28
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, rumusan masalah pada makalah ini adalah sebagai berikut :
1 Bagaimana sifat-sifat dari fungsi fuzzy slightly
precontinuous ? 2
Bagaimana hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan aksioma-aksioma pemisahan ?
3 Bagaimana hubungan antara fuzzy slightly
precontinuity dan graf pre-co-closed fuzzy ?
1.3 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan
makalah ini
adalah untuk
menjelaskan sifat-sifat fungsi fuzzy slightly precontinuous, hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan aksioma-
aksioma pemisahan, serta hubungan antara fuzzy slightly precontinuity dan graf pre-co-closed fuzzy.
1.4 Manfaat Penulisan
Adapun manfaat dari penulisan makalah ini yaitu : 1
Menambah wawasan penulis tentang fuzzy slightly precontinuity pada topologi fuzzy beserta sifat-sifat
dan hubungannya
dengan aksioma-aksioma
pemisahan dan graf pre-co-closed fuzzy. 2
Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika.
1.5 Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam menyusun makalah ini adalah metode kajian pustaka, yaitu demakalah teoritis
mengenai objek yang akan dibahas dengan cara mencari, menelaah, memahami, mendalami dan mengidentifikasi
pengetahuan yang ada dalam kepustakaan sumber buku bacaan, referensi, jurnal, atau hasil penelitian lain untuk
menunjang penelitian. Adapun jurnal utama yang digunakan adalah Generalization of Some Fuzzy
Functions Erdal Ekici, 2005 dan buku pendukung yang digunakan adalah Fuzzy Topology Palaniappan, 2007.
2. LANDASAN TEORI
2.1 Relasi dan Fungsi
Definisi 2.1.1
Diberikan fungsi :
→ . Fungsi graf : → × dari fungsi didefinisikan oleh
= , , untuk setiap
.
2.2 Himpunan Fuzzy Definisi 2.2.1
Jika adalah himpunan tak kosong maka himpunan fuzzy pada didefinisikan :
= , � ∶
dimana �
: → 0,1 = . Selanjutnya �
disebut derajat keanggotaan dari , dan fungsi
� disebut fungsi
keanggotaan dari . Lebih lanjut, jika derajat
keanggotaannya 0, boleh tidak ditulis.
Definisi 2.2.2
adalah koleksi semua himpunan fuzzy pada .
Definisi 2.2.3
Himpunan fuzzy nol pada dinotasikan
adalah himpunan fuzzy dimana
� = 0,
∀ .
Himpunan fuzzy satu pada dinotasikan
1 adalah
himpunan fuzzy dimana �
1
= 1, ∀
.
Definisi 2.2.3
Misalkan adalah himpunan fuzzy pada . Support dari dinotasikan
dan didefinisikan oleh =
∶ �
Operasi Pada Himpunan Fuzzy
Seperti pada himpunan klasik, himpunan fuzzy juga memiliki operasi-operasi himpunan. Operasi-operasi pada
himpunan fuzzy adalah
Definisi 2.2.5
Misalkan dan adalah dua himpunan fuzzy di .
dikatakan sama dengan dan dinotasikan dengan =
jika dan hanya jika �
= � ,
∀ .
Definisi 2.2.6
Komplemen dari suatu himpunan fuzzy pada adalah himpunan fuzzy pada
, dengan derajat keanggotaan
� = 1
− � ,
∀ .
Definisi 2.2.7
Gabungan dua himpunan fuzzy , pada
adalah himpunan fuzzy
pada , dengan derajat
keanggotaan �
= {
� ,
� },
∀ .
Definisi 2.2.8
Irisan dua himpunan fuzzy , pada
adalah himpunan fuzzy
pada , dengan derajat
keanggotaan �
= {
� ,
� },
∀ .
Definisi 2.2.9
29 Misalkan adalah himpunan fuzzy pada ,
∀ dengan adalah himpunan indeks, maka gabungan dan
irisan berturut-turut pada himpunan fuzzy tersebut didefinisikan :
= , μ ∶
dimana μ
= �
∶ , ∀
. = , μ
∶ dimana
� =
� ∶
, ∀ .
Definisi 2.2.10
Misalkan dan adalah dua himpunan fuzzy di .
disebut subset dari dinotasikan dengan ⊂ jika dan
hanya jika �
≤ � ,
∀ .
Definisi 2.2.11
Misalkan dan adalah dua himpunan fuzzy di .
dan dikatakan beririsan jika dan hanya jika ada
sedemikian hingga �
≠ 0. Definisi 2.2.12
Misalkan adalah himpunan fuzzy pada dan
adalah himpunan fuzzy pada . Hasil kali silang
himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy ×
pada × dengan derajat keanggotaan
�
×
, = �
, � , ∀ ,
× .
Teorema 2.2.1
Misalkan adalah himpunan fuzzy pada dan
adalah himpunan fuzzy pada , maka
× = × 1 1 × .
Definisi 2.2.13
Diberikan fungsi :
→ , dan
. Maka: i
Peta dari himpunan fuzzy adalah himpunan fuzzy pada dengan derajat keanggotaan ∀
� =
� ∶
−1
,
−1
≠ ∅ 0 ,
−1
= ∅
ii Prapeta dari himpunan fuzzy adalah himpunan
fuzzy
−1
pada dengan derajat keanggotaan �
−1
= � , ∀
Teorema 2.2.2
Diberikan fungsi :
→ . Maka berlaku : i
−1
=
−1
, untuk sebarang himpunan fuzzy
di . ii
−1 1
2
=
−1 1
−1 2
, untuk
sebarang himpunan fuzzy
1
dan
2
di . iii
1 2
⊂
1 2
, untuk sebarang himpunan fuzzy
1
dan
2
di . iv
−1
⊂ , untuk sebarang himpunan fuzzy di .
v ⊂
−1
, untuk sebarang himpunan fuzzy di .
vi Jika
1
⊂
2
maka
−1 1
⊂
−1 2
, untuk sebarang himpunan fuzzy
1
dan
2
di . vii
Jika
1
⊂
2
maka
1
⊂
2
, untuk sebarang himpunan fuzzy
1
dan
2
di .
Akibat 2.2.1
Diberikan fungsi :
→ , dan
i Jika fungsi injektif maka
1 2
=
1 2
ii Jika fungsi injektif maka =
−1
. iii
Jika fungsi surjektif maka
−1
= .
Teorema 2.2.3
Diberikan fungsi :
→ . Fungsi : → × adalah fungsi graf dari fungsi
. Misalkan adalah himpunan fuzzy pada ,
adalah himpunan fuzzy pada , dan
× adalah himpunan fuzzy pada × . Maka
−1
× =
−1
.
2.3 Topologi Fuzzy dan Ruang Topologi Fuzzy
Kategori