130
kitab sukses
5. ∫ cosax + b dx = 1
a sinax + b + C
6. ∫ sin ax + b dx = – 1
a cos ax + b + C
7. cos a b x cos a b x
2sinax cosbx dx 2 2 a b
2 a b
−
+ =
− −
− +
∫
8.
n n 1
1 cos ax b sin ax b dx
cos ax b
C a n 1
+
+ +
= − + +
+
∫
9.
n n 1
1 sin ax b cos ax b dx
sin ax b
C a n 1
+
+ +
= + +
+
∫
Integral Substitusi D.
Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, dan r ≠ –1, maka:
r r 1
1 u x
u x dx u x
C r 1
+
= +
+
∫
Integral Parsial E.
Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka: ∫ u dv = uv – ∫ v du
Integral Tertentu F.
Integral tertentu adalah integral yang dapat ditentukan nilainya. Jika fungsi f terdeinisi pada interval [a, b], maka
b a
f x
∫
dinamakan integral tertentu fungsi f dari a ke b.
b b
a a
f x [Fx]
F b F a
= =
−
∫
Aplikasi Integral G.
1. Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva dan Sumbu X
y y = fx
a b
b a
L f x dx
=
∫
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 130 28082013 7:42:20
131
matematika
y y
2
= 9x
y
1
= fx a
b
b 2
1 a
L y
y dx =
−
∫
y
y = fx a
b
b a
L f x dx
= −
∫
y y
2
= 9x y
1
= fx a
b
= −
∫
b 2
1 a
L y
y dx
2. Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva dan Sumbu Y
y x = gy
a b
b a
L g y dy
=
∫
y x = gy
a b
a b
L g y dy
=
∫
y x
2
x
1
a b
b 2
1 a
L x
x dy =
−
∫
3. Menghitung Volume
Diputar terhadap sumbu x Diputar terhadap sumbu y
b 2
a
V y dx
π =
∫
b 2
a
V x dy
π =
∫
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 131 28082013 7:42:20
132
kitab sukses
1. Daerah D dibatasi oleh kurva y = sin x , 0 ≤ x ≤ π
dan sumbu x. Jika daerah D diputar terhadap sumbu x, maka volume benda putar yang ter-
jadi adalah …. A. π
B. 2π C. π
2
D. 1
2 π
2
E. 2π
2
2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x,
y = cos x dan sumbu x untuk 0 x
2 π
≤ ≤ adalah
….
4 2
4 4
2 4
2
2
4 2
4
A. sinx dx + cos x dx
B. sinx dx
cos x dx
C. cos x sinxdx
D. sinx cos xdx
E. cos x dx
sinx dx
π π
π π
π π
π
π
π π
π
−
−
−
−
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
3. ∫ cos
2
x sin x dx = .... A.
3
1 cos x sinx C
3 −
+ B.
3
1 cos x C
3 +
Latihan Soal
C.
3
1 cos x C
3 −
+ D. cos
3
x + C E. –cos
3
x + C 4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x
2
+ 4x + 1, garis x = 2 dan kedua sumbu, sama dengan ….
A. 20 B. 18
C. 18 4
7 D. 16
E. 14 5. Jika
Fx 3 x dx
=
∫
= fx + C dengan fx = 3 x
, maka agar F4 = 19, harga tetapan C adalah ….
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
E. 0
6. Hasil ∫ x sin x
2
+ 1 dx = .... A. – cos x
2
+ 1 + C B. cosx
2
+ 1 + C C.
2
1 cos x
1 C
2 −
+ +
D.
2
1 cos x
1 C
2 + +
7. Jika fx = x
2
, maka luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – fx, y = 4 – fx – 4, dan garis y = 4
adalah ….
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 132 28082013 7:42:20
133
matematika
A. 12 B. 5
C. 4
D. 11
6 E.
16 3
8. Jika Fx = 8x – 2 dan F5 = 36 maka Fx = .... A. 4x
2
– 2x – 59 B. 4x
2
– 2x – 74 C. 4x
2
– 2x – 54 D. 8x
2
– 2x – 159 E. 8x
2
– 2x – 153 9. Jika dalam selang a ≤ x ≤ b diketahui diketahui
dfx gx
dx =
maka
b a
fxgxdx .... =
∫
A.
