122
kitab sukses
TURUNAN FUNGSI
BAB 15
Turunan Fungsi Aljabar A.
1. Rumus Turunan
Secara umum, turunan dapat dituliskan ke dalam bentuk:
h 0
fx h fx fx lim
h
→
+ − =
2. Notasi Leibniz
Turunan dari y = fx sering ditulis dalam bentuk y=fx. Notasi lain dari y dan fx berturut-turut adalah
dy dx
dan df
dx yang disebut dengan notasi Leibniz untuk diturunkan.
3. Sifat Turunan
a. fx = gx + hx ⇒ fx = gx + hx b. fx = gx – hx ⇒ fx = gx – hx
c. fx = gx.hx ⇒ fx = gx.hx + gx.hx
d.
2
gx gx hx gx hx
fx f x
hx h x
⋅ −
⋅ =
⇒ =
e. fx = g
n
x ⇒ fx = n . g
n–1
x . gx f.
fx = e
gx
⇒ fx = e
gx
. gx
4. Menentukan Turunan Fungsi fx = ax
n
a. Menentukan turunan fungsi fx ax
n
untuk n bilangan asli. fx = ax
n
, maka fx = nax
n–1
b. Menentukan turunan fungsi fx = ax
n
untuk n bilangan rasional.
1 2
1 2
fx x x
1 fx
x 2
−
= =
=
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 122 28082013 7:42:19
123
matematika
Persamaan Garis Singgung B.
Salah satu kegunaan turunan adalah dalam menentukan garis singgung dari kurva, yang dituliskan da- lam rumus:
y – fa = fax – a
Turunan Rumus Fungsi C.
1. Rumus Turunan Fungsi Bentuk y = u ± v
y = u ± v y = u ± v
2. Rumus Turunan Fungsi Bentuk y = u.v
y = u.v y = uv + uv
3. Rumus Turunan Fungsi Bentuk y = u
v
2
u y
v uv uv
y v
= −
=
4. Rumus Turunan Fungsi Bentuk y = u
n
, u = fx
y = u
n
y = nu
n–1
.u
Turunan Fungsi Trigonometri D.
1. fx = sin ⇒ fx = cos x 2. fx = cos ⇒ fx = – sin x
3. fx = tan x ⇒ fx = sec
2
x 4. fx = cotan x ⇒ x fx = –cosec
2
x
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 123 28082013 7:42:19
124
kitab sukses
1. Turunan pertama dari fungsi cos x sinx
y cos x sinx
− =
+ adalah ….
2 2
2 2
2 2
2
2 A.
cos x sin x 1
B. cos x sinx
2 C.
cos x sinx 3
D. cos x sinx
1 E.
cos x sin x −
− +
− +
− +
− +
2. Apabila
2
1 fx x
1 x
= − +
maka fx adalah ....
2 2
2 2
2
1 A. x
x 1
B. 2x 1
x 1
C. 2x 1
x 1
D. x x
1 E. 2x
x +
− +
− −
− +
3. Fungsi
2
x 3
fx x 1
+ =
− akan turun apabila nilai x
…. A. –3 x –1
B. –3 x –1 atau x 1 C. –1 x 1 atau 1 x 3
D. x – 3 atau x 1 E. x – 1 atau x 3
Latihan Soal
4. Turunan pertama dari y = x + 1
2
x + 2 adalah
…. A. 3x
2
+ 8x + 5 B. 3x
2
+ 8x + 2 C. 2x
2
+ 6x + 5 D. 3x
2
+ 3x + 2 E. 2x
2
+ 8x + 2 5. Diketahui fungsi
2
x 6
fx x
+ =
. Turunan pertama fungsi fx adalah fx = ….
