Pembentukan Model Penerapan Model Nonlinear pada Rata-Rata Produksi Tanaman Pangan

56

1. Pembentukan Model

Salah satu sektor penopang utama pertumbuhan ekonomi yang masih sangat besar adalah sektor pertanian. Setiap tahun, permintaan terhadap produksi pertanian selalu meningkat, khususnya kebutuhan bahan pangan. Kebutuhan bahan pangan masyarakat bertumpu pada padi dan palawija. Oleh karena itu produksi padi dan palawija menjadi pemasok utama dalam pemenuhan kebutuhan pangan. Di kota Magelang, jenis tanaman pangan yang diproduksi setiap tahunnya selalu berubah ubah. Jenis-jenis tanaman yang diproduksi yaitu padi, jagung, ketela pohon, ketela rambat, kacang tanah, dan kedelai. Namun menurut data dari buku Magelang Dalam Angka, dari tahun 1994 hingga tahun 2014 jenis tanaman pangan yang paling banyak diproduksi yaitu padi, ketela pohon, dan jagung maka dipilihlah ketiga jenis tanaman tersebut. Dalam buku Kota Magelang Dalam Angka yang diterbitkan oleh Badan Pusat Statistik Kota Magelang, tabel yang menyajikan informasi mengenai luas tanam, luas panen, dan rata-rata produksi tanaman pangan ada pada bab pertanian. Data luas tanam, luas panen, dan rata-rata produksi padi, ketela pohon, serta jagung dari tahun 1994 sampai tahun 2014 disajikan pada Tabel 3.4 57 Tabel 3. 4 Data Luas Tanam, Luas Panen, dan Rata-rata Produksi Padi, Ketela Pohon dan Jagung tahun 1994-2014 Tahun Padi Sawah Ketela Pohon Jagung LT Ha LP Ha RRP kw LT Ha LP Ha RRP kw LT Ha LP Ha RRP kw 1994 546 602 50,83 59 59 125,76 9 10 32 1995 626 600 51,68 12 16 121,88 6 11 20 1996 637 618 52,04 16 19 132,11 7 7 27,14 1997 604 621 51,8 2 7 132,86 18 14 22,86 1998 648 591 51,82 11 9 153,3 11 15 26,66 1999 600 569 52,81 21 17 172,47 5 7 25 2000 489 497 53,51 1 2 90 3 5 25 2001 525 474 53,35 7 7 168,57 3 4 25,05 2002 517 514 52,79 11 15 139,33 3 - - 2003 492 469 52,81 7 8 139,38 - 1 20 2004 490 471 52,4 5 7 140 - - - 2005 480 473 52,64 8 8 140 - 1 25 2006 495 491 52,62 5 6 140 - - - 2007 502 501 54,51 4 3 140 1 - - 2008 503 504 54,56 7 3 140 3 4 25 2009 513 512 54,67 9 10 140 3 2 63,5 2010 519 520 54,75 10 11 141 2 2 64 2011 550 551 56,98 7 9 70 2 3 16,25 2012 541 548 59,708 4 3 148,96 - - - 2013 544 548 58,5 1 3 73,33 - - - 2014 552 547 58,18 24 2 70 - - - Keterangan LT : Luas Tanam LP : Luas Panen RRP : Rata-Rata Produksi Menurut BPS Provinsi Jawa Tengah 2013 luas panen adalah luas tanaman yang dipungut hasilnya setelah tanaman tersebut cukup umur termasuk tanaman yang gagal panen. Sedangkan rata-rata produksi atau hasil per hektar merupakan produksi setiap jenis komoditas per luas panen dalam satuan hektar. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Vina 2013, data pada Tabel 3.4 dapat dibentuk fungsi tujuan berupa fungsi nonlinear. 58