2 2
gb ga
2 −
B. fb – fa C. gb – ga
D. fbgb faga
2 −
E.
{ } { }
2 2
fb fa
2 −
10. Jika daerah yang dibatasi oleh garis x = k, sumbu x dan bagian kurva y = x
2
dari titik 0, 0 ke titik k , k
2
diputar mengelilingi sumbu x menghasilkan benda putaran dengan isi 625 π,
maka k sama dengan …. A. 2
B. 3 C. 4
D. 5 E.
5 15
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 133 28082013 7:42:21
134
kitab sukses
1. Jawaban: D
b 2
a ð
2
v Fx dx
v sinx dx
π π
= =
∫
∫
2 2
2
cos2x 1 2sin x 2sin x 1 cos2x
1 cos2x sin x
2 ⇔
= − ⇔
= − −
⇔ =
Volume y = sin x, 0 ≤ x ≤ π
ð
2
1 cos2x V
dx 2
1 V
x sin2x
2 2
1 1
V sin2
sin2 0 2
2 2
V 0 0
2 1
V 2
π
π π
π π π
π π
π −
=
=
−
= −
− −
= − − −
=
∫
2. Jawaban: A Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x,
y = cos x
Pembahasan
4 2
4
L sinx dx
cos dx
π π
π
= +
∫ ∫
3. Jawaban: C ∫ cos
2
x sin x dx = ∫ cos x
2
sin x dx Misal: u = cos x
du sinx
dx du
dx sinx
= − =
−
2 2
2 3
3
du cos x sinx dx
u sinx sinx
= u du 1
= u
C 3
1 =
cos x C 3
=
−
− +
− +
∫ ∫
∫
4. Jawaban: B Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x
2
+ 4x + 1 dan garis x = 2
2 2
2 3
2 2
2 3
3
L 3x
4x 1 dx L
x 2x
x L
2 2 2
2 2 0
L 8 8 2 0 L 18
= +
+
=
+ +
=
+ +
− +
+
= + + − =
∫
5. Jawaban: B Fx 3
x dx =
∫
1 2
= 3 x dx
∫
π 1
–1 y = cos x
y = sin x π
2
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 134 28082013 7:42:21
135
matematika
1 1
2
3 2
1 = 3
x C
1 1
2 2
= 3 x
C 3
= 2x x C
+
+
+
+
+
F4 = 19 Fx =
2x x C +
F4 = 24 x C
+ 19 = 8 2 + C
C = 19 – 16 C = 3
6. Jawaban: C U = x
2
+ 1 du = 2x dx
2
2
1 x sin x
1 dx sinu du
2 1
cosu C 2
1 cos x
1 C 2
+ =
= − +
= − + +
∫ ∫
7. Jawaban: E • fx = x
2
y = 4 – fx y = 4 – x
2
• y = 4 – fx – 4
2
y = 4 – x
2
– 8x + 16 y = –x
2
+ 8x – 12 →y = 4
2 4
2 2
2
L x dx
x 8x 16dx
= +
− +
∫ ∫
2 4
3 3
2 2
1 1
L x
x 4x
16x 3
3
=
+ −
+
3 3
3 2
3 2
1 1
L 2
3 3
1 1
4 44
164 2
42 162
3 3
− −
+
− +
− −
+
8 64
8 L
64 64 16 32
3 3
3 8
64 56
L 3
3 3
8 8 L
3 3 16
L 3
= +
− +
− −
+
= + −
= + =
8. Jawaban: C Fx = 8x – 2 dan F5 = 36 maka Fx = ....
∫ Fx = ∫ 8x – 2 Fx = 4x
2
– 2x + C F5 = 36
Fx = 4x
2
– 2x + C F5 = 45
2
– 25 + C 36 = 100 – 10 + C
C = –54 Fx = 4x
2
– 2x – 54 9. Jawaban: E
b a
fxgxdx
∫
b a
dfx fx
dx dx
⇔
∫
b a
fxdfx ⇔
∫
b 2
a
1 fx
2
⇔
{ } { }
2 2
fb fa
2 −
⇔ y = 4
–2 2
4 y = 4 – x
2
y = – x
2
+ 8x – 12
2 4
2 2
2
4 4 4
8 12
L x dx
x x
dx =
− − +
− − + −
∫ ∫
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 135 28082013 7:42:21
