OPTIMASI TANAMAN PANGAN DI KOTA MAGELANG DENGAN PEMROGRAMAN KUADRATIK DAN METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR.

OPTIMASI TANAMAN PANGAN DI KOTA MAGELANG DENGAN PEMROGRAMAN KUADRATIK DAN

METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR

SKRIPSI

Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh : Sativa Nurin Insani NIM. 13305141006

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

MOTTO

Kepuasan terbesar dalam hidup adalah berhasil melakukan sesuatu yang orang lain kira Anda tak mampu melakukannya

-Walter Bagehot-

Syukuri apa yang ada, hidup adalah anugerah. Tetap menjalani hidup dan lakukan yang terbaik

-Rian Ekky Pradipta- MAN SHABARA ZHAFIRA. Siapa yang bersabar pasti beruntung

If you fall a thousand times, stand up millions of times because you do not know how close you are to success

PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk ayah dan ibu saya, Bambang Isiantono dan Endang Pudji Hastuti Kalau bukan karena mereka, saya tidak akan bisa mencapai titik ini.

Novera Rahmi Annisa, Dialah motivasi saya untuk terus berusaha menjadi contoh yang baik.

Ani Budiati, Sigit Edhi Nugroho, Dwi Agus Nurswantoro, Akbar Farid, Bahagia bisa mengenal dan menyebut kalian “SAHABAT”. Hanif Sri Yulianto Terima kasih sudah menjadi alasanku untuk tersenyum dan membuat hidupku jadi nano-nano.

Orang-orang yang pernah datang dan pergi di kehidupanku Terima kasih sudah membuatku mengerti rasanya disakiti dan menyakiti.

OPTIMASI TANAMAN PANGAN DI KOTA MAGELANG DENGAN PEMROGRAMAN KUADRATIK DAN

METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR

Oleh :

Sativa Nurin Insani NIM. 13305141006

ABSTRAK

Optimasi merupakan suatu cara untuk menemukan hasil yang terbaik, yaitu dengan meminimumkan atau memaksimalkan suatu fungsi tujuan dengan tetap memperhatikan batasan yang ada. Selain bidang industri, transportasi, dan perencanaan keuangan, optimasi juga dapat diterapkan dalam bidang pertanian. Salah satu contohnya yaitu optimasi rata-rata produksi tanaman pangan. Tujuan dari penelitian ini adalah membentuk model matematika untuk mengoptimalkan rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang serta menyelesaikan model dengan pemrograman kuadratik dan metode fungsi penalti eksterior (metode

penalty).

Model matematika dalam penelitian ini merupakan model nonlinear yang dibentuk menggunakan metode kuadrat terkecil. Fungsi tujuan dari model tersebut adalah memaksimalkan rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang yang dalam penelitian ini dipilih tiga jenis, yaitu padi, ketela pohon, dan jagung. Pemrograman kuadratik menyelesaikan masalah nonlinear dengan mengubahnya menjadi masalah linear menggunakan syarat Kuhn Tucker, selanjutnya masalah linear tersebut diselesaikan menggunakan simpleks metode wolfe. Sedangkan metode fungsi penalti eksterior (metode penalty) menyelesaikan masalah nonlinear berkendala menjadi masalah nonlinear tak berkendala. Solusi diperoleh berdasarkan syarat perlu dan cukup keoptimalan masalah tak berkendala.

Berdasarkan perhitungan, diperoleh hasil optimal yang sama baik dari pemrograman kuadratik maupun metode fungsi penalti eksterior untuk rata-rata produksi tanaman pangan padi, ketela pohon, dan jagung di kota Magelang, yaitu 387,0586 kwintal dengan luas panen padi 520,75 hektar, luas panen ketela pohon 33,6426 hektar, dan luas panen jagung 8,4817 hektar.

Kata kunci : Optimasi, Tanaman Pangan, Metode Kuadrat terkecil, Pemrograman Kuadratik, Metode Fungsi Penalti Eksterior

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan segala rahmat, karunia dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Optimasi Tanaman Pangan di Kota Magelang Dengan Pemrograman Kuadratik dan Metode Fungsi Penalti Eksterior”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.

Penyusunan skripsi ini dapat berhasil dengan baik dan lancar berkat bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam atas izin yang diberikan untuk melakukan penelitian.

2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika atas izin kepada penulis untuk menyusun skripsi dan memberikan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.

3. Bapak Dr.Agus Maman Abadi selaku Ketua Prodi Matematika dan Penasehat Akademik yang telah memberikan motivasi dan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.

4. Ibu Eminugroho Ratna Sari, M.Sc. selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, motivasi, bantuan dan arahan dengan sabar dalam penyusunan skripsi ini.

5. Bapak Ibu dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY yang telah mengajarkan ilmunya selama perkuliahan.

6. Teman teman Matematika B 2013 yang selalu menemani dan memberi semangat serta bantuan demi kelancaran penyusunan skripsi ini.

7. Semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

PERSETUJUAN ... ii

PENGESAHAN ... iii

PERNYATAAN ... iv

MOTTO ... v

PERSEMBAHAN ... vi

ABSTRAK ... vii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR TABEL ... xii

DAFTAR GAMBAR ... xiii

DAFTAR LAMPIRAN ... xiv

DAFTAR SIMBOL ... xv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. LATAR BELAKANG ... 1

B. RUMUSAN MASALAH ... 5

C. TUJUAN PENELITIAN ... 6

D. MANFAAT PENELITIAN ... 6

BAB II KAJIAN PUSTAKA ... 8

A. Optimasi ... 8

B. Fungsi ... 8

1. Fungsi Konveks dan Konkaf ... 10

2. Fungsi Kontinu ... 11

C. Turunan ... 11

D. Matriks Hessian ... 13

E. Matriks Definit Positif dan Definit Negatif ... 14

F. Titik Kritis ... 15

H. Metode Simpleks ... 21

I. Teorema Dualitas ... 24

J. Pemrograman Nonlinear ... 31

K. Persyaratan Karush Kuhn Tucker ... 34

L. Pemrograman Kuadratik ... 36

M. Metode Fungsi Penalti ... 39

BAB III PEMBAHASAN ... 44

A. Pembentukan Fungsi Tujuan dengan Metode Kuadrat Terkecil ... 44

B. Penyelesaian Masalah Nonlinear ... 47

1. Pemrograman Kuadratik dengan Metode Wolfe ... 47

2. Metode Fungsi Penalti Eksterior (Metode Penalty) ... 53

C. Penerapan Model Nonlinear pada Rata-Rata Produksi Tanaman Pangan di Kota Magelang ... 55

1. Pembentukan Model ... 56

2. Penyelesaian dengan Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe ... 66

3. Penyelesaian dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior (Metode Penalty) 71 4. Analisa Hasil Penyelesaian dengan Pemrograman Kuadratik dan Metode Penalty ... 75

BAB IV PENUTUP ... 77

A. Kesimpulan ... 77

B. Saran ... 79

DAFTAR PUSTAKA ... 81

DAFTAR TABEL

Tabel 2. 1 Bentuk tabel simpleks ... 23

Tabel 2. 2 Contoh tabel dualitas ... 29

Tabel 3. 1 Tabel simpleks dengan metode wolfe ... 51

Tabel 3. 2 Iterasi pertama metode wolfe ... 52

Tabel 3. 3 Tabel optimum metode wolfe ... 52

Tabel 3. 4 Data Luas Tanam, Luas Panen, dan Rata-rata Produksi Padi, Ketela Pohon dan Jagung tahun 1994-2014 ... 57

Tabel 3. 5 Hasil Perhitungan Selisih Nilai dan Errornya ... 64

Tabel 3. 6 Tabel Nilai Conditional Number Padi, Ketela Pohon, dan Jagung ... 65

Tabel 3. 7 Penyelesaian optimal untuk rata-rata produksi padi, ketela pohon dan jagung ... 75

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Ilustrasi Fungsi dan Bukan Fungsi ... 9

Gambar 2. 2 Ilustrasi konveks dan konkaf ... 10

Gambar 3. 1 Bagan Langkah Penyelesian Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe ... 53

Gambar 3. 2 Bagan Langkah Penyelesaian Metode Penalty ... 54

Gambar 3. 3 Alur Pembentukan Model dan Penyelesaian Model Non Linear ... 55

Gambar 3. 4 Tampilan Output MKTX pada Command Window ... 60

Gambar 3. 5 Tampilan Output MKTY pada Command Window ... 61

Gambar 3. 6 Tampilan Output MKTZ pada Command Window... 62

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Input Data dan Script untuk Membentuk Fungsi Tujuan ... 84

Lampiran 2 Iterasi Simpleks Metode Wolfe pada Pemrograman Kuadratik ... 87

Lampiran 3 Script dan Output untuk Mencari Conditional Number... 88

DAFTAR SIMBOL

: parameter fungsi tujuan

� : sisa (galat)

� : jumlah kuadrat sisa

: pengali pada kondisi Kuhn Tucker untuk kendala ke-i � : variabel slack untuk kondisi Kuhn Tucker ke-i

� ′ : variabel slack untuk kondisi Kuhn Tucker kendala ke-i � : variabel buatan untuk kondisi Kuhn Tucker ke-i

: fungsi tujuan linear pada pemrograman kuadratik

� : fungsi kendala pertidaksamaan ke-m

: fungsi penalti

� : fungsi tambahan/ fungsi masalah tak berkendala pada metode penalty

: parameter penalti

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Operations Research (Riset Operasi) merupakan suatu bagian dari ilmu

pengetahuan yang mulai berkembang pada tahun 1945, yaitu pada saat Perang Dunia II (Siswanto, 2007 : 3). Selama Perang Dunia II para ilmuwan serta militer Inggris dan Amerika bahu- membahu mengupayakan optimum-alokasi bahan-bahan logistik yang jumlahnya terbatas untuk perang sehingga dapat memenuhi kebutuhan pasukan sekutu daratan Eropa. Mereka yang terdiri dari ahli berbagai disiplin ilmu (teknik, matematika, sosiologi, psikologi, dan ahli perilaku atau

behavioral scientist) merupakan pionir yang memprakarsai penggunaan Riset

Operasi sebagai alat bantu dalam proses pengambilan keputusan yang berkaitan dengan Perang Dunia II (Suyadi, 2005 : 3).