a. Membentuk Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan dari permasalaan ini dibentuk dari rata – rata produksi yang diartikan sebagai hasil panen per hektar yang dihitung beratnya dalam satuan kwintal. Sedangkan luas panen diasumsikan sebagai banyaknya tanaman yang dipungut hasilnya setelah cukup umur termasuk yang gagal panen. Karena tidak memungkinkan untuk menghitung tanaman satu persatu, maka jumlah tanaman dianggap setara dengan luas tanaman yang dihitung dalam satuan hektar. Rata-rata produksi tanaman pangan total merupakan jumlahan dari rata- rata produksi tanaman padi, ketela pohon, dan jagung. Sehingga fungsi tujuan yang akan dibentuk dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung. 3.8 Adapun variabel yang digunakan adalah sebagai berikut = data Luas Panen Padi ke - dalam satuan ha = data Luas Panen Ketela Pohon ke - dalam satuan ha = data Luas Panen Jagung ke - dalam satuan ha = data Rata – Rata Produksi ke - dalam satuan kw = 1,2,..., ; = banyaknya data = parameter fungsi tujuan 59 Berdasarkan Persamaan 3.8 maka dapat dibentuk fungsi rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung adalah 3.9 Untuk menentukan parameter fungsi tujuan pada Persamaan 3.9, digunakan metode kuadrat terkecil seperti pada Persamaan 3.2 yaitu dengan menyelesaikan sistem persamaan linear berikut 3.10 Dimana Solusi dari Persamaan 3.10 diperoleh dengan 3.11 Berikut ini akan dicari fungsi tujuan dari masing- masing tanaman pangan yaitu, padi, ketela pohon dan jagung menggunakan metode kuadrat terkecil dengan bantuan software Matlab untuk selanjutnya dibentuk fungsi tujuan bersama. 60 1 Fungsi Tujuan Tanaman Padi Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut a Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi padi ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama datax.dat b Ketikkan pada script-file pemrograman untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTX c Ketikkan MKTX pada command window, tekan enter d Muncul hasil pada command window seperti berikut MKTX m = 21 n = 2 A = 1.0e+12 1.8008 0.0033 0.0000 0.0033 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Y = 1.0e+08 3.2481 0.0061 0.0000 beta = -0.0002 0.2083 0.0100 Gambar 3. 4 Tampilan Output MKTX pada Command Window Berdasarkan hasil pada Gambar 3.4 didapatkan fungsi tujuan tanaman padi, yaitu 3.12 61 2 Fungsi Tujuan Tanaman Ketela Pohon Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut a Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi ketela pohon ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama datay.dat b Ketikkan pada script-file pemrograman untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTY c Ketikkan MKTY pada command window, tekan enter d Muncul hasil pada command window seperti berikut MKTY m = 21 n = 2 A = 12502174 230804 5350 230804 5350 224 5350 224 2 Y = 1.0e+05 6.9672 0.2985 0.0272 beta = -0.2862 19.2570 -31.7838 Gambar 3. 5 Tampilan Output MKTY pada Command Window Berdasarkan hasil pada Gambar 3.5 didapatkan fungsi tujuan tanaman ketela pohon, yaitu 3.13 62 3 Fungsi Tujuan Tanaman Jagung Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut a Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi ketela pohon ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama dataz.dat b Ketikkan pada script-file pemrograman untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTZ c Ketikkan MKTZ pada command window, tekan enter d Muncul hasil pada command window seperti berikut MKTZ m = 14 n = 2 A = 119736 9434 816 9434 816 86 816 86 2 Y = 1.0e+04 2.0781 0.2299 0.0417 beta = -0.6737 11.4282 -7.7962 Gambar 3. 