47
3.2c
Persamaan 3.2 disebut persamaan normal. Apabila ditulis kedalam bentuk matriks Persamaan 3.2 akan menjadi
Selanjutnya nilai , dan
dapat ditaksir dengan menggunakan rumus
B. Penyelesaian Masalah Nonlinear
1. Pemrograman Kuadratik dengan Metode Wolfe
Pemrograman Kuadratik menyelesaikan masalah pemrograman nonlinear dengan mentransformasikannya menjadi masalah pemrograman linear
menggunakan syarat Kuhn Tucker. Persamaan baru yang didapat dari syarat
48
Kuhn Tucker dicari solusi optimalnya dengan simpleks metode wolfe. Adapun
langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut Yuni, 2015
a. Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari syarat Kuhn Tucker yang
diperoleh. b.
Mengidentifikasi complementary slackness sesuai Sifat 2.1. c.
Menambahkan variabel buatan untuk setiap kondisi Kuhn Tucker
yang tidak memiliki variabel basis. d.
Membuat fungsi tujuan baru yang linear yaitu fungsi tujuan untuk meminimalkan jumlah nilai variabel buatan
. e.
Melakukan proses iterasi simpleks dengan menggunakan metode wolfe.
Untuk menjamin bahwa solusi akhir variabel buatan bernilai nol
memenuhi kondisi complementary slackness, metode wolfe memiliki modifikasi untuk pilihan variabel simpleks yang masuk menjadi
basis, yaitu 1
dari kondisi Kuhn Tucker dan variabel keputusan tidak bisa
menjadi variabel basis secara bersamaan. 2
Variabel surplus atau variabel slack
dari kendala ke- i dan dari kondisi Kuhn Tucker tidak boleh kedua-duanya menjadi
variabel basis. Syarat basis diatas bersesuaian dengan complementary slackness dari
pemrograman kuadratik. Jadi, apabila simpleks dikerjakan dengan cara biasa tanpa menggunakan syarat basis diatas maka pada hasil
49
tabel optimal akan ada complementary slackness yang tidak terpenuhi.
f. Mensubstitusikan hasil dari tabel optimum ke dalam fungsi tujuan
awal nonlinear untuk didapatkan solusi optimum. Jika dalam tabel optimum terdapat variabel buatan
maka dapat disubstitusikan ke fungsi tujuan linear. Begitu pula untuk variabel
slack, surplus, buatan ataupun maka dapat disubstitusikan ke
bentuk kanonik yang telah dibentuk di awal. Untuk menambah pemahaman, maka diberikan ilustrasi penyelesaian
pemrograman kuadratik dengan metode wolfe melalui contoh berikut :
Contoh 3.1 :
Memaksimumkan 3.3
dengan kendala
3.4a 3,4b
3.4c
Langkah - langkah penyelesaian Persamaan 3.3 dan 3.4 dengan pemrograman kuadratik metode wolfe adalah sebagai berikut :
a. Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari fungsi tujuan dan fungsi
kendala yang telah dimiliki. Berdasarkan Persamaan 3.3 dan 3.4 maka ditentukan bentuk
kanoniknya yaitu :
3.5a
50
3.5b 3.5c
3.5d
b. Mengidentifikasi complementary slackness yang ada.
Diperhatikan bahwa
Persamaan 3.5
merupakan kondisi
complementary slackness, sehingga mengakibatkan :
c. Menambahkan variabel buatan
untuk setiap kondisi Kuhn Tucker yang tidak memiliki variabel basis.
Berdasarkan Persamaan 3.5, hanya Persamaan 3.5c dan 3.5d yang memiliki variabel basis. Pada Persamaan 3.5a dan 3.5b
perlu ditambah variabel buatan sehingga bentuk kanoniknya
menjadi :
3.6a 3.6b
3.6c 3.6d
d. Membuat fungsi tujuan baru yang linear yaitu fungsi tujuan untuk
meminimalkan jumlah nilai variabel buatan .
Bentuk fungsi tujuan baru yang linear untuk Contoh 3.1 adalah Meminimumkan
3.7
51
dengan kendala
3.6a 3.6b
3.6c 3.6d
Semua variabel non negatif. e.
Melakukan proses iterasi simpleks dengan menggunakan metode wolfe.
Pada proses iterasi, semua koefisien ongkos variabel non basis diganti dengan 0. Winston, 2003 : 687
Tabel 3. 1 Tabel simpleks dengan metode wolfe
1 1
1 4
1 -1
1 1
1 2
1 -1
1 4
1 1
8 1
1 10
4 2
1 1
-1 -1
1 1
5 -
4 2
1 1
-1 -1
Semua koefisien dari setiap kendala kondisi Kuhn Tucker dimasukkan ke dalam tabel. Nilai pada baris
didapat dari jumlah hasil perkalian antara koefisien tiap kolom dengan nilai
yang berada di baris yang sama. Untuk menentukan nilai- nilai
maka dipilih dari baris
. Variabel dengan nilai terbesar
kasus minimisasi menjadi pembagi dari yang selanjutnya
diisikan kekolom .
52
Nilai pada
adalah yang paling besar, maka semua nilai pada kolom
dibagi dengan nilai pada kolom variabel sehingga
didapatkan nilai seperti dijelaskan pada Tabel 3.2.
Tabel 3. 2 Iterasi pertama metode wolfe
1 1
1 4
1 -1
1 1
0,25 1
2 1
-1 1
4 -
1 1
8 8
1 1
10 -
4 2
1 1
-1 -1
1 1
5 -
4 2
1 1
-1 -1
Karena nilai terkecil adalah
maka keluar dan
masuk menjadi variabel basis dengan koefisien ongkos 0. Selanjutnya
proses iterasi dilanjutkan hingga diperoleh tabel optimum seperti Tabel 3.3.
Tabel 3. 3 Tabel optimum metode wolfe
1 1
1 0,25 0 -0,25 0 0,25
0,25 1
1 -1
1 2
-0,25 0 0,25 0 -0,25 1
7,75 -1
1 -1
1 8
- -1
-1
Karena nilai maka iterasi berhenti, dan tabel dinyatakan
optimum. Dari tabel optimum tersebut diperoleh nilai variabel dan
. Selain itu juga didapatkan nilai variabel dan
serta nilai minimum . Kemudian untuk
53
mengetahui nilai maksimum yang dicari maka nilai variabel- variabel tersebut disubstitusikan kedalam fungsi tujuan awal yaitu
. Sehingga penyelesaian optimal dari Contoh 3.1 adalah 10,125.
Secara umum, penyelesaian pemrograman kuadratik metode Wolfe dapat digambarkan dalam Gambar 3.1
2. Metode Fungsi Penalti Eksterior Metode Penalty