Model- model Riset Operasi adalah teknik-teknik optimasi, yaitu suatu teknik penyelesaian terhadap sebuah persoalan matematis yang akan menghasilkan sebuah jawaban optimal (Siswanto, 2007 : 12). Terdapat dua jenis kasus optimasi, yaitu optimasi tanpa kendala dan optimasi dengan kendala (Winston, 2003 : 2). Sedangkan model dalam optimasi dibagi menjadi dua, yaitu model linear dan nonlinear. Model nonlinear dinyatakan dengan bentuk variabel keputusan pada fungsi tujuannya merupakan kuadrat dari variabel keputusan atau perkalian dari dua variabel keputusan (Hillier & Lieberman, 2001 : 665). Model nonlinear tidak hanya dapat terjadi pada bidang bisnis dan portofolio saja, akan tetapi juga dapat terjadi pada bidang pertanian, misalnya untuk optimasi produksi tanaman pangan.

Menurut BPS Provinsi Jawa Tengah (2013) peran sektor pertanian dalam pertumbuhan ekonomi masih sangat besar, yaitu menjadi salah satu sektor penopang utama. Tantangan yang sangat berat dalam pertumbuhan sektor pertanian diantaranya meningkatnya permintaan terhadap produksi pertanian khususnya kebutuhan bahan pangan. Hal ini merupakan dampak dari pertumbuhan penduduk yang relatif tinggi setiap tahunnya. Kebutuhan bahan pangan masyarakat Indonesia sebagian besar bertumpu pada komoditas beras, dan sebagian kecil mengkonsumsi palawija seperti jagung dan ubi. Dengan demikian produk utama padi dan palawija menjadi pemasok utama dalam pemenuhan kebutuhan pangan nasional.

Di kota Magelang jenis tanaman pangan yang diproduksi setiap tahunnya selalu berubah- ubah. Berdasarkan data dari buku Magelang Dalam Angka, dari tahun 1994 hingga tahun 1999 ada 5 jenis tanaman pangan yang diproduksi, yaitu padi, jagung, ketela pohon, ketela rambat dan kacang tanah. Sedangkan pada tahun 2000 produksi kacang tanah diganti dengan kedelai. Kemudian pada tahun 2001 jenis tanaman pangan yang diproduksi mulai berkurang menjadi 4 jenis karena ketela rambat tidak lagi diproduksi. Mulai tahun 2002 produksi jagung mengalami pasang surut. Bahkan pada tahun 2004 dan 2006 tanaman jagung tidak diproduksi serta pada tahun 2003, 2005 dan 2007 produksi jagung kurang maksimal. Di tahun 2008 hingga 2011 produksi jagung kembali mengalami kenaikan. Tetapi pada tahun 2012 hingga 2014 jagung tidak diproduksi kembali. Kacang tanah juga sempat tidak diproduksi pada tahun 2007, tahun 2008 kacang tanah diproduksi kembali hingga tahun 2010.

Melihat produksi tanaman pangan di kota Magelang yang mengalami penurunan, maka perlu dianalisis optimasi tanaman pangan di kota Magelang agar dapat dijadikan acuan untuk meningkatkan produksi tanaman pangan di kota Magelang. Hasil optimal yang diperoleh dapat digunakan untuk mengetahui apakah produksi dari masing – masing tanaman telah mencapai nilai optimal atau belum. Jika belum itu artinya pemerintah perlu meningkatkan produksi tanaman tersebut. Berdasarkan data dari buku Kota Magelang Dalam Angka, padi, ketela pohon, dan jagung adalah tanaman yang paling banyak diproduksi dari tahun 1994 hingga tahun 2014. Oleh karena itu dipilihlah ketiga tanaman tersebut.

Teknik optimasi masalah nonlinear berkendala dibagi menjadi dua kategori, yaitu metode langsung (direct method) dan metode tidak langsung (indirect

method). Metode langsung meliputi metode Pencarian Acak, metode Pencarian

Heuristik, metode Pendekatan Kendala, dan metode Arah Layak. Metode Pendekatan Kendala terbagi lagi menjadi dua yakni metode Pemrograman Linear dan metode Pemrograman Kuadratik. Sedangkan metode tidak langsung antara lain Transformasi Variabel dan metode Fungsi Penalti. Metode Fungsi Penalti dibagi lagi menjadi dua yakni metode Fungsi Penalti Interior (metode Barrier) dan metode Fungsi Penalti Eksterior (metode Penalty) (Rao, 2009 : 381).

Pemrograman kuadratik merupakan pendekatan penyelesaian permasalahan optimasi nonlinear dengan kendalanya berupa fungsi linear dan fungsi tujuannya merupakan fungsi non linear. (Hillier & Lieberman, 2001 : 665). Pemrograman Kuadratik disini akan diubah ke bentuk pemrograman linear menurut kondisi

wolfe, dalam pemrograman kuadratik terdapat kondisi complementary slackness

khusus, hal inilah yang membedakan simpleks metode wolfe dengan simpleks biasa.

Beberapa penelitian mengenai pemrograman kuadratik pernah dilakukan oleh Vina (2013) untuk mencari periode tanam padi yang optimal dengan pemodelan kuadratik yang fungsi tujuannya dibentuk dengan metode kuadrat terkecil dan diselesaikan dengan bantuan software Matlab. Pada penelitian Vina, diperoleh hasil yaitu periode tanam padi yang optimal adalah periode III (September-Desember). Selain itu, ada pula Efria (2015) yang mengaplikasikan pemrograman kuadratik pada portofolio saham. Pada penelitian Efria diperoleh model nonlinear pada portofolio saham perbankan beserta persentase proporsi dana yang diinvestasikan.di masing- masing bank.

Metode fungsi penalti eksterior (metode penalty) adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi nonlinear berkendala menjadi masalah tidak berkendala dengan menambahkan fungsi penalti da n parameter penalti pada fungsi tujuannya (Rao, 2009 : 443). Metode ini dapat menyelesaikan masalah dengan kendala berupa pertidaksamaan maupun persamaan, sedangkan metode fungsi penalti interior hanya menyelesaikan masalah dengan kendala pertidaksamaan. Solusi optimal pada beberapa kasus dapat diperoleh dengan memadukan metode penalty dengan metode penyelesaian masalah tanpa kendala.

Penelitian mengenai metode fungsi penalti pernah dilakukan oleh Maria (2008) yang pada penelitiannya menemukan dua kasus dalam penyelesaian masalah optimasi nonlinear berkendala dengan metode fungsi penalti eksterior

yaitu kasus umum yang memerlukan titik awal dan kasus khusus yang tidak memerlukan titik awal. Selain itu, ada pula Tri Wahyu (2006) yang menggunakan metode barrier (fungsi penalti interior) dan metode penalty (fungsi penalti eksterior) untuk optimasi masalah nonlinear dengan kendala. Pada penelitiannya, Tri memperoleh hasil bahwa barisan minimisasi pada metode penalty adalah barisan naik yang konvergen ke solusi optimal masalah berkendala dan barisan minimisasi pada metode barrier adalah barisan turun yang konvergen ke solusi optimal masalah berkendala.

Pemrograman kuadratik dipilih karena setelah diubah ke bentuk linear, dapat diselesaikan dengan metode simpleks. Sedangkan metode fungsi penalti eksterior dipilih karena metode ini dapat menyelesaikan masalah dengan kendala secara lebih umum. Berdasarkan latar belakang tersebut, tugas akhir ini akan melakukan penelitian tentang optimasi tanaman pangan di kota Magelang dengan pendekatan Pemrograman Kuadratik dan Metode Fungsi Penalti Eksterior.

B. RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang diatas, dapat ditentukan rumusan masalah sebagai berikut :

1. Bagaimana membentuk model matematika untuk pengoptimalan rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang?

2. Bagaimana penyelesaian model dengan pemrograman kuadratik?

C. TUJUAN PENELITIAN

Sesuai dengan rumusan masalah diatas, maka tujuan dari penelitian ini adalah : 1. Membentuk model matematika untuk pengoptimalan rata-rata produksi

tanaman pangan di kota Magelang.

2. Menyelesaikan model menggunakan pemrograman kuadratik. 3. Menyelesaikan model menggunakan metode fungsi penalti eksterior. D. MANFAAT PENELITIAN

Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini adalah : 1. Bagi Penulis

a. Untuk mengetahui produksi tanaman bahan pangan di kota Magelang.

b. Sebagai sarana untuk menambah pengetahuan dan wawasan dalam penerapan teori-teori yang sudah diperoleh di perkuliahan.

c. Dapat mengaplikasikan dan mensosialisasikan teori tentang pemrograman kuadratik dan metode fungsi penalti eksterior.

2. Bagi Institusi

a. Memberikan luas panen yang optimal untuk tanaman pangan di kota Magelang agar didapat rata-rata produksi yang optimal.

b. Dapat dijadikan acuan untuk meningkatkan produksi tanaman pangan di Kota Magelang.

3. Bagi Pembaca

a. Menambah pengetahuan tentang pemrograman model nonlinear yang diterapkan pada rata-rata produksi tanaman pangan.

b. Menambah pemahaman tentang optimasi model non linear dengan menggunakan pemrograman kuadratik dan metode fungsi penalti eksterior.

c. Dapat menjadi bahan referensi dalam kajian optimasi pemrograman non linear selanjutnya.

