30 Misalkan
, adalah ruang topologi fuzzy. ℬ
subkoleksi himpunan dari disebut basis dari topologi fuzzy jika dan hanya jika untuk setiap
, terdapat himpunan indeks
dengan ⊂ ℬ , sehingga
= .
Definisi 2.3.5
Misalkan , dan , adalah ruang topologi
fuzzy. Hasil kali topologi fuzzy pada ×
adalah topologi fuzzy yang dibangkitkan oleh koleksi
× ∶ ,
yang membentuk sebuah basis untuk hasil kali topologi fuzzy pada
× .
Teorema 2.3.1
Misalkan , dan , berturut-turut adalah
ruang topologi fuzzy pada dan
. Jika adalah himpunan fuzzy tutup di dan
adalah himpunan fuzzy tutup di maka
× adalah himpunan fuzzy tutup di × .
Definisi 2.3.6
Sebuah himpunan fuzzy di disebut titik fuzzy jika dan hanya jika bernilai 0 untuk semua
, kecuali untuk suatu
. Jika �
= � , maka titik fuzzy tersebut dapat dinotasikan dengan
�
.
Definisi 2.3.7
Misalkan dan
�
adalah dua tiitik fuzzy di . dikatakan sama dengan
�
dan dinotasikan dengan =
�
jika dan hanya jika =
�
.
Definisi 2.3.8
Untuk sebarang titik fuzzy dan sebarang himpunan
fuzzy , dikatakan termuat di dan dinotasikan
dengan jika dan hanya jika ≤ �
.
Definisi 2.3.9
Interior dari himpunan fuzzy pada adalah
himpunan fuzzy pada dengan derajat keanggotaan �
= {�
∶ ⊂ , }
Interior dari himpunan fuzzy pada dinotasikan
dengan atau °.
Definisi 2.3.10
Closure dari himpunan fuzzy pada adalah
himpunan fuzzy pada dengan derajat keanggotaan �
= �
∶ ⊂ , Closure dari himpunan fuzzy dinotasikan dengan
atau .
Definisi 2.3.11
Misalkan , adalah ruang topologi fuzzy.
Himpunan fuzzy di disebut prabuka jika
⊂ . Komplemen dari himpunan fuzzy prabuka
disebut pratutup.
Teorema 2.3.2
Misalkan , adalah ruang topologi fuzzy. Jika
adalah himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di , maka adalah himpunan fuzzy prabuka.
Teorema 2.3.3
Jika dan adalah himpunan fuzzy prabuka di
maka adalah himpunan fuzzy prabuka di .
Definisi 2.3.12
Diberikan dan
adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi
: → dikatakan buka fuzzy jika untuk setiap
himpunan fuzzy yang buka di ,
adalah himpunan fuzzy buka di .
Definisi 2.3.13
Diberikan dan
adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi
: → dikatakan prakontinu fuzzy jika untuk
setiap himpunan fuzzy yang buka di ,
−1
merupakan himpunan fuzzy prabuka di .
Definisi 2.3.14
Basis filter fuzzy pada adalah koleksi tak kosong ℱ
dari himpunan-himpunan fuzzy pada yang memenuhi : i
0 ℱ ii
Jika , ℱ maka terdapat ℱ sedemikian hingga
⊂
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Fungsi Fuzzy Slightly Precontinuous
Definisi 3.1.1
Diberikan dan
adalah ruang topologi fuzzy. Fungsi
: → dikatakan fuzzy slightly precontinuous
jika untuk setiap titik fuzzy di dan setiap himpunan
fuzzy yang buka sekaligus tutup di dan memuat
, terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di dan memuat
sedemikian hingga ⊂ .
Teorema 3.1.1
Diberikan fungsi :
→ dengan dan adalah ruang topologi fuzzy, maka pernyataan-pernyataan
berikut ekuivalen :
31 1
Fungsi fuzzy slightly precontinuous; 2
Untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di ,
−1
adalah himpunan fuzzy prabuka; 3
Untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di ,
−1
adalah himpunan fuzzy pratutup; 4
Untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup di ,
−1
adalah himpunan fuzzy prabuka sekaligus pratutup.
Bukti : 1
→ 2 : Diberikan fungsi fuzzy
slightly precontinuous, maka untuk setiap titik fuzzy
di dan setiap himpunan fuzzy
yang buka sekaligus tutup di dan memuat
, terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di
dan memuat sedemikian hingga
⊂ . Karena maka
−1
. Karena
⊂ maka
−1
⊂
−1
. Karena
⊂
−1
dan
−1
⊂
−1
maka ⊂
−1
. Sehingga
−1
=
−1
. Karena adalah himpunan fuzzy prabuka di
maka
−1
=
−1
adalah himpunan fuzzy prabuka.
2 → 3 : Misal adalah sebarang himpunan fuzzy buka
sekaligus tutup di , maka adalah himpunan fuzzy
buka sekaligus tutup di . Berdasarkan 2 , diperoleh
−1
=
−1
adalah himpunan fuzzy prabuka. Oleh karena itu,
−1
adalah himpunan fuzzy pratutup. 3
→ 4 : Misal adalah sebarang himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di , maka
adalah himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di . Berdasarkan
3 , diperoleh
−1
dan
−1
=
−1
adalah himpunan fuzzy pratutup. Karena
−1
adalah himpunan fuzzy pratutup, maka
−1
=
−1
adalah himpunan fuzzy prabuka. Jadi
−1
adalah himpunan fuzzy prabuka sekaligus pratutup.
