44
BAB III PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dijelaskan tentang konsep dasar metode kuadrat terkecil yang digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear
dan langkah- langkah penyelesaiannya menggunakan pemrograman kuadratik metode wolfe dan metode fungsi penalti eksterior metode penalty. Selanjutnya
akan dipaparkan penerapan model nonlinear pada rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang beserta penyelesaiannya dengan kedua metode tersebut.
A. Pembentukan Fungsi Tujuan dengan Metode Kuadrat Terkecil
Masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah masalah pemrograman nonlinear, sehingga fungsi tujuan yang akan dibentuk berupa fungsi nonlinear
yang dalam hal ini berupa fungsi kuadrat, yaitu fungsi dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua. Fungsi kuadrat memiliki satu nilai titik ekstrim yaitu
maksimum atau minimum, sedangkan fungsi kubik memiliki sebuah titik belok, yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya
dan mungkin pula memiliki satu atau dua titik ekstrim. Karena fungsi kubik
belum tentu memiliki titik ekstrim, maka dipilihlah fungsi kuadrat yang sudah pasti memiliki satu titik ekstrim.
Metode kuadrat terkecil merupakan metode penaksiran parameter yang meminimalkan jumlah kuadrat sisa galat. Penaksiran pada metode ini memiliki
sifat BLUE Best Linear Unbiased Estimator Asti, 2015 : 6. Oleh karena itu dipilih metode kuadrat terkecil untuk menentukan parameter pada fungsi kuadrat.
45
Model yang diselesaikan dengan metode k uadrat terkecil adalah sebagai berikut
3.1a
Dimana adalah parameter dan adalah sisa galat. Menurut Setijo Bismo
2008, fungsi kuadrat atau fungsi parabola mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut :
3.1b
Dari Persamaan 3.1a dan 3.1b diperoleh model fungsi kuadrat yang akan diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil, yaitu
3.1c
Metode kuadrat terkecil disini digunakan untuk mencari nilai- nilai tetapan , dan
berdasarkan set data yang diberikan, dimisalkan banyaknya data = , yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisa dari Persamaan 3.1
berikut
Selanjutnya diturunkan terhadap
, dan dengan syarat optimumnya
adalah Jika
diturunkan terhadap , maka diperoleh
46
3.2a
Jika diturunkan terhadap
, maka diperoleh
3.2b
Jika diturunkan terhadap
, maka diperoleh
47
3.2c
Persamaan 3.2 disebut persamaan normal. Apabila ditulis kedalam bentuk matriks Persamaan 3.2 akan menjadi
Selanjutnya nilai , dan
dapat ditaksir dengan menggunakan rumus
B. Penyelesaian Masalah Nonlinear
