Hasil Dimensi Metrik pada Graf Khusus Pembahasan Kesimpulan Latar Belakang

3.2 Rancangan Penelitian

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Observasi Awal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1 Hasil Dimensi Metrik pada Graf Khusus

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Pembahasan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 BAB 5. PENUTUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1 Kesimpulan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2 Saran

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 xii DAFTAR GAMBAR Halaman 2.1 Contoh Graf dengan |V G| = 10 dan |EG| = 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 a Contoh Graf Sederhana b Contoh graf Tak Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Graf Cycle C 4 dan C 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.4 Graf Roda W 4 dan W 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.5 Graf Lintasan P 3 dan P n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.6 Graf Tumpukan Buku B 4 ,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.7 Graf A 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.8 Graf A 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.9 Graf A 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.10 Graf A 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.11 Graf Representasi Jaringan Speedy Call Center . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1 Skema Langkah Kerja Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Observasi Awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.1 Graf B 4 ,5 dengan W = {x 11 , x 13 , x 15 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Graf B 4 ,5 dengan W = {x 1 i ; 1 ≤ i ≤ 5; i 6= 3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3 Graf B 4 ,5 dengan W ′ = {x ij ; i = 1; 1 ≤ j ≤ 5} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.4 Graf W 7 dengan W = {x 1 , x 3 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.5 Graf W 7 dengan W = {x i ; 1 ≤ i ≤ 2⌊ n−1 2 ⌋, i ∈ ganjil} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.6 Graf W 7 dengan W ′ = {x i ; 1 ≤ i ≤ 2⌊ n−1 2 ⌋, i ∈ ganjil} ∪ {y} . . . . . . . . . . . . . 28 4.7 Graf shack H 2 2 , e, 3 dengan W = {x i } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.8 Graf shack H 2 2 , e, 3 dengan W = {x 1 , y 1 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.9 Graf H n dengan W ′ = {x 12 , x 31 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.10 Graf H n dengan W ′ = {x 12 , x ij , i = n, 1 ≤ j ≤ 2}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.11 Graf G 3 dan G 4 dengan W = {x 1 , x 2 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 xiii 4.12 Graf G 3 dan G 4 dengan W = {x i , 1 ≤ i ≤ 3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.13 Graf G 5 dengan W = {x i ; 1 ≤ i ≤ 3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.14 Graf G 5 dengan W = {x i ; 1 ≤ i ≤ 2n − 2, i ∈ ganjil}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.15 Graf G 5 dengan W ′ = {x i , 1 ≤ i ≤ 2n − 2, i ∈ ganjil} ∪ {y} . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.16 Graf K 3 dengan W = {x 1 , x 2 , y 2 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.17 Graf K 3 dengan W ′ = {x i ; 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {y i ; 2 ≤ i ≤ n} . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.18 Graf H 5 ,2 dengan W = {x 11 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.19 Graf H 5 ,2 dengan W = {x 11 , x 31 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.20 Graf H 5 ,2 dengan W ′ = {x i1 ; 1 ≤ i ≤ 3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 xiv DAFTAR TABEL Halaman 2.1 Tabel 2.1 Hasil Dimensi Metrik dari Penelitian Terdahulu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 xv

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Automatisasi dan digitalisasi merupakan kebutuhan dasar hidup di era modern ini. Automatisasi ditandai dengan adanya pemanfaatan robotik dalam sebuah teknologi, sedangkan digitalisasi ditandai dengan penggunaan komputer dalam keseharian hidup manusia. Salah satu contoh automatisasi dan digitalisasi adalah sistem dimensi, sistem pengendalian dan sistem pengairan dalam pertanian maupun perkebunan. Misal terdapat tanaman buah pada area seluas 1 juta hektar. Proses panen pada tanaman tersebut dilakukan dengan menggunakan robot, sehingga dapat dilakukan secara mudah dan automatis. Pada tahun 1736 lahirlah teori graf melalui makalah tulisan seorang ahli matematikawan berasal dari Swiss yang bernama Leonhard Euler. Euler berhasil memecahkan teka-teki masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal. Konigsberg adalah suatu kota di Prussia bagian Timur Jerman. Permasalahan yang muncul yaitu bagaimana cara seseorang berpindah dari satu tempat ke tempat lain dengan melewati setiap jembatan tepat satu kali. Euler memformulasikan masalah tersebut ke dalam teori graf. Teori graf memiliki kajian yang cukup menarik untuk dipelajari, salah satunya yaitu dimensi metrik metric dimension. Dimensi metrik pertama kali diperkenalkan oleh Slater pada tahun 1975 yang kemudian dikembangkan lagi oleh Harary dan Melter pada tahun 1976. Dimensi metrik itu sendiri adalah kardinalitas terkecil dari himpunan pembeda. Dimensi metrik memiliki konsep himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum yang terbukti berguna untuk pembahasan di bidang lain. Contoh dimensi 2 metrik yang diterapkan dibidang lain yaitu Navigasi Robot dan Pencarian berdasarkan jurnal Khuller, Raghavachari, and Rosenfeld, Landmarks in Graphs, Kimia berdasarkan jurnal Chartrand, dkk, Boundary Vertices in Graph and Poisson and Zhang, the Metric Dimension of Unicyclic Graph dan Optimasi Kombinasi berdasarkan jurnal Sebo and Tannier, On Metric Generator of Graphs Hernando, dkk, 1. Dimensi metrik adalah kardinalitas minimum himpunan pembeda pada G. Jarak dari vertex u ke vertex v, dinotasikan dengan d u, v. Himpunan terurut W = {W 1 , W 2 , W 3 ,..., W k } dari vertices dalam graf terhubung terhadap W adalah k-vektor pasangan k-tuple r v|W = dv, w 1 , dv, w 2 ,..., dv, w k . Sebuah himpunan pembeda W pada graf G dikatakan himpunan pembeda tak terisolasi non-isolated resolving set jika subgraf W diinduksi oleh titik simpul tak terisolasi. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda tak terisolasi pada suatu graf dikatakan non-isolated resolving number yang dinotasikan dengan nr G Chitra dan Arumugam, 2010. Purnomo 2009 mengungkapkan bahwa jika r v|W untuk setiap vertex v e-lemen V G berbeda, maka W disebut himpunan pembeda dari V G. Himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum basis metrik dan kardinalitas dari basis metrik tersebut didefinisikan dimensi metrik dari G yang dinotasikan dengan dim G. Kajian tentang dimensi metrik pada graf ini merupakan salah satu kajian yang sangat diminati. Terbukti dengan banyaknya jurnal penelitian-penelitian yang membahas tentang kajian ini. Berdasarkan hal tersebut, peneliti akan meneliti tentang ”Dimensi Metrik dan Non-Isolated Resolving Number pada Beberapa Graf Khusus”.

1.2 Rumusan Masalah