fungsi : → prakontinu fuzzy dan ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-�1, maka graf ( )

pre-co-closed fuzzy di × . Bukti :

Ambil sebarang titik fuzzy di dan _� di dengan ≠ , maka ≠ _� . Karena ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy co-�1 maka terdapat

himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di sedemikian hingga dan _� . Karena fungsi

prakontinu fuzzy, maka fungsi fuzzy slightly precontinuous. Akibatnya terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di sedemikian hingga dan ⊂ . Karena _� maka _� . Sehingga diperoleh , _� dan = 0. Jadi berdasarkan lemma 3.2.5, graf pre-co-closed fuzzy di × .

Teorema 3.2.8

Misalkan dan adalah ruang topologi fuzzy. Diberikan graf ( ) dari fungsi : → , dengan graf pre-co-closed fuzzy di × . Jika fungsi injektif, maka ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�1.

Bukti :

Misalkan dan _� adalah sebarang titik fuzzy berbeda di . Karena fungsi injektif maka ≠

. Karena graf pre-co-closed fuzzy di × , maka berdasarkan lemma 3.2.5, terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di sedemikian hingga , _�

dan = 0. Karena fungsi injektif, maka −1 ₌ . Akibatnya −1 _{= 0} . Sehingga

−1 _{. Jadi ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy}

p-�1.

Definisi 3.2.14

Misalkan dan adalah ruang topologi fuzzy. Sebuah fungsi : → disebut fungsi prabuka-M fuzzy jika peta dari setiap himpunan fuzzy prabuka di merupakan himpunan fuzzy prabuka di .

Teorema 3.2.9

Misalkan dan adalah ruang topologi fuzzy. Diberikan graf ( ) dari fungsi : → , dengan graf

pre-co-closed fuzzy di × . Jika fungsi surjektif dan merupakan fungsi prabuka-M fuzzy, maka ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�2.

Bukti :

Misalkan dan _� adalah sebarang titik fuzzy berbeda di . Karena fungsi surjektif, maka terdapat di sedemikian hingga = dan ≠ . Karena graf pre-co-closed fuzzy di × , maka berdasarkan lemma 3.2.5, terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di sedemikian hingga , _� dan = 0 . Sehingga diperoleh dan tidak beririsan dan = . Karena fungsi merupakan fungsi prabuka-M fuzzy, maka adalah himpunan fuzzy prabuka di . Karena himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di , maka adalah himpunan fuzzy prabuka di . Jadi ruang topologi fuzzy adalah ruang fuzzy p-�2.

4. PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi : → dikatakan fuzzy slightly precontinuous jika untuk setiap titik fuzzy di dan setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat , terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat sedemikian hingga ⊂ . Dari pembahasan di atas, diperoleh sifat-sifat dari fungsi fuzzy slightly precontinuous, hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan aksioma-aksioma pemisahan, serta hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan graf pre-co-closed fuzzy dalam bentuk teorema dan lemma. 4.2 Saran

Pada makalah ini penulis banyak mengkaji sifat-sifat dari fungsi fuzzy slightly precontinuous, hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan aksioma-aksioma pemisahan, serta hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan graf pre-co-closed fuzzy. Bagi pembaca

yang tertarik dan ingin melanjutkan penelitian dari makalah ini, penulis menyarankan untuk mengkaji hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan kekompakkan (compactness) serta hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan keterhubungan (connectedness). DAFTAR PUSTAKA

Caldas, Miguel, Navalagi Govindappa, Saraf Ratnesh. 2000. Weakly preopen and weakly preclosed functions in fuzzy topology, (Online), (http://www.polytech.univsavoie.fr/fileadmin/poly tech_autres_sites/sites/listic/busefal/Papers/89.zip/ 89_08.pdf, diakses 7 Maret 2014).

Carlson, Steve. 2010. Fuzzy Sets and Fuzzy Topologies : Early Ideas and Obstacles. New York: Rose-Hulman Institute of Technology, (Online), (http://www.rose-hulman.edu/math/seminar/ seminar_files/2005-06/abstract2006-05-10.pdf, diakses 8 Maret 2014).

Chang, C.L..1968. “Fuzzy Topological Spaces”. Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol. 24: pp 182-190.

Ekici, Erdal. 2005. “Generalization of Some Fuzzy Functions”. Journal of Mathemathics. Vol. 33 (3): pp 277-289.

Juniati, Dwi. 2013. Topologi Dasar. Surabaya: Unesa. Lipschutz, Seymour. 1981. General Topology. Singapore:

Kin Keong Printing Co. Pte. Ltd.

Nouh, Ali Ahmed. 2005. “On convergence theory in fuzzy topological spaces and its application”. Journal of Mathematics. Vol. 55 (2): pp 295-316. Palaniappan, N. 2007. Fuzzy Topology. Second Edition.

UK: Alpha Science International Ltd.

Shi W, Liu K. 2006. “A fuzzy topology for computing the interior, boundary, and exterior of spatial objects quantitatively in GIS”. Journal of Computers and Geosciences. Vol. 33: pp 898-915. Singh, Amit Kumar. 2009. “On �1 Separation Axioms in

-Fuzzy Topological Spaces”. Jornal of Mathematical Sciences and Applications. Vol. 3 (49): pp 2421-2425.

Smith, Trey. 2003. Topology Definition and Theorems, (Online), (http://www.angelo.edufacultytsmith00 main.pdf, diakses 8 Maret 2014).

Zimmermann. H.J. 1992. Fuzzy Set Theory and Its Applications. Second, Revised Edition. Massachusetts: Kluwer Academic Publishers.