6 Suatu graf yang terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka
sisi-sisi tersebut disebut sisi rangkap multiple edges. Graf sederhana simple graph adalah graf yang tidak memuat loop gelung dan sisi rangkap, sedangkan graf tak
sederhana adalah graf yang memuat loopgelung atau sisi rangkap.
2.2 Graf Khusus
Graf khusus adalah graf dengan keunikan dan karakteristik bentuk khusus tersendiri, dimana keunikannya adalah tidak terdapat korespondensi satu-satu antara
himpunan titik dan sisi dengan graf lainnya. Bentuk karakteristik dalam graf tetap simetris meskipun diperluas sampai order n.
Graf lingkaran cycle graph adalah graf sederhana dimana setiap titik yang terdapat pada graf tersebut memiliki derajat dua. Graf cycle dengan n titik dituliskan
dengan C
n
dimana n ≥ 3.
V
1
V
2
V
4
V
1
V
2
V
5
C
4
C
5
V
4
V
3
V
3
Gambar 2.3 Graf Cycle C
4
dan C
5
Graf roda wheel graph yang dituliskan dengan W
n
serta n ≥ 3 yaitu graf
yang menghubungkan suatu titik pusat dengan semua titik vertex pada graf Cycle C
n
. Sehingga banyaknya titik pada graf roda W
n
sebanyak n + 1 dan banyaknya sisi
pada graf roda W
n
sebanyak 2n Fitriana, 2015.
7
V
2
W
5
V
1
V
1
V
2
V
3
V
4
V
4
V
3
V
5
x x
W
4
Gambar 2.4 Graf Roda W
4
dan W
5
Graf lintasan path dengan order n adalah graf yang terdiri dari satu lintasan dan dituliskan dengan P
n
Chartrand Oellermann, 1993. Contoh graf lintasan dapat dilihat pada Gambar 2.5
P
n
V
2
V
3
P
3
V
1
V
2
V
3
V
4
V
n
V
1
Gambar 2.5 Graf Lintasan P
3
dan P
n
Graf tumpukan buku stack book graph dinotasikan dengan B
4 ,n
dimana graf tumpukan buku ini merupakan graf yang terbentuk dari graf C
4
yang diduplikasikan sebanyak n namun bertumpu pada satu sisi kemudian graf tersebut diekspand sampai
ke-n. Sehingga graf tumpukan buku terdiri dari 5n titik dan 9n − 5 sisi , dimana n ≥ 2.
Contoh graf tumpukan buku dapat dilihat pada Gambar 2.6 Fitriana, 2015.
8
B
4 ,2
X
11
X
12
X
13
X
15
X
14
X
21
X
22
X
23
X
24
X
25
Gambar 2.6 Graf Tumpukan Buku B
4 ,2
2.3 Dimensi Metrik dan Non-Isolated Resolving Set
Untuk penelitian dimensi metrik pada graf khusus sebelumnya yaitu Santi 2015 dengan meneliti beberapa graf khusus diantaranya yaitu graf kipas F
n
, graf kipas F
2 ,n
, shack F
4
, v, n , shackF
4
, e, n , amalF
4
, v, n , graf bintang S
n
, graf roda W
n
, gShack W
6
, C
4 1
, n , graf antiprisma H
n
dan graf prisma H
5 ,n
. Dimensi metrik adalah kardinalitas minimum himpunan pembeda resolving
set pada G. Untuk vertices u dan v dalam graf terhubung G, jarak d u, v adalah
panjang dari lintasan terpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan terurut W
= W
1
, W
2
, ..., W
k
dari vertices dalam graf terhubung G dan vertex r pada G adalah vektor-k pasangan k-tuple, r
v|W = dv, W
1
, dv, W
2
, ..., dv, W
k
menunjukkan representasi dari v pada W . Himpunan W dinamakan himpunan
pembeda resolving set G jika vertices G mempunyai representasi berbeda. Himpunan resolving dengan kardinalitas minimum disebut himpunan resolving
minimum dan kardinalitas tersebut menyatakan dimensi metrik dari G yang dinotasikan dengan dimG Harary, 1976.
