56
1. Pembentukan Model
Salah satu sektor penopang utama pertumbuhan ekonomi yang masih sangat besar adalah sektor pertanian. Setiap tahun, permintaan terhadap
produksi pertanian selalu meningkat, khususnya kebutuhan bahan pangan. Kebutuhan bahan pangan masyarakat bertumpu pada padi dan
palawija. Oleh karena itu produksi padi dan palawija menjadi pemasok utama dalam pemenuhan kebutuhan pangan.
Di kota Magelang, jenis tanaman pangan yang diproduksi setiap tahunnya selalu berubah ubah. Jenis-jenis tanaman yang diproduksi yaitu
padi, jagung, ketela pohon, ketela rambat, kacang tanah, dan kedelai. Namun menurut data dari buku Magelang Dalam Angka, dari tahun 1994
hingga tahun 2014 jenis tanaman pangan yang paling banyak diproduksi yaitu padi, ketela pohon, dan jagung maka dipilihlah ketiga jenis tanaman
tersebut. Dalam buku Kota
Magelang Dalam Angka yang diterbitkan oleh Badan Pusat Statistik Kota Magelang, tabel yang menyajikan informasi
mengenai luas tanam, luas panen, dan rata-rata produksi tanaman pangan ada
pada bab pertanian. Data luas tanam, luas panen, dan rata-rata produksi padi, ketela pohon, serta jagung dari tahun 1994 sampai tahun
2014 disajikan pada Tabel 3.4
57
Tabel 3. 4 Data Luas Tanam, Luas Panen, dan Rata-rata Produksi Padi, Ketela
Pohon dan Jagung tahun 1994-2014 Tahun
Padi Sawah Ketela Pohon
Jagung LT
Ha LP
Ha RRP
kw LT
Ha LP
Ha RRP
kw LT
Ha LP
Ha RRP
kw 1994
546 602
50,83 59
59 125,76
9 10
32 1995
626 600
51,68 12
16 121,88
6 11
20 1996
637 618
52,04 16
19 132,11
7 7
27,14 1997
604 621
51,8 2
7 132,86
18 14
22,86 1998
648 591
51,82 11
9 153,3
11 15
26,66 1999
600 569
52,81 21
17 172,47
5 7
25 2000
489 497
53,51 1
2 90
3 5
25 2001
525 474
53,35 7
7 168,57
3 4
25,05 2002
517 514
52,79 11
15 139,33
3 -
- 2003
492 469
52,81 7
8 139,38
- 1
20 2004
490 471
52,4 5
7 140
- -
- 2005
480 473
52,64 8
8 140
- 1
25 2006
495 491
52,62 5
6 140
- -
- 2007
502 501
54,51 4
3 140
1 -
- 2008
503 504
54,56 7
3 140
3 4
25 2009
513 512
54,67 9
10 140
3 2
63,5 2010
519 520
54,75 10
11 141
2 2
64 2011
550 551
56,98 7
9 70
2 3
16,25 2012
541 548 59,708
4 3
148,96 -
- -
2013 544
548 58,5
1 3
73,33 -
- -
2014 552
547 58,18
24 2
70 -
- -
Keterangan LT
: Luas Tanam LP
: Luas Panen RRP : Rata-Rata Produksi
Menurut BPS Provinsi Jawa Tengah 2013 luas panen adalah luas tanaman yang dipungut hasilnya setelah tanaman tersebut cukup umur
termasuk tanaman yang gagal panen. Sedangkan rata-rata produksi atau hasil per hektar merupakan produksi setiap jenis komoditas per luas panen dalam
satuan hektar. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Vina 2013, data pada Tabel 3.4 dapat dibentuk fungsi tujuan berupa fungsi nonlinear.
58
a. Membentuk Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan dari permasalaan ini dibentuk dari rata – rata produksi
yang diartikan sebagai hasil panen per hektar yang dihitung beratnya dalam satuan kwintal. Sedangkan luas panen diasumsikan sebagai banyaknya
tanaman yang dipungut hasilnya setelah cukup umur termasuk yang gagal panen. Karena tidak memungkinkan untuk menghitung tanaman satu persatu,
maka jumlah tanaman dianggap setara dengan luas tanaman yang dihitung
dalam satuan hektar.