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn tucker, pemrograman kuadratik, dan metode fungsi penalty (metode penalty).

A. Optimasi

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia optimasi merupakan upaya atau cara untuk memperoleh hasil yang terbaik. Menurut Yuni (2015 : 10) optimasi adalah suatu cabang ilmu dalam matematika untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan dengan mempertimbangkan beberapa kendala yang diberikan. Menurut Rao (2009 : 1) optimasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Berdasarkan beberapa definisi tersebut maka dapat disimpulkan bahwa optimasi adalah suatu proses atau cara untuk memperoleh nilai maksimum atau minimum dari sebuah fungsi dengan mempertimbangkan beberapa kendala yang diberikan.

B. Fungsi

Definisi 2.1 Fungsi (Varberg & Purcell, 2010 : 29 )

Sebuah fungsi adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan tiap obyek dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal (domain), dengan sebuah nilai tunggal dari suatu himpunan kedua

yang disebut daerah kawan (kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (range) fungsi.

Untuk menambah pemahaman, berikut ini akan diberikan ilustrasi dari suatu fungsi dan bukan fungsi.

Fungsi Bukan Fungsi

A B A B

Keterangan : A = daerah asal B = daerah kawan C = daerah hasil

Gambar 2. 1 Ilustrasi Fungsi dan Bukan Fungsi

Sebuah fungsi yang berbentuk , dengan konstanta (bilangan real) disebut fungsi konstanta. Fungsi , dengan variabel disebut fungsi identitas. Sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas dengan menggunakan operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian disebut fungsi polinomial. (Varberg & Purcell, 2010 : 39)

Suatu fungsi polinomial dapat ditulis dalam bentuk

dengan anggota bilangan real. Jika , maka adalah derajat fungsi polinomial tersebut. Secara khusus, bentuk adalah fungsi polinomial berderajat satu atau disebut

. .

fungsi linear, dan adalah fungsi polinomial berderajat dua atau fungsi kuadrat. (Varberg & Purcell, 2010 : 39). Berikut ini akan dijelaskan tentang fungsi konveks dan konkaf serta fungsi kontinu.

1. Fungsi Konveks dan Konkaf

Definisi 2.2 (Varberg dan Purcell, 2010 : 156)

Misalkan terdiferensial untuk semua , dikatakan cekung keatas atau konveks jika naik untuk semua dan dikatakan cekung kebawah atau konkaf jika turun untuk semua .

Turunan kedua fungsi adalah turunan pertama dari , sehingga dapat disimpulkan bahwa naik jika positif dan turun jika negatif atau dapat ditulis dalam teorema berikut ini

Teorema 2.1 (Varberg dan Purcell, 2010 : 157)

Misalkan terdiferensial dua kali untuk semua

i. Jika , maka cekung keatas atau konveks untuk semua

,

ii. Jika , maka cekung kebawah atau konkaf untuk semua

.

Gambar 2.1 merupakan ilustrasi dari himpunan konveks dan konkaf

Konveks Konkaf

2. Fungsi Kontinu

Sebelum memahami tentang fungsi kontinu, akan dibahas terlebih dahulu mengenai limit fungsi.

Definisi 2.3 (Varberg dan Purcell, 2010 : 62)

Suatu limit untuk mendekati adalah , dan dapat ditulis

yang berarti untuk setiap yang diberikan terdapat sedemikian sehingga jika maka

.

Dengan kata lain nilai mendekati limit untuk mendekati , jika nilai mutlak dari selisih nilai dan dibuat sekecil mungkin dengan cara mengambil cukup dekat tetapi tidak sama dengan . Perlu diperhatikan bahwa definisi tersebut tidak mengharuskan ada , agar fungsi mempunyai nilai limit.

Definisi 2.4 (Varberg dan Purcell, 2010 : 83)

Misalkan terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung . Fungsi dikatakan kontinu di jika .

Dengan kata lain dikatakan kontinu di jika memenuhi : i. ada

ii. ada iii.

C. Turunan

Definisi 2.5 (Varberg dan Purcell, 2010 : 100)

Turunan fungsi adalah fungsi lain yang nilainya pada sebarang bilangan adalah

Asalkan limit ini ada.

Teorema 2.2 (Varberg dan Purcell, 2010 : 102)

Jika ada maka kontinu di .

Bukti :

Bukti teorema ini menggunakan syarat fungsi kontinu, sebagai berikut i. ada

ii. ada iii.

Dari yang diketahui ada, maka

sehingga ada. Jadi syarat i terpenuhi. Selanjutnya

sehingga

Syarat ii dan iii terpenuhi. Sehingga Teorema 2.2 terbukti bahwa jika ada maka kontinu di .

Jika suatu fungsi memiliki variabel, maka turunan fungsi merupaka n turunan parsial.

Definisi 2.6 (Varberg dan Purcell, 2011 : 245)

Jika suatu fungsi dengan variabel, maka turunan parsial fungsi terhadap di dinyatakan oleh atau

didefinisikan oleh :

Turunan parsial terhadap didefinisikan dengan cara yang sama.

D. Matriks Hessian

Matriks Hessian adalah matriks yang tiap elemennya dibentuk dari turunan parsial kedua dari suatu fungsi. Misalkan suatu fungsi dengan variabel, matriks Hessian dari yaitu :

E. Matriks Definit Positif dan Definit Negatif

Salah satu cara untuk menentukan apakah suatu matriks persegi merupakan definit positif, definit negatif atau tidak definit yaitu seperti yang dijelaskan berikut ini

Definisi 2.7 (Anton, 1995 : 320)

Diberikan A matriks persegi , maka berlaku :

a. Matriks A disebut Definit Positif b. Matriks A disebut Definit Negatif c. Matriks A disebut Semi Definit Positif

d. Matriks A disebut Semi Definit Negatif

Bentuk disebut bentuk kuadratik, dimana merupakan matriks dari variabel dan merupakan transpose dari matriks . Untuk menambah pemahaman, diberikan sebuah contoh berikut

Contoh 2.1

Diketahui matriks

. Akan diselidiki apakah H definit positif, definit negatif atau tidak definit. Jika H dinyatakan dalam bentuk kuadratik, maka

F. Titik Kritis

Tempat terjadinya nilai ekstrim baik itu nilai maksimum atau nilai minimum adalah di titik kritis (Varberg dan Purcell, 2010 : 152). Teorema 2.3 berikut akan menjelaskan keberadaan titik kritis.

Teorema 2.3 (Varberg dan Purcell, 2010 : 152)

Misalkan didefinisikan pada interval yang memuat titik . Jika adalah nilai ekstrim, maka haruslah berupa suatu titik kritis; dengan kata lain, adalah salah satu dari

i. Titik ujung dari ,

ii. Titik stasioner dari ; yaitu titik dimana , iii. Titik singular dari ; yaitu titik dimana tidak ada.

Bukti :

Misal berupa nilai maksimum pada dan bukan titik ujung ataupun titik singular. Akan dibuktikan bahwa adalah titik stasioner. Karena adalah nilai maksimum maka untuk semua dalam , yaitu .

Jadi, jika sehingga , maka

(2.1)

Sedangkan jika , maka

(2.2)

Akan tetapi, ada karena bukan titik singular. Akibatnya, apabila dalam Persamaan (2.1) dan dalam Persamaan (2.2), maka

diperoleh dan . Sehingga dapat disimpulkan bahwa

Definisi 2.8 (Varberg dan Purcell, 2010 : 162)

Misalkan daerah asal , memuat titik . Dapat dikatakan bahwa

i. nilai maksimum lokal jika terdapat interval yang memuat

sedemikian sehingga adalah nilai maksimum pada ,

ii. nilai minimum lokal jika terdapat interval yang memuat

sedemikian sehingga adalah nilai minimum pada ,

iii. nilai ekstrim lokal jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

Titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular) adalah titik tempat kemungkinan terjadinya ekstrim lokal (Varberg dan Purcell, 2010 : 163).

Definisi 2.9 (Varberg dan Purcell, 2010 : 155)

Misalkan terdefinisi pada interval (terbuka, tertutup, atau tidak satupun). Dapat dikatakan bahwa :

i. naik pada jika, untuk setiap pasang bilangan dan dalam ,

,

ii. turun pada jika, untuk setiap pasang bilangan dan dalam ,

,

Teorema 2.4 (Varberg dan Purcell, 2010 : 155)

Misalkan f kontinu pada interval dan terdiferensial pada setiap titik-dalam dari

i. Jika untuk semua titik-dalam , maka f naik pada , ii. Jika untuk semua titik-dalam , maka f turun pada .

Bukti :

Misalkan terdefinisi pada selang untuk semua titik-dalam dari . Jika , maka dapat ditulis

i. berarti

Menurut Definisi 2.9 i, fungsi naik.

ii. berarti

Menurut Definisi 2.9 ii, fungsi turun.

Teorema 2.5 (Varberg dan Purcell, 2010 : 163)

Misalkan kontinu pada interval terbuka yang memuat sebuah titik kritis .

i. Jika untuk semua dalam dan untuk semua dalam , maka adalah nilai maksimum lokal ,

ii. Jika untuk semua dalam dan untuk semua dalam , maka adalah nilai minimum lokal ,

iii. Jika bertanda sama pada kedua pihak , maka bukan nilai ekstrim lokal .

Bukti :

i. Karena untuk semua dalam , maka menurut Teorema 2.4 naik pada . Demikian pula karena untuk semua dalam , maka turun pada . Jadi untuk semua dalam , kecuali di . Dapat disimpulkan bahwa adalah maksimum lokal.

Demikian pula untuk pembuktian ii dan iii. Teorema 2.6 (Varberg dan Purcell, 2010 : 164)

Misalkan dan ada pada setiap titik interval terbuka yang memuat , dan misalkan .

i. Jika , maka adalah nilai minimum lokal , ii. Jika , maka adalah nilai maksimum lokal .