2 2
2 2
2
6 A.
x x
x 3
B. x
x x
1 C.
x x
3x 3
1 D.
x x
2 3x
3 3
E. x
x 2
x +
− −
+ −
6. Garis singgung pada kurva x
2
– y + 2x – 3 = 0 yang tegak lurus pada garis x – 2y + 3 = 0
mempunyai persamaan …. A. y + 2x + 7 = 0
B. y + 2x + 3 = 0 C. y + 2x + 4 = 0
D. y + 2x – 7 = 0 E. y + 2x – 3 = 0
7. Jika fungsi fx = sin ax + cos bx memenuhi f’0 = b dan f
2a π
= –1, maka a + b = .... A. 3
B. 2.
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 124 28082013 7:42:19
125
matematika
C. 1 D. 0
E. –1
8. Jika
2
2x 1 fx
x 3
+ =
− , maka turunan pertama dari
fungsi f di –3 atau f –3 = …. 1
A. 3
2 B.
3 1
C. 2
5 D.
6 1
E. 1
2 −
− −
− −
9. Turunan fungsi y = tan x, untuk 2n 1
x 2
π +
≠ , n
= bilangan bulat, ialah …. A. cot x
B. cos
2
x C. sec
2
x + 1 D. cot
2
x + 1 E. tan
2
x + 1 10. Jika
2x 5 fx
3x 2 −
= −
, maka f ‘1 = ….
A. 11 B. –11
C. –7 D. –3
E. 2
3
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 125 28082013 7:42:19
126
kitab sukses
1. Jawaban: C
2 2
2
cos x sinx y
cos x sinx sinx cos xcos x sinx cos x sinx sinx cos x
y cos x sinx
cos x sinxcos x sinx cos x sinx y
cos x sinx −
= +
− −
+ −
− −
+ =
+ −
+ +
− −
= +
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
cos x 2sinx cos x sin x cos x 2sinx cos x sin x y
cos x sinx cos x 2sinx cos x sin x cos x 2sinx cos x sin x
y cos x sinx
2cos x 2sin x y
cos x sinx 2cos x sin x
y cos x sinx
2 y
cos x sinx −
+ +
− −
+ =
+ −
− −
− +
− =
+ −
− =
+ −
+ =
+ −
= +
2. Jawaban: E
2 2
1 2
2
1 fx x
1 x
fx x x
1 f x 2x x
1 f x 2x
x
− −
= − +
= −
+ =
+ =
+ 3. Jawaban: C
Syarat fungsi menurun fx 0
2
x 3
fx x 1
+ =
− turun untuk nilai x:
2
2 2
x 3
fx x 1
f x 0 2xx 1 x
3 x 1
+ =
−
− − +
−
Pembahasan
2 2
2
x 2x 3
x 1 x 3x 1
x 1 −
− −
− +
− Nilai x pembuat nol fungsi
x = –1, x = 1, x = 3
1 3
–1
Hp: –1 x 1atau 1 x 3 4. Jawaban: A
fx = u.v fx = uv + uv
y = x + 1
2
x + 2 y = 2x + 1x + 2 + x + 1
2
1 y = 2x
2
+ 3x + 2 + x
2
+ 2x + 1 y = 2x
2
+ 6x + 4 + x
2
+ 2x + 1 y = 3x
2
+ 8x + 5 5. Jawaban: E
2
2 1
2 2
2
x 6
u y
v x
uv vu y
v 1
2x x x
x 6
2 f x
x
−
+ =
= −
= −
+ =
3 1
2 2
1 2
3 2
−
− −
= x x
x x
x
3 2
1 2 x
x 3x 2
−
= −
−
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 126 28082013 7:42:20
127
matematika
3 3
x 2
x x =
− 3
3 x
x .
