ρ
e
= a
φ
-m
S
-n
ρ
w
Di mana ρ
e
adalah resistivitas batuan,
φ
adalah porositas, S adalah fraksi pori-pori yang berisi air, dan
ρ
w
adalah resistivitas air. Sedangkan a, m, dan n adalah konstanta. m disebut juga faktor sementasi. Untuk
nilai n yang sama, Schlumberger menyarankan n = 2. c.
Konduksi secara dielektrik Konduksi ini terjadi jika batuan atau mineral bersifat dielektrik
terhadap aliran arus listrik, yaitu terjadi polarisasi saat bahan dialiri listrik.
B. Aliran listrik di dalam Bumi
Gambar 2.2 Medium Homogen Isotropik dengan arus listrik
Jika ditinjau suatu medium homogen isotropik yang dialiri arus listrik searah I diberi medan listrik E, maka elemen arus listrik dI yang
melalui elemen luas dA dengan kerapatan arus J adalah:
A d
J dI
r r
• =
J r
= σ E Hukum Ohm
dengan σ adalah konduktivitas medium.
Medan listrik E adalah gradien potensial skalar: E = -
∇ V dA
V
sehingga
J r
= - σ∇ V
Jika di dalam medium tidak ada sumber arus, maka I =
∫
•
s
dA J
= 0 Sesuai teorema Divergensi
∫
•
s
dA J
=
∫
• ∇
v
JdV = 0
sehingga Hukum Kekekalan Muatan
J •
∇
=
∇ •
∇ −
σ V = 0
2
∇ +
∇ •
∇ σ
σ V
V = 0 atau
∇
2
V = 0 Yang merupakan persamaan Laplace. Dalam koordinat bola operator
Laplacian berbentuk
r
2
1
r ∂
∂ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ ∂
∂ r
V
r
2
+ θ
sin 1
2
r
θ ∂
∂ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ ∂
∂ θ
θ V
sin +
θ
2 2
sin 1
r
2 2
φ
∂ ∂ V
= 0 Karena anggapan homogen isotropis, maka persamaan menjadi:
r ∂
∂
2 2
V + r
2 r
V ∂
∂ = 0
dengan menggunakan diferensial orde 2, maka jawaban umum persamaan Laplace untuk kasus ini adalah
Vr =
r C
1
+ C
2
di mana C
1
dan C
2
adalah konstanta sembarang. Nilai konstanta tersebut ditentukan dengan menerapkan syarat batas yang harus dipenuhi potensial
Vr, yaitu: Pada r = ∞ jarak sangat jauh, V
∞ = 0, sehingga C
2
= 0 dan
Vr =
r C
1
Potensial di sekitar titik arus a.
Titik arus di dalam bumi
Gambar 2.3 Titik arus di dalam bumi
Arus keluar secara radial dari titik arus sehingga jumlah arus yang keluar melalui permukaan bola A dengan jari-jari r
adalah I = 4
πr
2
∧
r
J •
sehingga C
1
= I π ρ
4 dan Vr =
r I
π ρ
4 atau
ρ = 4πr I
V
b. Titik arus di permukaan bumi
Gambar 2.4 Penampang vertical ketika arus diinjeksikan pada permukaan yang seragam.
I
equipotensial arah arus
Titik arus
A
B +I
-I Permukaan yang dilaui arus I adalah luas ½ bola = 2
πr
2
, sehingga Vr =
r I
π ρ
2 atau
ρ = 2πr I
V c.
Dua titik arus yang berlawanan polaritasnya di permukaan bumi
Gambar 2.5 Dua titik arus berlawanan polaritas di permukaan bumi
Beda potensial yang terjadi antara MN yang diakibatkan oleh injeksi arus pada AB adalah:
ΔV = V
M
– V
N
= π ρ
2 I
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− BN
AN BM
AM 1
1 1
1
ρ = 2π
1
1 1
1 1
−
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− BN
AN BM
AM I
V Δ
= K I
V Δ
dengan
K = 2 π
1
1 1
1 1
−
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− BN
AN BM
AM yang merupakan faktor koreksi karena letak konfigurasi elektroda
potensial dan elektroda arus.
C. Resistivitas batuan