Bukti :

i. Jika dan , maka ada selang buka yang memuat sedemikian sehingga

Untuk semua dalam . Jika , maka . Demikian pula jika , maka . Jadi, berubah dari negatif menjadi positif pada , dan berdasarkan Teorema 2.5, merupakan minimum lokal . Pembuktian ii serupa dengan pembuktian i tersebut.

G. Pemrograman Linear

Pemrograman Linear adalah metode matematis ya ng berkarakteristik linear untuk menemukan suatu penyelesaian optimal dengan cara memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan terhadap satu susunan kendala. (Siswanto, 2007 : 26). Model pemrograman linear mempunyai tiga unsur utama yaitu (Siswanto, 2007 : 25-26) :

1. Variabel Keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang akan mempengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai. Pada proses pembentukan suatu model, menentukan variabel keputusan harus dilakukan terlebih dahulu sebelum menentukan fungsi tujuan dan kendala-kendalanya.

2. Fungsi Tujuan

Pada pemrograman linear, tujuan yang hendak dicapai harus berbentuk fungsi linear. Selanjutnya, fungsi tujuan tersebut dimaksimalkan atau diminimumkan terhadap fungsi- fungsi kendala yang ada.

3. Fungsi Kendala

Kendala merupakan suatu pembatas terhadap variabel- variabel keputusan yang dibuat. Fungsi kendala suatu pemrograman linear juga harus berbentuk linear.

Secara umum, masalah pemrograman linear dapat dirumuskan sebagai berikut (B. Susanta, 1994 : 6)

Mencari nilai yang memaksimumkan (atau meminimumkan)

dengan kendala

(2.4)

Dalam hal ini,

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Matriks merupakan matriks satu kolom dari variabel yang akan dicari, merupakan matriks satu baris dari koefisien ongkos ( ), matriks adalah matriks koefisien dari persamaan kendala dan adalah matriks kolom dari ruas kanan persamaan kendala.

Jika Persamaan (2.3) dan (2.4) diuraikan menjadi penjumlahan aljabar maka akan menjadi

Mencari nilai yang memaksimumkan (atau meminimumkan)

(2.9)

dengan kendala

(2.10a)

(2.10b)

(2.10c)

H. Metode Simpleks

Menghadapi persoalan pemrograman linear yang memiliki variabel keputusan lebih dari dua digunakan metode yang lebih efisien yaitu metode simpleks. Metode simpleks merupakan pengembangan metode aljabar yang hanya menguji sebagian dari jumlah solusi yang layak dalam bentuk tabel. Tanpa mengurangi keumuman, metode simpleks yang akan dibahas dalam hal ini untuk fungsi tujuan memaksimalkan.

Adapun pokok-pokok metode simpleks yaitu (Zulian, 1991 : 41) :

a. Mengubah persoalan pemrograman linear ke dalam bentuk kanonik, yaitu kondisi dimana nilai ruas sama dengan ruas pada Persamaan (2.4) dengan cara memasukkan variabel slack/surplus atau variabel buatan. b. Mengubah bentuk fungsi kendala ke dalam bentuk kanonik untuk

mendapatkan solusi basis awal yang layak.

c. Memperbaiki solusi basis awal untuk mendapatkan solusi basis layak lainnya yang akan memperbaiki harga fungsi tujuan.

d. Mencari solusi basis layak lainnya, sehingga tidak ditemukan lagi solusi basis layak lainnya yang dapat memperbesar nilai fungsi tujuan.

Variabel slack dan variabel surplus berperan untuk membuat ruas ( ) pada Persamaan (2.4) yang semula longgar menjadi ketat, sehingga nilainya sama dengan ruas ( ) pada Persamaan (2.4) (B. Susanta, 1994 : 69). Variabel basis adalah jika pada suatu persamaan variabel ini mempunyai koefisien 1 dan pada persamaan lain koefisiennya 0 (Zulian, 1991 : 46).

Contoh 2.2 :

Tentukan bentuk kanonik dari masalah pemrograman linear berikut Memaksimumkan

(2.11)

Dengan kendala

(2.12a)

(2.12b)

Setelah dirubah ke bentuk kanonik Persamaan (2.11) dan (2.12) menjadi : Memaksimumkan

(2.13)

Dengan kendala

(2.14a)

(2.14b)

Variabel merupakan variabel surplus dengan koefisien -1 sehingga tidak bisa menjadi basis. Oleh karena itu perlu ditambahkan suatu variabel yang bernilai +1 untuk menjadi basis, variabel tersebut dinyatakan sebagai variabel buatan ( ). (B. Susanta, 1994 : 88)

Akibatnya muncul syarat perlu agar soal asli mempunyai penyelesaian optimum, yaitu dalam tabel optimum variabel buatan harus bernilai nol. Hal ini berarti bahwa masuknya variabel buatan kedalam susunan hanya sebagai katalisator supaya algoritma simpleks dapat berjalan. Sebagai upaya agar variabel buatan bernilai nol maka disusunlah fungsi tujuan baru dengan bentuk , dengan fungsi tujuan awal, adalah variabel buatan,

dan merupakan bilangan positif yang cukup besar. Dengan demikian diharapkan variabel buatan segera keluar dari basis karena koefisien ongkosnya negatif besar. (B. Susanta, 1994 : 89)

Setelah fungsi kendala diubah ke bentuk kanonik dan didapatkan solusi basis awal yang layak, maka langkah selanjutnya adalah membuat tabel simpleks yang ditunjukkan pada Tabel 2.1.

Tabel 2. 1 Bentuk tabel simpleks

Keterangan

: variabel-variabel keputusan

: variabel yang menjadi basis dalam tabel yang ditinjau : koefisien ongkos

: koefisien ongkos variabel basis

: koefisien teknis (koefisien dalam kendala utama) : suku tetap (nilainya tidak negatif)

: (jumlah hasil kali dengan kolom ) : (jumlah hasil kali dengan kolom )

Apabila tabel yang bersangkutan belum optimum dan terpilih sebagai basis baru maka disusun kolom yang diperoleh dengan

, hanya untuk

(B. Susanta, 1994 : 75)

Kasus dimana semua fungsi kendalanya berupa pertidaksamaan satu jenis disebut sebagai kasus maksimum atau minimum baku (B. Susanta, 1994 : 77). Pada soal memaksimumkan, yang terpilih untuk masuk menjadi basis adalah yang memiliki yang paling kecil. Variabel yang terpilih untuk keluar dari basis adalah variabel yang memiliki nilai terkecil (B. Susanta, 1994 : 78). Tabel pada masalah pemrograman linear dengan bentuk fungsi tujuan maksimum, dikatakan sudah optimum jika nilai pada baris

(Zulian, 1991 : 48). I. Teorema Dualitas

Konsep dualitas menjelaskan secara matematis bahwa sebuah kasus pemrograman linear berhubungan dengan sebuah kasus pemrograman linear yang lain. Bila kasus pemrograman linear pertama disebut primal maka kasus pemrograman linear kedua disebut dual, sehingga penye lesaian kasus primal secara otomatis akan menyelesaikan kasus dual, demikian pula sebaliknya (Siswanto, 2007 : 149). Tanpa mengurangi keumuman, dualitas yang akan dibahas dalam hal ini untuk bentuk primal memaksimalkan.

Primal

dengan kendala : , dan (2.16) Dual

Meminimumkan : (2.17)

dengan kendala : , dan (2.18)

Dalam hal ini, , (2.19)

(2.20)

(2.21)

dan (2.22)

Matriks dan merupakan transpose dari matriks dan matriks , sedangkan adalah matriks satu kolom untuk setiap koefisien ongkos ( ), dan merupakan matriks satu kolom dari variabel-variabel dual yang dicari. Jika Persamaan (2.17) dan (2.18) langsung ditulis dalam bentuk matriks secara keseluruhan, maka akan didapat bentuk :

Meminimumkan :

dengan kendala :

Bentuk perkalian matriks tersebut jika diuraikan menjadi penjumlahan aljabar akan menjadi :

Meminimumkan

(2.23)

dengan kendala

(2.24a)

(2.24b)

(2.24c)

Lemma 2.1 (Winston, 2003 : 306)

merupakan solusi layak masalah primal, dan merupakan solusi layak masalah dual, maka nilai primal dual. Bukti :

Masalah primal yang dinyatakan dalam bentuk :

Memaksimumkan dengan kendala :

Sehingga bentuk masalah dualnya menjadi :

Meminimumkan dengan kendala :

Diketahui bahwa , jika dikalikan dengan kendala masalah primal maka akan diperoleh

Jika ada kendala maka

(2.25)

Diketahui bahwa , jika dikalikan dengan kendala masalah dual maka akan diperoleh

Jika ada kendala maka

(2.26)

Dari Persamaan (2.25) dan (2.26) diperoleh Jadi Lemma 2.1 terbukti.

Teorema 2.7 Teore ma Dualitas (Winston, 2003 : 309)

Jika terdapat solusi optimal bagi suatu pemrograman primal, maka juga terdapat solusi optimal bagi pemrograman dual, dan kedua fungsi tujuannya memiliki nilai optimal yang sama.