Rata-rata produksi tanaman pangan total merupakan jumlahan dari rata- rata produksi tanaman padi, ketela pohon, dan jagung. Sehingga fungsi tujuan
yang akan dibentuk dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung.
3.8
Adapun variabel yang digunakan adalah sebagai berikut = data Luas Panen Padi ke -
dalam satuan ha = data Luas Panen Ketela Pohon ke -
dalam satuan ha = data Luas Panen Jagung ke -
dalam satuan ha = data Rata
– Rata Produksi ke - dalam satuan kw = 1,2,..., ; = banyaknya data
= parameter fungsi tujuan
59
Berdasarkan Persamaan 3.8 maka dapat dibentuk fungsi rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung adalah
3.9
Untuk menentukan parameter fungsi tujuan pada Persamaan 3.9, digunakan metode kuadrat terkecil seperti pada Persamaan 3.2 yaitu dengan
menyelesaikan sistem persamaan linear berikut
3.10
Dimana
Solusi dari Persamaan 3.10 diperoleh dengan
3.11
Berikut ini akan dicari fungsi tujuan dari masing- masing tanaman pangan yaitu, padi, ketela pohon dan jagung menggunakan metode kuadrat terkecil
dengan bantuan software Matlab untuk selanjutnya dibentuk fungsi tujuan bersama.
60
1 Fungsi Tujuan Tanaman Padi
Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut
a Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi padi ke
software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama datax.dat
b Ketikkan pada script-file pemrograman untuk mendapatkan
parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTX c
Ketikkan MKTX pada command window, tekan enter d
Muncul hasil pada command window seperti berikut
MKTX m =
21 n =
2 A =
1.0e+12 1.8008 0.0033 0.0000
0.0033 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Y = 1.0e+08
3.2481 0.0061
0.0000 beta =
-0.0002 0.2083
0.0100
Gambar 3. 4 Tampilan Output MKTX pada Command Window
Berdasarkan hasil pada Gambar 3.4 didapatkan fungsi tujuan tanaman padi, yaitu
3.12
61
2 Fungsi Tujuan Tanaman Ketela Pohon
Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut
a Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi ketela pohon
ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama datay.dat
b Ketikkan pada script-file pemrograman untuk mendapatkan
parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTY c
Ketikkan MKTY pada command window, tekan enter d
Muncul hasil pada command window seperti berikut
MKTY m =
21 n =
2 A =
12502174 230804 5350 230804 5350 224
5350 224 2 Y =
1.0e+05 6.9672
0.2985 0.0272
beta = -0.2862
19.2570 -31.7838
Gambar 3. 5 Tampilan Output MKTY pada Command Window
Berdasarkan hasil pada Gambar 3.5 didapatkan fungsi tujuan tanaman ketela pohon, yaitu
3.13
62
3 Fungsi Tujuan Tanaman Jagung
Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut
a Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi ketela pohon
ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama dataz.dat
b Ketikkan pada script-file pemrograman untuk mendapatkan
parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTZ c
Ketikkan MKTZ pada command window, tekan enter d
Muncul hasil pada command window seperti berikut
MKTZ m =
14 n =
2 A =
119736 9434 816 9434 816 86
816 86 2 Y =
1.0e+04 2.0781
0.2299 0.0417
beta = -0.6737
11.4282 -7.7962
Gambar 3. 6 Tampilan Output MKTZ pada Command Window
Berdasarkan hasil pada Gambar 3.6 didapatkan fungsi tujuan tanaman jagung, yaitu
3.14
63
Fungsi tujuan pada masalah ini adalah mengoptimalkan rata-rata produksi tanaman pangan yang terbentuk dari jumlahan rata-rata produksi
padi, ketela pohon, dan jagung, sehingga berdasarkan Persamaan 3.12, 3.13 dan 3.14 diperoleh fungsi tujuan bersama yaitu memaksimumkan
3.15
Sebelum Persamaan 3.15 diselesaikan, alangkah lebih baiknya apabila diselidiki terlebih dahulu apakah fungsi tujuan tersebut valid atau tidak.
