Titik Garis Bidang datar

144 kitab sukses Luas permukaan L Volume V L bola = 4πr 2 3 4 V = r 3 π Titik, Garis, dan Bidang H.

1. Titik

Titik adalah sesuatu yang tidak mempunyai ukuran, yang berarti tidak mempunyai panjang, lebar atau tinggi sehingga titik dikatakan berdimensi nol.

2. Garis

Garis adalah hubungan antara dua titik.

3. Bidang datar

Sebuah bidang datar dapat ditentukan berdasarkan: a. Sudut • Sudut antara garis dan bidang θ θ • Sudut antara dua bidang KITAB SUKSES matematika SMA.indd 144 28082013 7:42:22 145 matematika 1. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a. Jarak A ke diagonal BH adalah …. a A. 6 2 a B. 6 4 a C. 6 6 a D. 6 3 a E. 6 5 2. Jarak antara titik C dengan bidang BDG dalam kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 6 cm adalah …. A. 3 2 cm B. 2 6 cm C. 6 cm D. 3 cm E. 2 3 cm 3. ABCD adalah empat persegi panjang pada bidang horisontal, dan ADEF empat persegi panjang pula pada bidang vertikal. Panjang AF = 3 m, BC = 4 m dan CE = 7 m. Jika α dan β berturut-turut sudut antara BE dengan bidang ABCD dan bidang ADEF, maka tan α tan β = …. A. 3 35 B. 4 21 C. 4 35 Latihan Soal D. 5 21 E. 5 35 4. Pada bidang empat T.ABC, bidang TAB, TAC dan ABC saling tegak lurus. Jika TA = 3, AB = AC = 3 dan α adalah sudut antara bidang TBC dan ABC, maka sin α adalah …. A. 7 7 B. 2 7 7 C. 14 7 D. 42 7 E. 21 7 5. Dari sebuah bidang-empat ABCD diketahui BC ⊥ BD dan AB tegak lurus bidang BCD. BC = BD = a 2 dan AB = a, maka sudut antara bidang ACD dan bidang BCD sama dengan …. A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 E. 5 π π π π π KITAB SUKSES matematika SMA.indd 145 28082013 7:42:22 146 kitab sukses 6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan sisi a. T adalah suatu titik pada perpanjangan AE sehingga TE = 1 2 A. B. 1 C. 1 10 2 D. 1 2 2 E. 1 6 2 9. Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 4. Titik T perpanjangan CG, sehingga CG = GT. Jika sudut antara TC dan bidang BDT adalah α, maka tan α adalah …. A. 2 B. 2 4 C. 2 2 D. 2 6 E. 2 3 10. Dari limas beraturan T.PQRS diketahui TP = TQ = TR = TS = 2 dan PQ = QR = RS = SP = 2. Jika α adalah sudut antara bidang TPQ dan bidang TRS, maka cos α sama dengan …. A. 1 2 B. 3 2 C. 1 3 D. 1 3 E. 2 3 E A D H T G C F B Jika bidang TBD memotong bidang alas EFGH sepanjang PQ, maka PQ = …. A. a 3 B. 1 a 2 3 C. a 2 3 D. 2a 2 3 E. 1 a 2 7. Diberikan balok ABCD.EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 1 cm, AE = 1 cm. Panjang AH = .... A. 1 2 cm B. 2 cm C. 1 cm D. 3 cm E. 2 cm 8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2. Jika P titik tengah HG, Q adalah titik tengah FG, R titik tengah PQ, dan BS adalah proyeksi BR pada bidang ABCD, maka panjang BS .... A. 1 14 2 KITAB SUKSES matematika SMA.indd 146 28082013 7:42:22 147 matematika 1. Jawaban: D Pembahasan kubus = a 2 . Maka diagonal sisi kubus ABCD. EFGH = 6 2 . Perhatikan ∆PCG dan ∆COG PC : GP = CO : GC • 1 1 PC AC 6 2 3 2 2 2 = × = × = • 2 2 2 2 GP PC GC 3 2 6 18 36 54 3 6 = + = + = + = = 3 2 : 3 6 CO : 6 3 2 CO 6 3 6 CO 2 3 = = = 3. Jawaban: A E A D O H G C F B Diagonal ruang = BH = 3 a Diagonal sisi = AH = 2 a 2 BH AO AB AH L ABH 2 2 a 3 AO a a 2 2 2 a 3 AO a a 2 a a 2 a 3 a 2 3 AO a 3 3 a AO 6 3 × × ∆ = = × × = × = × × = = × = 2. Jawaban: E H G C B O D A E P F E F B C D A β α Keterangan : AF = 3 m CE = 7 m BC = 4 m AB = CD 2 2 2 2 2 2 CD CE ED ED AF CD CE AF CD 7 3 CD 49 9 CD 40 = − = = − = − = − = Jarak antara titik C dengan bidang BDG dalam kubus ABCD.EFGH adalah OC. Diagonal sisi KITAB SUKSES matematika SMA.indd 147 28082013 7:42:23 148 kitab sukses 2 2 2 2 BD CD BC BD 40 4 BD 40 16 BD 56 = + = + = + = 2 2 2 2 DE 3 tan BD 56 AB tan EA EA DE AD EA 3 4 EA 9 16 EA 25 EA 5 40 tan 5 α β β = = = = + = + = + = = = 3 40 3 tan tan 5 56 35 α β     = =         4. Jawaban: D Perhatikan ∆ABC 2 2 BC 3 3 BC 3 