Bukti :

Jika masalah primal ditulis dalam bentuk : Meminimalkan / Memaksimalkan Dan bentuk dualnya adalah :

Memaksimalkan / Meminimumkan

i. Berdasarkan Lemma 2.1 didapatkan . Suatu titik layak pada masalah primal harus menghasilkan sebuah nilai primal yang tidak melebihi . Mengingat merupakan solusi layak primal dan mempunyai suatu nilai fungsi tujuan primal yang memenuhi

, maka haruslah solusi optimal primal.

ii. Berdasarkan Lemma 2.1 didapatkan , karena solusi layak primal. Suatu titik layak masalah dual, yaitu harus menghasilkan sebuah nilai dual yang melebihi . Mengingat merupakan solusi layak dual dan mempunyai suatu nilai fungsi tujuan dual yang memenuhi , maka haruslah solusi optimal dual.Berdasarkan penjelasan pada i dan ii, maka Teorema 2.9 terbukti. Berikut ini adalah contoh permasalahan primal dan dual

Contoh 2.3

Penyedia makanan suatu asrama tentara menyediakan dua jenis makanan, yaitu dan . Setiap jenis makanan harus mengandung vitamin A, B dan C dengan kadar yang berbeda dan dinyatakan s ebagai . Setiap vitamin memiliki batas maksimum kandungannya masing- masing di setiap jenis

makanan yang dinyatakan sebagai , sedangkan harga beli kedua jenis makanan dinyatakan sebagai .

Dari ilustrasi Contoh 2.3 dapat dipresentasikan dalam Tabel 2.2. Tabel 2.2 Contoh Tabel Dualitas

Vitamin Makanan 1 ( )

Makanan 2 ( )

Batas Maksimal

A

B

C

Batas Minimal

Bila Tabel 2.2 dibaca ke kanan diperoleh soal primal dan bila dibaca ke bawah diperoleh soal dual. Sehingga diperoleh :

Soal dual :

Memaksimumkan dengan kendala :

Soal primal :

Meminimumkan dengan kendala :

Menurut Siswanto (2007) hubungan penyelesaian optimal antara primal dan dual sebuah kasus pemrograman linear adalah sebagai berikut

1. Nilai maksimum fungsi tujuan primal sama dengan nilai minimum fungsi tujuan dual.

2. Nilai optimal variabel keputusan primal sama dengan nilai (ruas kanan kendala) dual.

3. Nilai (ruas kanan kendala) primal sama dengan nilai optimal variabel keputusan dual.

Keoptimalan masalah dual dan masalah primal mengakibatkan suatu kondisi yang disebut dengan kondisi complementary slackness (B. Susanta, 1994 : 186) :

1. Jika dalam penyelesaian optimal masalah primal, kendala ke- berupa pertidaksamaan maka dalam penyelesaian optimal masalah dual variabel ke- bernilai nol.

2. Jika dalam penyelesaian optimal masalah primal, variabel ke- bernilai positif (kendala tak negatif untuk berupa pertidaksamaan ) maka dalam penyelesaian optimal masalah dual kendala ke- akan berupa persamaan.

Pada kondisi complementary slackness tersebut dapat ditulis secara matematis yaitu :

1.

Dimana

kendala variabel variabel kendala

ke-J. Pemrograman Nonlinear

Tidak semua permasalahan dalam kehidupan sehari- hari bisa diselesaikan dengan pemrograman linear. Oleh karena itu munculah pemrograman non linear. Bentuk umum masalah pemrograman nonlinear adalah menemukan nilai dari variabel keputusan agar

Memaksimumkan (atau meminimumkan) Dengan kendala

(2.27)

Dengan fungsi non linear dan fungsi linear atau non linear. (Winston, 2003 : 619)

Menurut Hillier (2001 : 664) terdapat 3 bentuk permasalahan pemrograman nonlinear, yaitu :

1. Pemrograman Nonlinear Tanpa Kendala

Pemrograman nonlinear tanpa kendala merupakan optimasi yang tidak memiliki kendala dengan fungsi tujuan berbentuk nonlinear. Bentuk model

pemrograman nonlinear tanpa kendala untuk menentukan nilai ( ) dengan

Fungsi tujuan : maksimum / minimum

Untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman nonlinear tanpa kendala terdapat dua syarat keoptimalan, yaitu :

a. Syarat Perlu Keoptimalan

Syarat perlu keoptimalan digunakan untuk mencari titik-titik optimal pada pendekatan analitis. Syarat perlu keoptimalan mengatakan bahwa :

Jika solusi adalah titik optimal dari maka :

di untuk (2.28)

b. Syarat Cukup Keoptimalan

Syarat cukup keoptimalan digunakan untuk menentukan apakah titik optimal yang didapatkan dari syarat perlu keoptimalan merupakan titik minimum atau titik maksimum.

Syarat cukup keoptimalan yaitu : Jika

dan definit positif maka titik minimum Jika

dan definit negatif maka titik maksimum 2. Pemrograman Nonlinear Dengan Kendala Linear

Pemrograman nonlinear dengan kendala linear merupakan optimasi dengan kendala berbentuk fungsi linear dan fungsi tujuan berupa fungsi

nonlinear. Untuk menentukan nilai dengan bentuk umum adalah :

Maksimum/minimum : dengan kendala :

Untuk

3. Pemrograman Nonlinear Dengan Kendala Nonlinear

Menurut Taha (2007 : 699) pemrograman nonlinear dengan kendala non linear merupakan masalah optimasi dengan fungsi tujuan nonlinear dan fungsi kendala nonlinear. Pemrograman nonlinear berkendala nonlinear dibedakan menjadi dua yaitu :

a. Untuk bentuk umum pemrograman nonlinear dengan kendala kesamaan (equality) adalah

Fungsi tujuan : Maksimum/minimum : Fungsi kendala :

Dimana menunjukkan jumlah kendala dan menunjukkan jumlah variabel dengan .

b. Bentuk umum pemrograman nonlinear dengan kendala pertidaksamaan adalah

Maksimum/minimum :

Dengan kendala : Untuk

K. Persyaratan Karush Kuhn Tucker

Pada tahun 1951 Kuhn Tucker menemukan suatu teknik optimasi yang dapat digunakan untuk mencari titik optimum dari permasalahan berkendala baik permasalahan dalam bentuk linear maupun nonlinear. Metode ini membahas suatu kondisi untuk menjadi solusi optimal untuk pemrograman non linear berikut

Memaksimumkan (atau meminimumkan) Dengan kendala

(2.29)

Semua kendala yang akan diselesaikan dengan metode Karush Kuhn Tucker harus menggunakan tanda ( ) . Kendala yang berbentuk harus ditulis sebagai . Kendala dengan bentuk harus diganti dengan h dan (Winston, 2003 : 673).

Terdapat beberapa syarat Karush Kuhn Tucker untuk masalah optimasi berkendala. Syarat tersebut dirumuskan oleh Karush dan Kuhn Tucker. Teorema 2.8 dan 2.9 adalah syarat KKT untuk masalah maksimasi dan minimasi.

Teorema 2.8 (Winston, 2003 :676)

Andaikan Persamaan (2.29) adalah masalah maksimisasi. Jika

merupakan solusi optimal untuk Persamaan (2.29) , maka

harus memenuhi kendala pada Persamaan (2.29) dan harus ada pengali serta variabel slack yang memenuhi : (2.30) (2.31) (2.32) (2.33) (2.34)

Teorema 2.9 (Winston, 2003 : 676)

Andaikan Persamaan (2.29) adalah masalah minimisasi. Jika

merupakan solusi optimal untuk Persamaan (2.29) , maka

harus memenuhi kendala pada Persamaan (2.29) dan harus ada pengali serta variabel surplus yang memenuhi : (2.35) (2.36) (2.37) (2.38) (2.39)

Pada Persamaan (2.31) dan Persamaan (2.36) jika dan menurut bentuk umum fungsi kendala, yaitu maka berakibat

Menurut Hillier (2001 : 679) untuk masalah berkendala, kondisi Karush

Kuhn Tucker merupakan syarat perlu keoptimalan, dan akan menjad i syarat

cukup jika fungsi tujuannya merupakan fungsi konkaf dan fungsi kendalanya berupa fungsi konveks.

Corollary 2.1 (Hillier, 2001 : 680)

Diasumsikan bahwa f(x) adalah fungsi konkaf dan adalah fungsi konveks, dimana semua fungsi memenuhi bentuk Persamaan (2.29), adalah solusi optimal jika dan hanya jika semua kondisi Karush Kuhn Tucker terpenuhi.

L. Pemrograman Kuadratik

Pemrograman kuadratik merupakan pendekatan penyelesaian permasalahan optimasi nonlinear dengan kendalanya berupa fungsi linear dan fungsi tujuannya berupa fungsi nonlinear. Bentuk umum dari masalah pemrograman kuadratik menurut Peressini, dkk (1988) adalah

Meminimalkan (2.40)

dengan kendala

(2.41a)

(2.41b)

Dalam hal ini, konsep matriks sama dengan Persamaan (2.5) – (2.8). Adapun merupakan suatu konstanta dan merupakan matriks yang

tersusun dari nilai , dimana diperoleh dari turunan parsial kedua terhadap dan dari fungsi tujuan. Matriks merupakan matriks simetris sehingga nilai

.

Persamaan (2.40) bila ditulis dalam bentuk penjumlahan aljabar maka akan menjadi

(2.40)

Pada dasarnya, masalah pemrograman kuadratik dapat diselesaikan dengan persyaratan Karush Kuhn Tucker seperti pada Teorema 2.8 dan 2.9. Persyaratan Karush Kuhn Tucker digunakan untuk mengubah masalah nonlinear menjadi masalah linear melalui syarat Persamaan (2.30) dan (2.35) . Selanjutnya, masalah linear tersebut dapat diselesaikan dengan berbagai cara, salah satunya menggunakan metode simpleks. Pada pemrograman kuadratik terdapat kondisi

complementary slackness khusus, hal inilah yang membedakan dari metode

simpleks biasa yang kemudian disebut simpleks metode wolfe.

Sifat 2.1 Complementary Slackness pada Pemrograman kuadratik (Winston, 2003 : 687)

1) dan pada kondisi Kuhn Tucker dan tidak dapat kedua-duanya bernilai positif.