6 Tampilan Output MKTZ pada Command Window Berdasarkan hasil pada Gambar 3.6 didapatkan fungsi tujuan tanaman jagung, yaitu 3.14 63 Fungsi tujuan pada masalah ini adalah mengoptimalkan rata-rata produksi tanaman pangan yang terbentuk dari jumlahan rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung, sehingga berdasarkan Persamaan 3.12, 3.13 dan 3.14 diperoleh fungsi tujuan bersama yaitu memaksimumkan 3.15 Sebelum Persamaan 3.15 diselesaikan, alangkah lebih baiknya apabila diselidiki terlebih dahulu apakah fungsi tujuan tersebut valid atau tidak. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Vina 2013, untuk membuktikan bahwa solusi nilai pada fungsi tujuan yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil adalah yang terbaik ada dua cara, yaitu dengan melihat nilai error dan conditional number-nya. Cara yang pertama yaitu dengan melihat nilai errornya. Nilai variabel , dan pada Tabel 3.4 disubstitusikan ke Persamaan 3.15. Kemudian dihitung selisih nilai dari jumlahan rata-rata produksi padi, ketela pohon dan jagung yang ada pada Tabel 3.4 dengan hasil perhitungan. Tabel 3.5 merupakan hasil perhitungan selisih nilai beserta errornya. 64 Tabel 3. 5 Hasil Perhitungan Selisih Nilai dan Errornya Luas Panen Rata-Rata Produksi Data Aktual Hasil Perhitungan Selisih Error Padi Ketela Pohon Jagung Padi Ketela Pohon Jagung 602 59 10 50,83 125,76 32 208,59 200,16 8,43 4 600 16 11 51,68 121,88 20 193,56 292,45 98,89 51 618 19 7 52,04 132,11 27,14 211,29 322,33 111,04 53 621 7 14 51,8 132,86 22,86 207,52 161,38 46,14 22 591 9 15 51,82 153,3 26,66 231,78 183,65 48,13 21 569 17 7 52,81 172,47 25 250,28 305,84 55,56 22 497 2 5 53,51 90 25 168,51 92,22 76,29 45 474 7 4 53,35 168,57 25,05 246,97 169,94 77,03 31 514 15 - 52,79 139,33 - 192,12 246,91 54,79 29 469 8 1 52,81 139,38 20 212,19 160,62 51,57 24 471 7 - 52,4 140 - 192,4 142,74 49,66 26 473 8 1 52,64 140 25 217,64 160,70 56,94 26 491 6 - 52,62 140 - 192,62 127,52 65,10 34 501 3 - 54,51 140 - 194,51 77,58 116,93 60 504 3 4 54,56 140 25 219,56 104,74 114,82 52 512 10 2 54,67 140 63,5 258,17 198,76 59,41 23 520 11 2 54,75 141 64 259,75 212,02 47,73 18 551 9 3 56,98 70 16,25 143,23 192,84 49,61 35 548 3 - 59,708 148,96 - 208,668 77,51 131,16 63 548 3 - 58,5 73,33 - 131,83 77,51 54,32 41 547 2 - 58,18 70 - 128,18 59,69 68,49 53 Rata-Rata Error 35 Berdasarkan Tabel 3.5, rata-rata errornya cukup besar, yaitu 35. Akan tetapi masih ada cara kedua, yaitu dengan melihat conditional number-nya. Conditional number dari invers matriks dengan melihat norm matriks didefinisikan sebagai berikut Conditional number digunakan untuk mengukur kesalahan yang mungkin terjadi pada input dan output . Error relatif untuk invers matriks A 65 tergantung dari nilai conditional number, sehingga conditional number tidak boleh terlalu besar Vina,2013. Jika nilai conditional number 67108864 , maka nilai dinyatakan terbaik Anderson dalam Vina, 2013. Berikut adalah hasil perhitungan conditional number dengan bantuan software Matlab, yaitu dengan perintah cond script terlampir. Tabel 3. 6 Tabel Nilai Conditional Number Padi, Ketela Pohon, dan Jagung Padi Ketela Pohon Jagung Jumlah Conditional Number 716,9105 16,9728 49,9719 783,8552 Berdasarkan Tabel 3.6, nilai conditional number 67108864 , maka nilai pada fungsi tujuan dinyatakan terbaik. Jadi Persamaan 3.15 merupakan fungsi pendekatan yang terbaik.