136
kitab sukses
10. Jawaban: D y
x k, k
2
y = x
2
x = k
k 2
k 2 2
k 4
k 5
5 5
5 5
5
V y dx
V x dx
V x dx
1 V
x 5
1 1
V k
5 5
1 625
k 5
k 5 k 5
π
π π
π π
π π
=
= =
=
= −
=
= =
∫
∫ ∫
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 136 28082013 7:42:21
137
matematika
RUANG DIMENSI TIGA
BAB 17
Kubus A.
1. Sisi kubus terdiri dari 6 buah persegi, yaitu: ABFE, DCGH, BCGF, ADHE, ABCD, dan EFGH.
E
A D
H G
C F
B E
E
A A
D D
H H
G G
C C
F F
Sisi Samping Persegi
Sisi Samping Persegi
B B
2. Banyak rusuk kubus 12, yaitu: AB, BC, CD, AD, BF, CG, AE,DH, EF, FG, GH, dan EH.
3. Kubus memiliki 8 titik sudut, yaitu: A, B, C, D, E, F, G, dan H.
A B
E D
H G
C F
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 137 28082013 7:42:21
138
kitab sukses
4. Diagonal sisi kubus berjumlah 12, yaitu: AF, BE, CH, DG, BG, CF, AH, DE, BD, AC, EG, dan FH. Panjang diagonal sisi kubus =
s 2 , s = panjang sisi
E
A B
D H
G Diagonal sisi
Diagonal sisi C
F
A B
E
D H
G
Diagonal ruang C
F 5. Diagonal ruang kubus ada 4, yaitu AG, DF, EC, dan HB.
Panjang diagonal ruang kubus = 3
s
6. Diagonal bidang kubus berjumlah 6, yaitu: ABGH, CDEF, BCHE, DAFG, ACGE, dan DBFH.
A B
E
D H
G
Bidang diagonal C
F
Luas dan Volume Kubus
Luas L Volume V
L = 6s × s = 6s
2
V = s × s × s = s
3
Balok B.
1. Banyak sisi balok 6 buah yang berbentuk persegi panjang. Tiga pasang sisinya yang berhadapan merupakan persegi panjang yang kongruen, yaitu:
a. Alas dan tutup = ABCD dan EFGH b. Samping kiri dan kanan = BCGF dan ADHE
c. Depan dan belakang = ABFE dan DCGH
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 138 28082013 7:42:21
139
matematika
E E
A A
D D
H H
G G
C C
F H
Sisi Samping Persegi panjang
Sisi Samping Persegi panjang
B B
2. Balok terdiri dari 12 rusuk, yaitu AB, BC, CD, AD, BF, CG, AE, DH, EF, FG, GH, dan EH.
E
A D
H G
C F
B
E
A D
H G
C F
B 3. Banyak titik sudut balok 8, yaitu: A, B, C, D, E, F, G, dan H.
4. Diagonal sisi pada balok dapat dihitung dengan menggunakan rumus-rumus sebagai berikut.
E
A D
H G
C F
B Bidang yang terdiri dari
panjang p dan lebar I
t p
p
2 2
Panjang diagonal p
l =
+
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 139 28082013 7:42:21
140
kitab sukses
E
A D
H G
C F
B Bidang yang terdiri dari
panjang p dan tinggi t
t
p l
2 2
Panjang diagonal p
t =
+
E
A D
H G
C F
B Bidang yang terdiri dari
lebar l dan tinggi t
t
p l
p
2 2
Panjang diagonal = l + t
5.