2) Variabel surplus (excess) ataupun slack untuk kendala ke-i dan tidak dapat kedua-duanya bernilai positif.

Bukti :

1) Diketahui syarat Persamaan (2.30) dan (2.32) pada Teorema 2.8 , yaitu : Syarat Persamaan (2.30)

, sehingga

Kemudian disubstitusikan ke Persamaan (2.32)

Diperoleh .

Jika maka , yaitu .

Jika maka , yaitu atau . Berdasarkan syarat Persamaan (2.33) maka .

Hal ini juga berlaku pada Teorema 2.9 , sehingga terbukti bahwa dan pada kondisi Kuhn Tucker dan tidak dapat kedua-duanya bernilai positif.

2) Diketahui syarat Persamaan (2.31) dan (2.36) yaitu Pada fungsi kendala maka bentuk kanonik kendala tersebut yaitu

, sehingga syarat Persamaan (2.31) dan (2.36) menjadi :

Jika maka , yaitu .

Jika maka , yaitu atau . Berdasarkan syarat Persamaan (2.34) dan (2.39) maka .

Pada fungsi kendala dapat diubah menjadi . Dengan cara yang sama maka didapat pula , sehingga terbukti bahwa variabel surplus ataupun slack untuk kendala ke- i dan tidak dapat kedua-duanya bernilai positif.

M. Metode Fungsi Penalti

Metode fungsi penalti adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi nonlinear berkendala menjadi masalah tidak berkendala dengan menambahkan fungsi penalti dan parameter penalti pada fungsi tujuannya. Fungsi Penalti terjadi karena adanya pelanggaran terhadap fungsi tujuan, yaitu menghilangkan kendala pada permasalahan (Bazaraa, 2006 : 470). Metode Fungsi Penalti dibagi menjadi dua, yaitu Metode Fungsi Penalti Interior (Metode Barrier) dan Metode Fungsi Penalti Eksterior (Metode Penalty).

Fungsi Penalti Eksterior merupakan bentuk fungsi tambahan yakni, fungsi tujuan ditambahkan fungsi penalti. Jika merupakan fungsi penalti, yaitu

Fungsi merupakan fungsi tujuan, maka diperoleh yang merupakan fungsi tambahan, yaitu

Jadi bentuk umum masalah Fungsi Penalti Eksterior adalah : Meminimalkan

(2.42)

(Bazaraa, 2006 : 471)

Berikut ini teorema-teorema yang menjamin hasil dari penyelesaian dengan metode fungsi penalti eksterior adalah solusi dari masalah nonlinear.

Lemma 2.2 (Chong, 2001 : 448)

Jika

Maka relasi-relasi berikut akan benar untuk setiap : i.

ii. iii.

iv.

Bukti :

i. Diketahui dan solusi dicari dari luar daerah layak (eksterior) sehingga , maka diperoleh

Kedua ruas ditambah dengan , maka

Selanjutnya, karena meminimalkan , maka

Jadi terbukti bahwa

ii. Karena dan masing- masing meminimalkan dan , maka

(2.44) (2.45) Jika Persamaan (2.44) dan (2.45) dijumlahkan, maka diperoleh

(2.46) Tetapi karena , maka Persamaan (2.46) akan berlaku jika

Jadi terbukti bahwa iii. Dari Persamaan (2.43) diperoleh

(2.47) Karena dan maka Persamaan (2.47) akan berlaku jika

iv. Karena meminimalkan , maka diperoleh

Karena nilai minimum untuk masalah optimasi berkendala, maka , sehingga diperoleh

Karena dan maka

Teorema 2.10 (Chong, 2001 : 449)

Jika fungsi tujuan kontinu, dan ketika , maka limit dari barisan konvergen adalah solusi masalah optimasi berkendala.

Bukti :

Diketahui merupakan barisan naik yang dibatasi oleh solusi optimal masalah berkendala yaitu . Dimisalkan

(2.48)

Karena fungsi kontinu dan berdasarkan relasi ke (iv) Lemma 2.2, maka diperoleh

(2.49)

Jika Persamaan (2.48) dikurangi Persamaan (2.49) maka diperoleh

Berdasarkan relasi (ii) Lemma 2.2, merupakan barisan turun dengan batas bawahnya yaitu nol. Sehingga

Karena kontinu maka dapat dipilih titik layak , sehingga diperoleh

,

sehingga merupakan titik layak. Berdasarkan relasi (iv) Lemma 2.2, sehingga

Oleh karena itu harus menjadi solusi masalah berkendala. Jadi Teorema 2.10 terbukti.

BAB III PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dijelaskan tentang konsep dasar metode kuadrat terkecil yang digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear dan langkah- langkah penyelesaiannya menggunakan pemrograman kuadratik metode wolfe dan metode fungsi penalti eksterior (metode penalty). Selanjutnya akan dipaparkan penerapan model nonlinear pada rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang beserta penyelesaiannya dengan kedua metode tersebut.

A. Pembentukan Fungsi Tujuan denga n Metode Kuadrat Terkecil

Masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah masalah pemrograman nonlinear, sehingga fungsi tujuan yang akan dibentuk berupa fungsi nonlinear yang dalam hal ini berupa fungsi kuadrat, yaitu fungsi dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua. Fungsi kuadrat memiliki satu nilai titik ekstrim yaitu maksimum atau minimum, sedangkan fungsi kubik memiliki sebuah titik belok, yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya dan mungkin pula memiliki satu atau dua titik ekstrim. Karena fungsi kubik belum tentu memiliki titik ekstrim, maka dipilihlah fungsi kuadrat yang sudah pasti memiliki satu titik ekstrim.

Metode kuadrat terkecil merupakan metode penaksiran parameter yang meminimalkan jumlah kuadrat sisa (galat). Penaksiran pada metode ini memiliki sifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) (Asti, 2015 : 6). Oleh karena itu dipilih metode kuadrat terkecil untuk menentukan parameter pada fungsi kuadrat.

Model yang diselesaikan dengan metode k uadrat terkecil adalah sebagai berikut

(3.1a)

Dimana adalah parameter dan adalah sisa (galat). Menurut Setijo Bismo (2008), fungsi kuadrat atau fungsi parabola mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut :

(3.1b)

Dari Persamaan (3.1a) dan (3.1b) diperoleh model fungsi kuadrat yang akan diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil, yaitu

(3.1c)

Metode kuadrat terkecil disini digunakan untuk mencari nilai- nilai tetapan , dan berdasarkan set data yang diberikan, (dimisalkan banyaknya data = ) , yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisa ( dari Persamaan (3.1) berikut

Selanjutnya diturunkan terhadap , dan dengan syarat optimumnya adalah

Jika diturunkan terhadap , maka diperoleh

(3.2a)

Jika diturunkan terhadap , maka diperoleh (3.2b)

Jika diturunkan terhadap , maka diperoleh

(3.2c)

Persamaan (3.2) disebut persamaan normal. Apabila ditulis kedalam bentuk matriks Persamaan (3.2) akan menjadi

Selanjutnya nilai , dan dapat ditaksir dengan menggunakan rumus

B. Penyelesaian Masalah Nonlinear

1. Pemrograman Kuadratik dengan Metode Wolfe

Pemrograman Kuadratik menyelesaikan masalah pemrograman nonlinear dengan mentransformasikannya menjadi masalah pemrograman linear menggunakan syarat Kuhn Tucker. Persamaan baru yang didapat dari syarat

Kuhn Tucker dicari solusi optimalnya dengan simpleks metode wolfe. Adapun

langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut (Yuni, 2015)

a. Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari syarat Kuhn Tucker yang diperoleh.

b. Mengidentifikasi complementary slackness sesuai Sifat 2.1.

c. Menambahkan variabel buatan untuk setiap kondisi Kuhn Tucker yang tidak memiliki variabel basis.

d. Membuat fungsi tujuan baru yang linear yaitu fungsi tujuan untuk meminimalkan jumlah nilai variabel buatan .

e. Melakukan proses iterasi simpleks dengan menggunakan metode

wolfe.

Untuk menjamin bahwa solusi akhir (variabel buatan bernilai nol) memenuhi kondisi complementary slackness, metode wolfe memiliki modifikasi untuk pilihan variabel simpleks yang masuk menjadi basis, yaitu

1) dari kondisi Kuhn Tucker dan variabel keputusan tidak bisa menjadi variabel basis secara bersamaan.

2) Variabel surplus atau variabel slack dari kendala ke- i dan dari kondisi Kuhn Tucker tidak boleh kedua-duanya menjadi variabel basis.

Syarat basis diatas bersesuaian dengan complementary slackness dari pemrograman kuadratik. Jadi, apabila simpleks dikerjakan dengan cara biasa tanpa menggunakan syarat basis diatas maka pada hasil

tabel optimal akan ada complementary slackness yang tidak terpenuhi.

f. Mensubstitusikan hasil dari tabel optimum ke dalam fungsi tujuan awal (nonlinear) untuk didapatkan solusi optimum.

Jika dalam tabel optimum terdapat variabel buatan maka dapat disubstitusikan ke fungsi tujuan linear. Begitu pula untuk variabel

slack, surplus, buatan ataupun maka dapat disubstitusikan ke bentuk kanonik yang telah dibentuk di awal.

Untuk menambah pemahaman, maka diberikan ilustrasi penyelesaian pemrograman kuadratik dengan metode wolfe melalui contoh berikut : Contoh 3.1 :

Memaksimumkan (3.3) dengan kendala

(3.4a)

(3,4b)

(3.4c)

Langkah - langkah penyelesaian Persamaan (3.3) dan (3.4) dengan pemrograman kuadratik metode wolfe adalah sebagai berikut :

a. Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari fungsi tujuan dan fungsi kendala yang telah dimiliki.