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Vina 2013, untuk membuktikan bahwa solusi nilai
pada fungsi tujuan yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil adalah yang terbaik ada dua cara, yaitu dengan
melihat nilai error dan conditional number-nya. Cara yang pertama yaitu dengan melihat nilai errornya. Nilai variabel
, dan
pada Tabel 3.4 disubstitusikan ke Persamaan 3.15. Kemudian dihitung selisih nilai
dari jumlahan rata-rata produksi padi, ketela pohon dan jagung yang ada pada Tabel 3.4 dengan hasil perhitungan. Tabel 3.5
merupakan hasil perhitungan selisih nilai beserta errornya.
64
Tabel 3. 5 Hasil Perhitungan Selisih Nilai
dan Errornya
Luas Panen Rata-Rata Produksi
Data Aktual
Hasil Perhitungan
Selisih Error
Padi Ketela
Pohon Jagung
Padi Ketela
Pohon Jagung
602 59
10 50,83
125,76 32
208,59 200,16
8,43 4
600 16
11 51,68
121,88 20
193,56 292,45
98,89 51
618 19
7 52,04
132,11 27,14
211,29 322,33
111,04 53
621 7
14 51,8
132,86 22,86
207,52 161,38
46,14 22
591 9
15 51,82
153,3 26,66
231,78 183,65
48,13 21
569 17
7 52,81
172,47 25
250,28 305,84
55,56 22
497 2
5 53,51
90 25
168,51 92,22
76,29 45
474 7
4 53,35
168,57 25,05
246,97 169,94
77,03 31
514 15
- 52,79
139,33 -
192,12 246,91
54,79 29
469 8
1 52,81
139,38 20
212,19 160,62
51,57 24
471 7
- 52,4
140 -
192,4 142,74
49,66 26
473 8
1 52,64
140 25
217,64 160,70
56,94 26
491 6
- 52,62
140 -
192,62 127,52
65,10 34
501 3
- 54,51
140 -
194,51 77,58
116,93 60
504 3
4 54,56
140 25
219,56 104,74
114,82 52
512 10
2 54,67
140 63,5
258,17 198,76
59,41 23
520 11
2 54,75
141 64
259,75 212,02
47,73 18
551 9
3 56,98
70 16,25
143,23 192,84
49,61 35
548 3
- 59,708 148,96
- 208,668
77,51 131,16
63 548
3 -
58,5 73,33
- 131,83
77,51 54,32
41 547
2 -
58,18 70
- 128,18
59,69 68,49
53 Rata-Rata Error
35
Berdasarkan Tabel 3.5, rata-rata errornya cukup besar, yaitu 35. Akan tetapi masih ada cara kedua, yaitu dengan melihat conditional number-nya.
Conditional number dari invers matriks dengan melihat norm matriks didefinisikan sebagai berikut
Conditional number digunakan untuk mengukur kesalahan yang mungkin terjadi pada input
dan output . Error relatif untuk invers matriks A
65
tergantung dari nilai conditional number, sehingga conditional number tidak boleh terlalu besar Vina,2013. Jika nilai conditional number 67108864 ,
maka nilai dinyatakan terbaik Anderson dalam Vina, 2013. Berikut
adalah hasil perhitungan conditional number dengan bantuan software Matlab, yaitu dengan perintah cond script terlampir.
Tabel 3. 6 Tabel Nilai Conditional Number Padi, Ketela Pohon, dan Jagung
Padi Ketela Pohon
Jagung Jumlah
Conditional Number 716,9105
16,9728 49,9719
783,8552 Berdasarkan Tabel 3.6, nilai conditional number 67108864 , maka nilai
pada fungsi tujuan dinyatakan terbaik. Jadi Persamaan 3.15 merupakan fungsi pendekatan yang terbaik.
b. Membentuk Fungsi Kendala
Pada permasalahan ini kendalanya yaitu luas panen tidak boleh lebih dari luas tanam maksimum. Sehingga menurut data pada Tabel 3.4, fungsi kendala
pada masalah ini adalah 3.16a
3.16b 3.16c
3.16d
Jadi model matematika untuk rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang adalah model nonlinear dengan fungsi tujuannya Persamaan 3.15
dan fungsi kendalanya Persamaan 3.16.