Diagonal ruang sebuah balok dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
Luas dan Volume
Luas Permukaan L Volume V
Jumlah Panjang Seluruh Rusuk
L = 2pl + pt + lt V = p × l × t
Jumlah panjang = 4p + l + t
Prisma C.
1. Banyak sisi prisma merupakan jumlah dari sisi alas, sisi tutup, dan sisi tegaknya. E
A D
H G
C F
B t
p l
2 2
2
Panjang diagonal = p + l + t
p
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 140 28082013 7:42:21
141
matematika
2. Banyak titik sudut dan rusuk pada prisma dapat dilihat pada tabel berikut.
Sifat-Sifat Jumlah
Rusuk
Banyak rusuk = jumlah rusuk pada alas + jumlah rusuk pada tutup + jumlah rusuk pada sisi tegak
Titik sudut
Titik sudut = jumlah titik sudut alas + jumlah titik sudut tutup
Luas dan Volume
Luas Permukaan L Volume V
L
selubung
= keliling alas × tinggi L
prisma
= 2 × luas alas + keliling alas × tinggi V = luas alas × tinggi
Limas D.
Banyak sisi, rusuk, dan titik sudut limas tergantung pada jenis limasnya. Bidang sisi = alas +
tutup + jumlah sisi tegak
Alas Sisi Tegak
Tutup
Bidang sisi = 4 buah = 1 alas + 3 sisi tegak Bidang sisi = 5 buah = 1 alas + 4 sisi tegak
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 141 28082013 7:42:22
142
kitab sukses
s = Panjang garis pelukis T = Puncak = titik sudut
t=tinggi kerucut T
T
B A
r r
C D
B
1
B
2
s s
s s
s s
t
Sifat-Sifat Jumlah
Sisi
Banyak sisi = jumlah sisi alas + jumlah sisi tegak
Rusuk
Banyak rusuk = jumlah rusuk pada alas + jumlah rusuk sisi tegak
Titik sudut
Titik sudut = jumlah titik sudut alas + 1
Luas dan Volume
Luas Permukaan L Volume V
L = luas alas + jumlah luas sisi tegak
1 V = × luas alas × tinggi
3
Kerucut E.
Mengenai sisi, rusuk, dan titik sudut kerucut dapat kamu lihat pada tabel dibawah ini.
Sifat-Sifat Keterangan
Sisi
Banyak sisinya ada dua, yaitu alas berbentuk lingkaran dan selimut yang berbentuk juring lingkaran.
Rusuk
Banyak rusuk 1 buah, yaitu pada alasnya.
Titik sudut
Titik sudut kerucut 1 yaitu pada puncak kerucut.
Luas dan Volume
Luas Permukaan L Volume V
L = luas alas + luas selimut L = πr
2
+ πrs L = πr
r + s
2
1 V = × luas alas × tinggi
3 1
V = r t
3 π
Keterangan: r = jari-jari, t = tinggi, s = garis pelukis
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 142 28082013 7:42:22
143
matematika
Tabung F.
Banyak sisi, rusuk, dan titik sudut tabung adalah sebagai berikut.
Sifat-Sifat Keterangan
Sisi
Banyak sisinya ada 3, yaitu alas dan tutup berbentuk lingkaran dan selimut yang berbentuk persegi panjang.
Rusuk
Banyak rusuk 2 buah yaitu pada alas dan tutupnya.
Titik sudut
Tidak memiliki titik sudut.
Luas dan Volume
Luas permukaan L Volume V
L
tabung
= 2 × luas alas + luas selimut L
tabung
= 2πr
2
+ 2πr L
tabung
= 2πr r + t V = luas × tinggi
V = πr
2
× t V = πr
2
t
Bola G.
A
C D
B A
C D
B O
Tutup dan alas berbentuk lingkaran
Selimutnya Berbentuk persegi panjang
r
r
A
1
C
1
t
A
2
C
2
KITAB SUKSES matematika SMA.indd 143 28082013 7:42:22
144
kitab sukses Luas permukaan L
Volume V
L
bola
= 4πr
2
3
4 V =
r 3
π
Titik, Garis, dan Bidang H.