b. Membentuk Fungsi Kendala

Pada permasalahan ini kendalanya yaitu luas panen tidak boleh lebih dari luas tanam maksimum. Sehingga menurut data pada Tabel 3.4, fungsi kendala pada masalah ini adalah 3.16a 3.16b 3.16c 3.16d Jadi model matematika untuk rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang adalah model nonlinear dengan fungsi tujuannya Persamaan 3.15 dan fungsi kendalanya Persamaan 3.16. 66 2. Penyelesaian dengan Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe Sebelum diselesaikan dengan pemrograman kuadratik metode wolfe, Persamaan 3.15 dan 3.16 akan diidentifikasi ke dalam bentuk umum dari masalah pemrograman kuadratik. Berdasarkan Persamaan 2.38, maka Persamaan 3.15 dapat ditulis dengan , dan , Jadi diperoleh dengan kendalanya yaitu Persamaan 3.15 dan 3.16 sudah sesuai dengan bentuk umum masalah pemrograman kuadratik. Selanjutnya, akan dilihat apakah Persaman 3.15 dan 3.16 merupakan fungsi konveks atau konkaf, yaitu dengan melihat 67 turunan parsialnya. Diperoleh turunan parsial kedua dari Persamaan 3.15 adalah sebagai berikut dan turunan pertama dari Persaman 3.16 adalah sebagai berikut Karena , maka berdasarkan Teorema 2.1 fungsi merupakan fungsi konkaf. Sedangkan , maka menurut Definisi 2.2 dan Teorema 2.4 fungsi merupakan fungsi konveks. Karena fungsi konkaf dan konveks maka digunakan syarat Karush Kuhn Tucker sebagai syarat perlu dan cukup untuk mencapai nilai optimal. Oleh karena itu Persamaan 3.15 dapat diselesaikan dengan pemrograman 68 kuadratik metode wolfe. Adapun langkah- langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut a. Membentuk Kondisi Kuhn-Tucker Berdasarkan Teorema 2.7, maka pada Persamaan 3.15 dapat ditentukan syarat Kuhn-Tuckernya yaitu 1 3.17a 3.17b 3.17c 2 3.18a 3.18b 3.18c 3 3.19a 3.19b 3.19c 4 3.20 5 3.21 Berdasarkan Persamaan 3.16a, 3.16b, dan 3.16c maka diperoleh 3.22a 3.22b 3.22c Bentuk Persamaan 3.22 dapat dijadikan bentuk kanonik sehingga menjadi 69 3.23a 3.23b 3.23c Setelah mengidentifikasi syarat Kuhn Tucker, maka kondisi Kuhn Tucker untuk Persamaan 3.16 yaitu 3.17a 3.17b 3.17c 3.23a 3.23b 3.23c b. Mengidentifikasi complementary slackness Berdasarkan Persamaan 3.18 dan 3.23, Persamaan 3.17 dan 3.19 dan sifat complementary slackness pada pemrograman kuadratik, maka kondisi complementary slackness untuk Persamaan 3.15 adalah c. Menambah variabel buatan untuk setiap kondisi Kuhn-Tucker yang tidak memiliki variabel basis Persamaan 3.17 tidak memiliki variabel basis sehingga ditambahkan variabel buatan sehingga bentuknya menjadi 3.24a 70 3.24b 3.24c d. Menentukan fungsi tujuan baru yang linear Bentuk fungsi tujuan baru yang linear untuk masalah rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung adalah Meminimumkan 3.25 dengan kendala 3.24a 3.24b 3.24c 3.23a 3.23b 3.23c Semua variabel non negatif e. Melakukan proses iterasi simpleks dengan metode wolfe Setelah didapatkan fungsi tujuan dan kendala baru, yaitu Persamaan 3.23 – 3.25 dibuatlah tabel simpleks lalu dilakukan perhitungannya. Perhitungan iterasi simplek menggunakan bantuan excel, berikut adalah tampilan tabel optimum. 71 Gambar 3. 7 Tampilan tabel optimum simplek metode wolfe Berdasarkan Gambar 3.13 diperoleh hasil , , , , , dan . Kemudian untuk mendapatkan nilai maksimum yang dicari maka nilai variabel , dan disubstitusikan ke Persamaan 3.15 yang merupakan fungsi tujuan awal yaitu

2. Penyelesaian dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior Metode