Berdasarkan Persamaan (3.3) dan (3.4) maka ditentukan bentuk kanoniknya yaitu :

(3.5b)

(3.5c)

(3.5d)

b. Mengidentifikasi complementary slackness yang ada.

Diperhatikan bahwa Persamaan (3.5) merupakan kondisi

complementary slackness, sehingga mengakibatkan :

c. Menambahkan variabel buatan untuk setiap kondisi Kuhn Tucker yang tidak memiliki variabel basis.

Berdasarkan Persamaan (3.5), hanya Persamaan (3.5c) dan (3.5d) yang memiliki variabel basis. Pada Persamaan (3.5a) dan (3.5b) perlu ditambah variabel buatan sehingga bentuk kanoniknya menjadi :

(3.6a)

(3.6b)

(3.6c)

(3.6d)

d. Membuat fungsi tujuan baru yang linear yaitu fungsi tujuan untuk meminimalkan jumlah nilai variabel buatan .

Bentuk fungsi tujuan baru yang linear untuk Contoh 3.1 adalah Meminimumkan

dengan kendala

(3.6a)

(3.6b)

(3.6c)

(3.6d)

Semua variabel non negatif.

e. Melakukan proses iterasi simpleks dengan menggunakan metode

wolfe.

Pada proses iterasi, semua koefisien ongkos variabel non basis diganti dengan 0. (Winston, 2003 : 687)

Tabel 3. 1 Tabel simpleks dengan metode wolfe

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

/

1 4 0 1 0 -1 0 1 0 0 0 1

1 0 2 0 1 0 -1 0 1 0 0 4

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 8

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 10

4 2 1 1 -1 -1 1 1 0 0 5

- 4 2 1 1 -1 -1 0 0 0 0

Semua koefisien dari setiap kendala kondisi Kuhn Tucker dimasukkan ke dalam tabel. Nilai pada baris didapat dari jumlah hasil perkalian antara koefisien tiap kolom dengan nilai yang berada di baris yang sama. Untuk menentukan nilai- nilai maka dipilih dari baris . Variabel dengan nilai terbesar (kasus minimisasi) menjadi pembagi dari yang selanjutnya diisikan kekolom .

Nilai pada adalah yang paling besar, maka semua nilai pada kolom dibagi dengan nilai pada kolom variabel sehingga didapatkan nilai seperti dijelaskan pada Tabel 3.2.

Tabel 3. 2 Iterasi pertama metode wolfe

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

/

1 4 0 1 0 -1 0 1 0 0 0 1 0,25

1 0 2 0 1 0 -1 0 1 0 0 4 -

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 8 8

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 10 -

4 2 1 1 -1 -1 1 1 0 0 5

- 4 2 1 1 -1 -1 0 0 0 0

Karena nilai terkecil adalah maka keluar dan masuk menjadi variabel basis dengan koefisien ongkos 0. Selanjutnya proses iterasi dilanjutkan hingga diperoleh tabel optimum seperti Tabel 3.3.

Tabel 3. 3 Tabel optimum metode wolfe

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

/

0 1 0 0,25 0 -0,25 0 0,25 0 0 0 0,25

0 0 1 0 1 0 -1 0 1 0 0 2

0 0 0 -0,25 0 0,25 0 -0,25 0 1 0 7,75

0 0 0 0 -1 0 1 0 -1 0 1 8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

- 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0

Karena nilai maka iterasi berhenti, dan tabel dinyatakan optimum. Dari tabel optimum tersebut diperoleh nilai variabel dan . Selain itu juga didapatkan nilai variabel dan serta nilai minimum . Kemudian untuk

mengetahui nilai maksimum yang dicari maka nilai variabel- variabel tersebut disubstitusikan kedalam fungsi tujuan awal yaitu

. Sehingga penyelesaian optimal dari Contoh 3.1 adalah 10,125.

Secara umum, penyelesaian pemrograman kuadratik metode Wolfe dapat digambarkan dalam Gambar 3.1

2. Metode Fungsi Penalti Eksterior (Metode Penalty)

Metode fungsi penalti eksterior pada prinsipnya adalah mentransformasikan masalah nonlinear berkendala menjadi masalah tidak berkendala sedemikian sehingga penyelesaiannya dicari secara numerik. Masalah berkendala diubah ke masalah tanpa kendala dengan cara menambahkan fungsi penalti dan parameter penalti pada fungsi tujuan. Proses pencarian solusi pada metode penalty dimulai dari luar daerah layak, oleh karena itu disebut dengan metode fungsi penalti eksterior.

Kondisi

Kuhn Tucker

Fungsi Linear

Simpleks Metode

Wolfe

Tabel Optimum Fungsi

Tujuan Non Linear

Gambar 3. 1 Bagan Langkah Penyelesian Pemrograman Kuadratik Metode

Berikut adalah langkah penyelesaian metode fungsi penalti eksterior

a. Mengecek kekontinuan fungsi tujuan dan fungsi kendala

b. Membentuk fungsi tujuan untuk masalah optimasi tidak berkendala , dengan

1) adalah fungsi tujuan masalah berkendala 2) adalah parameter penalti

3) Fungsi penalti 4) adalah fungsi kendala pertidaksamaan

5) adalah fungsi kendala persamaan 6) adalah bilangan bulat positif

c. Menentukan penyelesaian dari masalah minimalkan , yakni . Menurut syarat perlu keoptimalan masalah nonlinear tanpa kendala, titik optimal akan dicapai ketika turunannya sama dengan nol. d. Menyelidiki apakah nilai optimal yang dicapai merupakan titik

minimum atau maksimum berdasarkan syarat cukup keoptimalan masalah nonlinear tanpa kendala.

Secara umum, penyelesaian metode fungsi penalti eksterior dapat digambarkan dalam Gambar 3.2

Solusi Optimal Fungsi Tujuan

Nonlinear Tak Berkendala Fungsi Tujuan

Non Linear Berkendala

Metode

Penalty

C. Penerapan Model Nonlinear pada Rata-Rata Produksi Tanaman Pangan di Kota Magelang

Pada subab ini akan dijelaskan langkah pembentukan model non linear untuk rata-rata produksi tanaman pangan menggunakan metode kuadrat terkecil yang perhitungannya diselesaikan dengan bantuan software matlab. Kemudian model yang diperoleh akan diselesaikan dengan pemrograman kuadratik metode wolfe dan metode fungsi penalti eksterior. Gambar 3.3 adalah alur penelitian dalam tugas akhir ini

Gambar 3. 3 Alur Pembentukan Model dan Penyelesaian Model Non Linear dibandingkan

Solusi Optimal dengan Metode Penalty Solusi Optimal dengan

Pemrograman Kuadratik

Pemb entukan Mod el dengan Metode Kuadrat Terkecil Data Produksi Tanaman Pangan

diperoleh nilai optimal luas panen tanaman pangan

1. Pembentukan Model

Salah satu sektor penopang utama pertumbuhan ekonomi yang masih sangat besar adalah sektor pertanian. Setiap tahun, permintaan terhadap produksi pertanian selalu meningkat, khususnya kebutuhan bahan pangan. Kebutuhan bahan pangan masyarakat bertumpu pada padi dan palawija. Oleh karena itu produksi padi dan palawija menjadi pemasok utama dalam pemenuhan kebutuhan pangan.

Di kota Magelang, jenis tanaman pangan yang diproduksi setiap tahunnya selalu berubah ubah. Jenis-jenis tanaman yang diproduksi yaitu padi, jagung, ketela pohon, ketela rambat, kacang tanah, dan kedelai. Namun menurut data dari buku Magelang Dalam Angka, dari tahun 1994 hingga tahun 2014 jenis tanaman pangan yang paling banyak diproduksi yaitu padi, ketela pohon, dan jagung maka dipilihlah ketiga jenis tanaman tersebut.

Dalam buku Kota Magelang Dalam Angka yang diterbitkan oleh Badan Pusat Statistik Kota Magelang, tabel yang menyajikan informasi mengenai luas tanam, luas panen, dan rata-rata produksi tanaman pangan ada pada bab pertanian. Data luas tanam, luas panen, dan rata-rata produksi padi, ketela pohon, serta jagung dari tahun 1994 sampai tahun 2014 disajikan pada Tabel 3.4

Tabel 3. 4 Data Luas Tanam, Luas Panen, dan Rata-rata Produksi Padi, Ketela Pohon dan Jagung tahun 1994-2014

Tahun

Padi Sawah Ketela Pohon Jagung

LT (Ha) LP (Ha) RRP (kw) LT (Ha) LP (Ha) RRP (kw) LT (Ha) LP (Ha) RRP (kw) 1994 546 602 50,83 59 59 125,76 9 10 32 1995 626 600 51,68 12 16 121,88 6 11 20 1996 637 618 52,04 16 19 132,11 7 7 27,14 1997 604 621 51,8 2 7 132,86 18 14 22,86 1998 648 591 51,82 11 9 153,3 11 15 26,66 1999 600 569 52,81 21 17 172,47 5 7 25

2000 489 497 53,51 1 2 90 3 5 25

2001 525 474 53,35 7 7 168,57 3 4 25,05 2002 517 514 52,79 11 15 139,33 3 - -

2003 492 469 52,81 7 8 139,38 - 1 20

2004 490 471 52,4 5 7 140 - - -

2005 480 473 52,64 8 8 140 - 1 25

2006 495 491 52,62 5 6 140 - - -

2007 502 501 54,51 4 3 140 1 - -

2008 503 504 54,56 7 3 140 3 4 25

2009 513 512 54,67 9 10 140 3 2 63,5

2010 519 520 54,75 10 11 141 2 2 64

2011 550 551 56,98 7 9 70 2 3 16,25

2012 541 548 59,708 4 3 148,96 - - -

2013 544 548 58,5 1 3 73,33 - - -

2014 552 547 58,18 24 2 70 - - -

Keterangan

LT : Luas Tanam LP : Luas Panen

RRP : Rata-Rata Produksi

Menurut BPS Provinsi Jawa Tengah (2013) luas panen adalah luas tanaman yang dipungut hasilnya setelah tanaman tersebut cukup umur termasuk tanaman yang gagal panen. Sedangkan rata-rata produksi atau hasil per hektar merupakan produksi setiap jenis komoditas per luas panen dalam satuan hektar. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Vina (2013), data pada Tabel 3.4 dapat dibentuk fungsi tujuan berupa fungsi nonlinear.

a. Membentuk Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan dari permasalaan ini dibentuk dari rata – rata produksi yang diartikan sebagai hasil panen per hektar yang dihitung beratnya dalam satuan kwintal. Sedangkan luas panen diasumsikan sebagai banyaknya tanaman yang dipungut hasilnya setelah cukup umur termasuk yang gagal panen. Karena tidak memungkinkan untuk menghitung tanaman satu persatu, maka jumlah tanaman dianggap setara dengan luas tanaman yang dihitung dalam satuan hektar.