3 BC 6 1 BD BC 2 1 BD 6 2 = + = + = = = Perhatikan ∆TDB 2 2 2 2 TD TB BD 1 TD 2 3 6 2 6 TD 12 4 48 6 TD 4 42 TD 4 1 TD 42 2 = +   = +     = − − = = = 3 sin 1 42 2 3 42 3 42 1 sin 42 1 21 7 42 42 2 α α = = × = = 5. Jawaban: D B A T C D 3 3 3 Perhatikan ∆TAB 2 2 2 2 TB TA AB TB 3 3 TB 9 3 TB 12 TB 2 3 = + = + = + = = BC ⊥ BD AB ⊥ BCD KITAB SUKSES matematika SMA.indd 148 28082013 7:42:23 149 matematika BC BD a 2 = = AB = BE = a Sudut antara bidang ACD dan bidang BCD adalah AEB, maka AEB adalah: AB a tanAEB 1 BE a = = = 4 AEB π ∠ = 6. Jawaban: B 2 2 2 2 AH AD DH AD BC dan DH AE AH 1 1 AH 2 cm = + = = = + = 8. Jawaban: C Perhatikan ∆ABD BD 2 = AD 2 + AB 2 BD 2 = a 2 + a 2 BD = a 2 EP = EQ PQ ∕∕ BD, maka: PQ : BD = TE : TA 2 2 1 1 PQ : a 2 a :1 a 2 2 1 1 1 aPQ a 2 2 2 1 a 2 2 PQ 3 a 2 1 PQ a 2 3 = = = = 7. Jawaban: E H D G C B A E F 1 cm 1 cm 1 cm 2 cm D E H F R P G Q A B C 2 S O BD AC 2 2 BO OD AO OC 2 1 1 OS OC 2 2 2 = = = = = = = = 2 2 2 2 BS BO OS 1 BS 2 2 2 1 BS 2 2 5 BS 2 1 BS 10 2 = +   = +     = + = = 9. Jawaban: B E H A B O D F T G C α E A D H T G C F B Q P 1 2 a a a a KITAB SUKSES matematika SMA.indd 149 28082013 7:42:23 150 kitab sukses 2 2 2 2 TG 4 AB BC 4 AC AB BC AC 4 4 AC 4 2 = = = = + = + = 1 1 OC AC 4 2 2 2 2 2 = = = OC 2 2 2 tan CT 8 4 α = = = 10. Jawaban: C T R Q B P S A TP = TQ = TR = TS = 2 PQ = QR = RS = SP = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 TA TB 2 1 3 TA TB AB ATB cos ATATB 3 3 2 cos 2 3 3 3 3 4 cos 23 2 1 cos 6 3 α α α α = = − = + − ∠ = = + − = + − = = = KITAB SUKSES matematika SMA.indd 150 28082013 7:42:23 151 matematika TRANSFORMASI GEOMETRI BAB 18 Definisi Transformasi A. Transformasi adalah pemetaan-pemetaan yang dapat berupa garis, poligon, atau polihedra ataupun ruang-ruang yang di dalamnya ada sebuah objek. Ada empat transformasi dasar yang akan dipelajari pada bab ini, yaitu pergeseran translasi, pencerminan releksi, pemutaran rotasi, dan perkalian dilatasi. Translasi B. Translasi pergeseran adalah transformasi yang memindahkan titik pada bidang. Translasi a b       terhadap A x, y menghasilkan A’x’, y’ dengan: x x a y y b       = +             Refleksi C. Releksi pencerminan merupakan transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan sifat bayangan cermin. Pencerminan dikelompokkan menjadi sebagai berikut: 1. Jika titik A x, y direleksikan terhadap sumbu x. Sumbu x A x, y A x, y → − 2. Jika titik A x, y direleksikan terhadap sumbu y. Sumbu y A x, y A x, y → − 3. Jika titik A x, y direleksikan terhadap garis y = x. Garis y = x A x, y A y, x  → 4. Jika titik A x, y direleksikan terhadap garis y = – x. garis y = x A x, y A y, x − → − − KITAB SUKSES matematika SMA.indd 151 28082013 7:42:23 152 kitab sukses 5. Jika titik A x, y direleksikan terhadap titik 0,0 Titik 0,0 A x, y A x, y  → − − 6. Jika titik A x, y direleksikan terhadap garis x = p Garis x = p A x, y A 2p x, y  → − 7. Jika titik A x, y direleksikan terhadap garis y = q Garis y = q A x, y A x, 2q y  → − Rotasi D. Rotasi perputaran adalah transformasi yang memutar suatu bidang. 1. Jika titik x, y dirotasikan terhadap titik O0, 0 sejauh θ derajat, maka A’x’, y’: x x cos sin sin cos y y θ θ θ θ     −   =             x = x cos θ – y sin θ y = x sin θ + y cos θ 2. Jika titik x, y dirotasikan sebesar θ dengan titik pusat a, b, maka akan diperoleh: x cos sin x a a y sin cos y b b θ θ θ θ − −         = +         −         x – a = x – a cos θ – y – b sin θ x – b = x – a sin θ – y – b cos θ Dilatasi E. Dilatasi adalah transformasi yang digunakan untuk memperkecil atau memperbesar suatu bidang. 1. Jika titik Ax, y didilatasikan terhadap pusat O0, 0 dengan skala M. O, M A x, y A Mx, My  → 2. Jika titik Bx, y didilatasikan terhadap titik pusat Ap, q dengan skala M. A p, q , M B x, y B M x p p, M y q q     → − + − + Komposisi Transformasi dengan Matriks F.

1. Refleksi