2 x x
x
=
−
2
3 3 x
x 2
x
=
−
2
3 3 x
x 2
x =
− 6. Jawaban: A
x
2
– y + 2x – 3 = 0 ⇒ y = x
2
+ 2x – 3 x – 2y + 3 = 0 ⇒ 2y = x + 3
y = 1
3 x
2 2
+ , maka didapat m
1
= 1
2 Karena garis singgungnya tegak lurus, maka:
m
1
.m
2
= –1 1
2 .m
2
= –1 m
2
= –2 Kurva y = x
2
+ 2x – 3 y’ = 2x + 2 = m
2
2x + 2 = –2 2x = –4
x = –2 Jika x = –2 maka y = –2
2
+ 2.–2 – 3 = 4 – 4 – 3
= –3 x
1
, y
1
= –2, –3 Jadi, garis singgungya adalah:
y – y
1
= m
2
x – x
1
y + 3 = –2x + 2 y + 3 = –2x – 4
y = –2x – 7 ⇒ y + 2x + 7 = 0
7. Jawaban: B ⇔ fx = sin ax + cos bx
⇔ f0 = b ⇔ fx = a cos ax – b sin bx
⇔ f0 = a cos a 0 – b sin b 0 ⇔ b = a1 – 0
b = a ⇔ fx = sin ax + cos bx
⇔ f 2a
π
= – 1
⇔ fx = a cos ax – b sin bx f
acosa - asina
2a 2a
2a π
π π
⇔ =
⇔ –1 = 0 – a ⇔ a = 1
⇔ a + b = 1 + 1 = 2
8. Jawaban: C
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2x 1 fx
x 3
2x 3 2x 12x
f x x
3 2x
6 4x 2x
f x x
3 2x
2x 6 f x
x 3
2 3 2 3 6
f 3 3
3 18
f 3 36
1 f 3
2 +
= −
− − +
= −
− − +
= −
− −
− =
− − −
− − − − =
− −
− − =
− = − 9. Jawaban: E
2 2
2 2
2 2
2
sinx tanx
cos x sinx
y cos x
cos x cos x sinx sinx y
cos x cos x sin x
y cos x
1 y
cos x y sec x
y tan x 1 =
= −
− =
+ =
= =
= +
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 127 28082013 7:42:20
128
kitab sukses
10. Jawaban: A
2 2
2 2
2x 5 fx
3x 2 23x 2 2x 53
fx 3x 2
6x 4 6x 15 fx
3x 2 11
f x 3x 2
11 11
f 1 11
31 2 1
− =
− − −
− =
− − −
+ =
− =
− =
= =
−
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 128 28082013 7:42:20
129
matematika
INTEGRAL
BAB 16
Definisi Integral A.
Integral merupakan kebalikan dari proses diferensiasi. Lambang integral adalah ∫. Sehingga integral dari fungsi fx terhadap peubah x dapat dituliskan:
∫ fx dx
Keterangan: ∫ = notasi integral
fx = fungsi integran x
= variabel integrasi
Integral Aljabar B.
1.
n n 1
a ax dx
x C; n
1 n 1
+
= +
≠ − +
∫
2.
n n 1
1 ax b dx
ax b C; a 0 dan n
1 a n 1
+
+ =
+ +
≠ ≠ −
+
∫
3. ∫ a dx = ax + C 4. ∫ 0 dx = C
Integral Trigonometri C.
1. ∫ sin x dx = –cos x + C 2. ∫ cos x dx = sin x + C
3. ∫ sin a dx = – 1
a cos ax + C
4. ∫ cos ax dx = 1
a sin ax + C
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 129 28082013 7:42:20
130
kitab sukses
5. ∫ cosax + b dx = 1
a sinax + b + C
6. ∫ sin ax + b dx = – 1
a cos ax + b + C
7. cos a b x cos a b x
2sinax cosbx dx 2 2 a b
2 a b
−
+ =
− −
− +
∫
8.
n n 1
1 cos ax b sin ax b dx
cos ax b
C a n 1
+
+ +
= − + +
+
∫
9.
n n 1
1 sin ax b cos ax b dx
sin ax b
C a n 1
+
+ +
= + +
+
∫
Integral Substitusi D.
Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, dan r ≠ –1, maka:
r r 1
1 u x
u x dx u x
C r 1
+
= +
+
∫
Integral Parsial E.
Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka: ∫ u dv = uv – ∫ v du
Integral Tertentu F.
Integral tertentu adalah integral yang dapat ditentukan nilainya. Jika fungsi f terdeinisi pada interval [a, b], maka
b a
f x
∫
dinamakan integral tertentu fungsi f dari a ke b.
b b
a a
f x [Fx]
F b F a
= =
−
∫
Aplikasi Integral G.
1. Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva dan Sumbu X