4 → 1 : Misal adalah sebarang titik fuzzy di dan
adalah sebarang himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di yang memuat
. Berdasarkan 4 , diperoleh
−1
adalah himpunan fuzzy prabuka. Karena maka
−1
. Dengan memilih =
−1
maka diperoleh adalah himpunan fuzzy prabuka dengan
dan =
−1
⊂ . Jadi fungsi fuzzy slightly precontinuous.
Contoh 3.1.1
Diberikan = , 0.3 , , 0.4
dan =
, 0.7 , , 0.5 berturut-turut adalah himpunan fuzzy pada
= , dan = , . Misalkan
= 0 , 1 ,
dan =
0 , 1 , berturut-turut adalah topologi fuzzy pada
dan . Fungsi
: → didefinisikan oleh
= , , , . Himpunan fuzzy buka sekaligus
tutup di adalah
dan 1 . Karena
−1
0 = 0 dan
−1
1 = 1 adalah himpunan fuzzy prabuka, maka berdasarkan teorema 3.1.1, fungsi merupakan fungsi
fuzzy slightly precontinuous.
Teorema 3.1.2
Diberikan fungsi :
→ dengan dan adalah ruang topologi fuzzy. Misalkan fungsi
: → ×
adalah fungsi graf dari fungsi . Jika fungsi
fuzzy slightly precontinuous, maka fungsi
fuzzy slightly precontinuous.
Bukti : Misal
adalah sebarang himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di
. Karena 1
dan berturut-turut merupakan himpunan fuzzy buka sekaligus tutup di
dan , maka
1 × adalah himpunan fuzzy buka
sekaligus tutup di × . Karena fungsi fuzzy slightly
precontinuous maka
−1
1 × = 1
−1
=
−1
adalah himpunan fuzzy prabuka di . Jadi berdasarkan teorema 3.1.1, fungsi
fuzzy slightly precontinuous.
Definisi 3.1.2
Diberikan adalah ruang topologi fuzzy. Basis filter fuzzy
ℱ dikatakan p-konvergen ke titik fuzzy di jika untuk sebarang himpunan fuzzy
yang prabuka di dan memuat
, terdapat himpunan fuzzy ℱ sedemikian
hingga ⊂ .
Definisi 3.1.3
Diberikan adalah ruang topologi fuzzy. Basis filter fuzzy
ℱ dikatakan co-konvergen ke titik fuzzy di jika untuk sebarang himpunan fuzzy
yang buka sekaligus tutup di dan memuat
, terdapat himpunan fuzzy
ℱ sedemikian hingga ⊂ . Adapun hubungan antara definisi 3.1.2 dan definisi
3.1.3 yaitu jika diberikan adalah ruang topologi fuzzy dan basis filter fuzzy
ℱ co-konvergen ke titik fuzzy di , maka basis filter fuzzy
ℱ p-konvergen ke titik fuzzy di , sebab setiap himpunan fuzzy buka sekaligus tuup
di merupakan himpunan fuzzy prabuka di .
Teorema 3.1.3
32 Diberikan dan adalah ruang topologi fuzzy. Jika
fungsi :
→ fuzzy slightly precontinuous, maka untuk setiap titik fuzzy
di dan setiap basis filter fuzzy ℱ di
yang p-konvergen ke ,
ℱ co-konvergen ke . Bukti :
Misalkan adalah sebarang titik fuzzy di dan
ℱ adalah sebarang basis filter fuzzy di yang p-konvergen
ke . Karena fungsi fuzzy slightly precontinuous, maka
untuk setiap himpunan fuzzy yang buka sekaligus tutup
di dan memuat , terdapat himpunan fuzzy yang
prabuka di dan memuat sedemikian hingga
⊂ . Karena basis filter fuzzy
ℱ p-konvergen ke , maka terdapat himpunan fuzzy
sedemikian hingga ⊂ . Dengan memilih
ℱ , maka diperoleh ⊂ ⊂ . Jadi ℱ co-konvergen ke .
Jelas bahwa jika suatu fungsi :
→ prakontinu fuzzy, maka fungsi
fuzzy slightly precontinuous. Contoh berikut menunjukkan bahwa pernyataan tersebut
tidak berlaku sebaliknya.
Contoh 3.1.2
Diberikan =
, 0.3 , , 0.4 dan = { , 0.7 , , 0.5 } berturut-turut adalah himpunan fuzzy pada
= , dan = , . Misalkan
= 1 , 0 , dan
= 1 , 0 , berturut-turut adalah topologi fuzzy pada
dan . Fungsi
: → yang didefinisikan oleh
= , , , merupakan fungsi fuzzy slightly
precontinuous tetapi fungsi tidak prakontinu fuzzy.
Teorema 3.1.4
Diberikan dan
adalah ruang topologi fuzzy dengan memiliki basis yang hanya memuat himpunan-
himpunan fuzzy buka sekaligus tutup. Jika fungsi :
→ fuzzy slightly precontinuous, maka fungsi prakontinu fuzzy.
Bukti : Misalkan
adalah sebarang titik fuzzy di dan adalah sebarang himpunan fuzzy buka di yang memuat
. Karena hanya memiliki basis yang memuat
himpunan-himpunan fuzzy buka sekaligus tutup, maka terdapat himpunan fuzzy
yang buka sekaligus tutup dan memuat
sedemikian hingga ⊂ . Karena fungsi
fuzzy slightly precontinuous, maka terdapat himpunan fuzzy yang prabuka di
dan memuat sedemikian hingga
⊂ ⊂ . Jadi fungsi prakontinu fuzzy.
3.2 Aksioma-aksioma Pemisahan dan Graf Pre-co-