Rata-rata produksi tanaman pangan total merupakan jumlahan dari rata-rata produksi tanaman padi, ketela pohon, dan jagung. Sehingga fungsi tujuan yang akan dibentuk dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung.

(3.8)

Adapun variabel yang digunakan adalah sebagai berikut = data Luas Panen Padi ke - dalam satuan ha

= data Luas Panen Ketela Pohon ke - dalam satuan ha = data Luas Panen Jagung ke - dalam satuan ha

= data Rata – Rata Produksi ke - dalam satuan kw = 1,2,..., ; = banyaknya data

Berdasarkan Persamaan (3.8) maka dapat dibentuk fungsi rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung adalah

(3.9)

Untuk menentukan parameter fungsi tujuan pada Persamaan (3.9), digunakan metode kuadrat terkecil seperti pada Persamaan (3.2) yaitu dengan menyelesaikan sistem persamaan linear berikut

(3.10)

Dimana

Solusi dari Persamaan (3.10) diperoleh dengan

_(3.11)

Berikut ini akan dicari fungsi tujuan dari masing- masing tanaman pangan yaitu, padi, ketela pohon dan jagung menggunakan metode kuadrat terkecil dengan bantuan software Matlab untuk selanjutnya dibentuk fungsi tujuan bersama.

1) Fungsi Tujuan Tanaman Padi

Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut a) Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi padi ke

software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan

dengan nama datax.dat

b) Ketikkan pada script- file pemrograman untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTX

c) Ketikkan MKTX pada command window, tekan enter d) Muncul hasil pada command window seperti berikut

>> MKTX

m = 21 n = 2 A =

1.0e+12 *

1.8008 0.0033 0.0000 0.0033 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Y =

1.0e+08 * 3.2481 0.0061 0.0000 beta = -0.0002 0.2083 0.0100

Gambar 3. 4 Tampilan Output MKTX pada Command Window Berdasarkan hasil pada Gambar 3.4 didapatkan fungsi tujuan tanaman padi, yaitu

2) Fungsi Tujuan Tanaman Ketela Pohon

Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut a) Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi ketela pohon

ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama datay.dat

b) Ketikkan pada script- file pemrograman untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTY

c) Ketikkan MKTY pada command window, tekan enter d) Muncul hasil pada command window seperti berikut

>> MKTY

m = 21 n = 2 A =

12502174 230804 5350 230804 5350 224 5350 224 2 Y =

1.0e+05 *

6.9672 0.2985 0.0272 beta = -0.2862 19.2570 -31.7838

Gambar 3. 5 Tampilan Output MKTY pada Command Window Berdasarkan hasil pada Gambar 3.5 didapatkan fungsi tujuan tanaman ketela pohon, yaitu

3) Fungsi Tujuan Tanaman Jagung

Langkah- langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut a) Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi ketela pohon

ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama dataz.dat

b) Ketikkan pada script- file pemrograman untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTZ

c) Ketikkan MKTZ pada command window, tekan enter d) Muncul hasil pada command window seperti berikut

>> MKTZ

m = 14 n = 2 A =

119736 9434 816 9434 816 86 816 86 2 Y =

1.0e+04 *

2.0781 0.2299 0.0417 beta = -0.6737 11.4282 -7.7962

Gambar 3. 6 Tampilan Output MKTZ pada Command Window Berdasarkan hasil pada Gambar 3.6 didapatkan fungsi tujuan tanaman jagung, yaitu

Fungsi tujuan pada masalah ini adalah mengoptimalkan rata-rata produksi tanaman pangan yang terbentuk dari jumlahan rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung, sehingga berdasarkan Persamaan (3.12), (3.13) dan (3.14) diperoleh fungsi tujuan bersama yaitu memaksimumkan

(3.15)

Sebelum Persamaan (3.15) diselesaikan, alangkah lebih baiknya apabila diselidiki terlebih dahulu apakah fungsi tujuan tersebut valid atau tidak. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Vina (2013), untuk membuktikan bahwa solusi nilai pada fungsi tujuan yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil adalah yang terbaik ada dua cara, yaitu dengan melihat nilai error dan conditional number-nya.

Cara yang pertama yaitu dengan melihat nilai errornya. Nilai variabel , dan pada Tabel 3.4 disubstitusikan ke Persamaan (3.15). Kemudian dihitung selisih nilai dari jumlahan rata-rata produksi padi, ketela pohon dan jagung yang ada pada Tabel 3.4 dengan hasil perhitungan. Tabel 3.5 merupakan hasil perhitungan selisih nilai beserta errornya.

Tabel 3. 5 Hasil Perhitungan Selisih Nilai dan Errornya

Luas Panen Rata-Rata Produksi

Data Aktual

Hasil

Perhitungan Selisih Error Padi Ketela

Pohon Jagung Padi

Ketela

Pohon Jagung

602 59 10 50,83 125,76 32 208,59 200,16 8,43 4%

600 16 11 51,68 121,88 20 193,56 292,45 98,89 51%

618 19 7 52,04 132,11 27,14 211,29 322,33 111,04 53%

621 7 14 51,8 132,86 22,86 207,52 161,38 46,14 22%

591 9 15 51,82 153,3 26,66 231,78 183,65 48,13 21%

569 17 7 52,81 172,47 25 250,28 305,84 55,56 22%

497 2 5 53,51 90 25 168,51 92,22 76,29 45%

474 7 4 53,35 168,57 25,05 246,97 169,94 77,03 31%

514 15 - 52,79 139,33 - 192,12 246,91 54,79 29%

469 8 1 52,81 139,38 20 212,19 160,62 51,57 24%

471 7 - 52,4 140 - 192,4 142,74 49,66 26%

473 8 1 52,64 140 25 217,64 160,70 56,94 26%

491 6 - 52,62 140 - 192,62 127,52 65,10 34%

501 3 - 54,51 140 - 194,51 77,58 116,93 60%

504 3 4 54,56 140 25 219,56 104,74 114,82 52%

512 10 2 54,67 140 63,5 258,17 198,76 59,41 23%

520 11 2 54,75 141 64 259,75 212,02 47,73 18%

551 9 3 56,98 70 16,25 143,23 192,84 49,61 35%

548 3 - 59,708 148,96 - 208,668 77,51 131,16 63%

548 3 - 58,5 73,33 - 131,83 77,51 54,32 41%

547 2 - 58,18 70 - 128,18 59,69 68,49 53%

Rata-Rata Error 35%

Berdasarkan Tabel 3.5, rata-rata errornya cukup besar, yaitu 35%. Akan tetapi masih ada cara kedua, yaitu dengan melihat conditional number-nya.

Conditional number dari invers matriks dengan melihat norm matriks

didefinisikan sebagai berikut

Conditional number digunakan untuk mengukur kesalahan yang mungkin

Input Data dan Script untuk Membentuk Fungsi Tujuan Tanaman Jagung

Tampilan dataz.data pada Matlab

clear all;close all;

%cari beta dengan menyusun matriks Ax=Y dan x=[beta] dengan metode kuadrat terkecil

load 'dataz.dat'%untuk memanggil data yang sudah disimpan dengan nama dataz

[m,n]=size(dataz) x=dataz(:,1); y=dataz(:,2);

%menyusun matriks A

%matriks A hanya digunakan untuk fungsi kuadratik 2 variabel untuk fungsi yang lain dapat disusun matriks A yang lain juga

a11=sum(x.^4);a12=sum(x.^3);a13=sum(x.^2); a21=sum(x.^3);a22=sum(x.^2);a23=sum(x); a31=sum(x.^2);a32=sum(x);a33=n;

A=[a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33;]

%Y adalah ruas kanan

Y=[sum(y.*x.^2);sum(y.*x);sum(y)] beta=inv(A)*Y

%hasil yang diperoleh

hasil=beta(1)*x.^2+beta(2)*x+beta(3);

LAMPIRAN 2

Iterasi Simpleks Metode Wolfe pada Pemrograman Kuadratik Iterasi 1

Iterasi 2

LAMPIRAN 3

Script dan Output untuk Mencari Conditional Number Padi

Script File

Script dan Output untuk Mencari Conditional Number Ketela Pohon

Script File

Script dan Output untuk Mencari Conditional Number Jagung

Script File

LAMPIRAN 4

Penyelesaian Model dengan software Matlab Langkah- langkah :

1. Membuat M-File untuk fungsi tujuan yang disimpan dengan nama myfun.m. Fungsi tujuan yang dimasukkan ditulis dalam bentuk – karena masalah yang diselesaikan adalah masalah maks- min

2. Membuat M-File untuk fungsi kendala sekaligus syntac fminimax yang disimpan dengan nama main.m. Dipilih nilai awal (100,10,1)

3. Memanggil program main pada command window maka muncul output berikut