Sebuah himpunan pembeda W pada graf G dikatakan himpunan pembeda tak terisolasi non-isolated resolving set jika subgraf W diinduksi oleh titik tak terisolasi.
Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda tak terisolasi pada suatu graf dikatakan non-isolated resolving number dan dinotasikan dengan nr
G Chitra dan Arumugam, 2010. Berikut ini contoh operasi dimensi metrik dan non-isolated resolving set:
9
X
1
X
2
X
3
X
4
Gambar 2.7 Graf A
1
Sebagai contoh, Gambar 2.7 memiliki W = {x
1
}, maka representasinya yaitu : r
x
1
|W = 0 r
x
3
|W = 2 r
x
2
|W = 1 r
x
4
|W = 1 karena masih terdapat representasi yang sama yaitu r
x
2
|W dan rx
4
|W , maka W = {x
1
} bukan merupakan himpunan pembeda sehingga tidak dapat ditemukan dimensi metriknya.
X
1
X
2
X
4
X
3
Gambar 2.8 Graf A
2
Apabila pada gambar 2.8 memiliki W = {x
1
, x
3
}, maka representasinya adalah : r
x
1
|W = 0, 2 r
x
3
|W = 2, 0 r
x
2
|W = 1, 1 r
x
4
|W = 1, 1 karena masih terdapat representasi yang sama yaitu r
x
2
|W dan rx
4
|W , maka W = {x
1
, x
3
} juga bukan merupakan himpunan pembeda sehingga tidak dapat ditemukan dimensi metriknya.
10
X
3
X
1
X
4
X
2
Gambar 2.9 Graf A
3
Misalkan pada Gambar 2.9 memiliki W = {x
1
, x
2
}, sehingga representasinya adalah : r
x
1
|W = 0, 1 r
x
3
|W = 2, 1 r
x
2
|W = 1, 0 r
x
4
|W = 1, 1 W
= {x
1
, x
2
} merupakan salah satu himpunan pembeda dikarenakan semua titik pada graf tersebut memiliki representasi yang berbeda terhadap W dan seluruh x
∈ W terhubung dalam W . W
= {x
1
, x
2
} merupakan himpunan pembeda dari graf diatas, dan disebut sebagai himpunan pembeda yang mempunyai jumlah anggota minimum
basis metrik sehingga dimG = 2. W = {x
1
, x
2
} dan juga merupakan non-isolated resolving set
nrG dikarenakan himpunan pembedanya saling terhubung.
X
1
X
2
X
3
X
4
Gambar 2.10 Graf A
4
Misalkan pada Gambar 2.10 memiliki W = {x
1
, x
4
}, sehingga representasinya adalah: r
x
1
|W = 0, 1 r
x
3
|W = 2, 1 r
x
2
|W = 1, 1 r
x
4
|W = 1, 0 W
= {x
1
, x
4
} juga merupakan salah satu himpunan pembeda karena semua titik pada graf tersebut memiliki representasi yang berbeda terhadap W dan seluruh x
∈ W terhubung dalam W . W
= {x
1
, x
4
} merupakan himpunan pembeda dari graf diatas, dan disebut sebagai himpunan pembeda yang mempunyai jumlah anggota minimum
11 basis metrik sehingga dimG = 2. W
= {x
1
, x
4
} dan juga merupakan non-isolated resolving set
nrG dikarenakan himpunan pembedanya saling terhubung.
Observasi 2.1. Misal dim
G dan nrG adalah nilai dimensi metrik dan non-isolated resolving set pada graf terhubung G, maka nilai nr
G ≥ dimG.
Bukti. Nilai dim
G merupakan kardinalitas minimum himpunan pembeda pada G. Sedangkan nr
G merupakan himpunan pembeda minimum dimG dengan syarat semua himpunan pembedanya harus saling terhubung. Sehingga syarat dari nr
G lebih kompleks dari dim
G, dengan demikian nrG ≥ dimG.
2.4 Aplikasi Dimensi Metrik dalam Kehidupan Sehari-hari