66
2.
Penyelesaian dengan Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe
Sebelum diselesaikan dengan pemrograman kuadratik metode wolfe, Persamaan 3.15 dan 3.16 akan diidentifikasi ke dalam bentuk umum dari
masalah pemrograman kuadratik. Berdasarkan Persamaan 2.38, maka Persamaan 3.15 dapat ditulis dengan
, dan
, Jadi diperoleh
dengan kendalanya yaitu
Persamaan 3.15 dan 3.16 sudah sesuai dengan bentuk umum masalah pemrograman kuadratik. Selanjutnya, akan dilihat apakah Persaman 3.15
dan 3.16 merupakan fungsi konveks atau konkaf, yaitu dengan melihat
67
turunan parsialnya. Diperoleh turunan parsial kedua dari Persamaan 3.15 adalah sebagai berikut
dan turunan pertama dari Persaman 3.16 adalah sebagai berikut
Karena , maka berdasarkan Teorema 2.1 fungsi
merupakan fungsi konkaf. Sedangkan , maka menurut
Definisi 2.2 dan Teorema 2.4 fungsi merupakan fungsi konveks. Karena
fungsi konkaf dan konveks maka digunakan syarat Karush Kuhn
Tucker sebagai syarat perlu dan cukup untuk mencapai nilai optimal. Oleh karena itu Persamaan 3.15 dapat diselesaikan dengan pemrograman
68
kuadratik metode wolfe. Adapun langkah- langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut
a. Membentuk Kondisi Kuhn-Tucker
Berdasarkan Teorema 2.7, maka pada Persamaan 3.15 dapat ditentukan syarat Kuhn-Tuckernya yaitu
1 3.17a
3.17b 3.17c
2 3.18a
3.18b 3.18c
3 3.19a
3.19b 3.19c
4 3.20
5 3.21
Berdasarkan Persamaan 3.16a, 3.16b, dan 3.16c maka diperoleh
3.22a 3.22b
3.22c
Bentuk Persamaan 3.22 dapat dijadikan bentuk kanonik sehingga
menjadi
69
3.23a 3.23b
3.23c
Setelah mengidentifikasi syarat Kuhn Tucker, maka kondisi Kuhn
Tucker untuk Persamaan 3.16 yaitu 3.17a
3.17b 3.17c
3.23a 3.23b
3.23c
b. Mengidentifikasi complementary slackness
Berdasarkan Persamaan 3.18 dan 3.23, Persamaan 3.17 dan 3.19 dan sifat complementary slackness pada pemrograman kuadratik,
maka kondisi complementary slackness untuk Persamaan 3.15 adalah
c. Menambah variabel buatan
untuk setiap kondisi Kuhn-Tucker yang tidak memiliki variabel basis
Persamaan 3.17 tidak memiliki variabel basis sehingga ditambahkan variabel buatan
sehingga bentuknya menjadi
3.24a
70
3.24b 3.24c
d. Menentukan fungsi tujuan baru yang linear
Bentuk fungsi tujuan baru yang linear untuk masalah rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung adalah
Meminimumkan
3.25
dengan kendala
3.24a 3.24b
3.24c 3.23a
3.23b 3.23c
Semua variabel non negatif e.
Melakukan proses iterasi simpleks dengan metode wolfe Setelah didapatkan fungsi tujuan dan kendala baru, yaitu Persamaan
3.23 – 3.25 dibuatlah tabel simpleks lalu dilakukan perhitungannya.
Perhitungan iterasi simplek menggunakan bantuan excel, berikut adalah tampilan tabel optimum.
71
Gambar 3. 7 Tampilan tabel optimum simplek metode wolfe
Berdasarkan Gambar 3.13 diperoleh hasil ,
, ,
, , dan
. Kemudian untuk mendapatkan nilai maksimum yang dicari maka nilai variabel
, dan
disubstitusikan ke Persamaan 3.15 yang merupakan fungsi tujuan awal yaitu
2. Penyelesaian dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior Metode