2 metrik yang diterapkan dibidang lain yaitu Navigasi Robot dan Pencarian
berdasarkan jurnal Khuller, Raghavachari, and Rosenfeld, Landmarks in Graphs, Kimia berdasarkan jurnal Chartrand, dkk, Boundary Vertices in Graph and Poisson
and Zhang, the Metric Dimension of Unicyclic Graph dan Optimasi Kombinasi berdasarkan jurnal Sebo and Tannier, On Metric Generator of Graphs Hernando,
dkk, 1. Dimensi metrik adalah kardinalitas minimum himpunan pembeda pada G.
Jarak dari vertex u ke vertex v, dinotasikan dengan d u, v.
Himpunan terurut W
= {W
1
, W
2
, W
3
,..., W
k
} dari vertices dalam graf terhubung terhadap W adalah k-vektor pasangan k-tuple r
v|W = dv, w
1
, dv, w
2
,..., dv, w
k
. Sebuah
himpunan pembeda W pada graf G dikatakan himpunan pembeda tak terisolasi non-isolated resolving set jika subgraf
W diinduksi oleh titik simpul tak terisolasi. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda tak terisolasi pada suatu
graf dikatakan non-isolated resolving number yang dinotasikan dengan nr G Chitra
dan Arumugam, 2010. Purnomo 2009 mengungkapkan bahwa jika r
v|W untuk setiap vertex v e-lemen V
G berbeda, maka W disebut himpunan pembeda dari V G. Himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum basis
metrik dan kardinalitas dari basis metrik tersebut didefinisikan dimensi metrik dari G yang dinotasikan dengan dim
G. Kajian tentang dimensi metrik pada graf ini merupakan salah satu kajian yang
sangat diminati. Terbukti dengan banyaknya jurnal penelitian-penelitian yang
membahas tentang kajian ini. Berdasarkan hal tersebut, peneliti akan meneliti tentang ”Dimensi Metrik dan Non-Isolated Resolving Number pada Beberapa Graf Khusus”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka dapat dirumuskan masalah dalam penelitian ini yaitu:
3 a.
bagaimana nilai dimensi metrik pada graf tumpukan buku B
4 ,n
, graf gear G
n
, graf shack
H
2 2
, e, n , graf antiprism H
n
, graf roda W
n
, graf biparted K
n
dan graf prisma H
5 ,n
? b.
bagaimana nilai non-isolated resolving set pada graf tumpukan buku B
4 ,n
, graf gear
G
n
, graf shackH
2 2
, e, n , graf antiprism H
n
, graf roda W
n
, graf biparted K
n
dan graf prisma H
5 ,n
?
1.3 Tujuan
Berdasarkan dengan rumusan masalah dan latar belakang di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
a. menentukan nilai dimensi metrik pada graf tumpukan buku
B
4 ,n
, graf gear G
n
, graf shack
H
2 2
, e, n , graf antiprism H
n
, graf roda W
n
, graf biparted K
n
dan graf prisma H
5 ,n
; b.
menentukan nilai non-isolated resolving set pada graf tumpukan buku B
4 ,n
, graf gear
G
n
, graf shackH
2 2
, e, n , graf antiprism H
n
, graf roda W
n
, graf biparted K
n
dan graf prisma H
5 ,n
.
1.4 Manfaat
Manfaat yang didapatkan dari penelitian ini adalah: a.
menambah pengetahuan baru dibidang teori graf, khususnya dimensi metrik dan non-isolated resolving number pada graf khusus;
b. memotivasi peneliti-peneliti lain untuk meneliti dimensi metrik dan non-isolated
resolving number pada graf khusus dan graf operasi dengan jenis graf yang berbeda; c.
hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan untuk mengembangkan wawasan teori graf dalam masalah dimensi metrik.
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Terminologi Dasar Graf
Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan V G, EG
dimana V G merupakan sebuah himpunan berhingga tak kosong dari titik vertex,
sedangkan E G adalah sebuah himpunan sisi edge yang menghubungkan dua buah
titik yang sisinya berbentuk garis lurus atau lengkung Santi, 2015. Suatu graf yang ditulis dengan G
p, q merupakan himpunan dari p buah titik dan q buah sisi. Dalam sebuah graf terdapat istilah order dan juga size, dimana banyaknya titik vertex pada
graf G disebut order dari G yang dinotasikan dengan p atau |V G|, sedangkan size
merupakan banyaknya sisi edge pada graf G yang dinotasikan dengan q atau |EG|
Iswadi, 2011. Santi 2015 mengungkapkan bahwa apabila terdapat sisi edge yang lebih dari satu dan menghubungkan dua buah titik disebut sisi ganda paralel, selain
itu sebuah sisi disebut loop apabila sisi tersebut berawal dan berakhir pada titik vertex yang sama.
Pada Gambar
2.1 merupakan
sebuah graf
dengan himpunan
titik V
G = {v
1
, v
2
, v
3
, ..., v
10
} dan himpunan sisi EG = {e
1
, e
2
, e
3
, e
4
, e
5
, e
6
, e
7
, e
8
, e
9
, e
10
, e
11
, e
12
, e
13
, e
14
, e
15
}.
5
e
10
e
9
v
10
v
1
e
1
v
2
e
2
v
4
v
3
e
4
v
7
e
3
e
5
e
8
e
11
e
12
e
13
e
14
e
15
v
5
v
6
e
6
e
7
v
8
v
9
Gambar 2.1 Contoh Graf dengan |V G| = 10 dan |EG| = 15
Fitriana 2015 mengungkapkan bahwa apabila dalam suatu graf G dengan dua buah titik v
1
, v
2
terhubung, maka titik tersebut dikatakan bertetangga adjacent. Sebuah titik v
1
dinamakan incident dengan sisi e
1
apabila v
1
termasuk titik ujung dari e
1
Hartsfield dan Ringel, 1990. Sebagai contoh, pada Gambar 2.1 v
2
adjacent dengan v
1
dan v
3
,tetapi v
2
tidak adjacent dengan v
4
, sedangkan v
1
dan v
2
incident dengan
v
1
v
2
. Derajat degree yaitu banyaknya sisi yang incident pada suatu titik dan dinotasikan dengan d
i
index i menunjukkan titik ke-i pada graf. Derajat suatu titik dibagi menjadi dua yaitu derajat terkecil dan derajat terbesar. Derajat terkecil dari
suatu graf G adalah banyaknya minimal sisi yang incident pada titik v
i
di graf G yang dituliskan dengan δ
G. Derajat terbesar pada suatu graf G adalah banyaknya maksimal sisi yang incident di titik v
i
pada graf G dituliskan dengan ∆G Santi,
2015. Sebagai contoh, pada Gambar 2.1 memiliki δ G = 2 dan ∆G = 4.
e
6
e
4
b a
e
2
e
5
e
3
e
2
V
2
V
3
V
4
V
1
V
1
V
2
V
3
V
4
e
1
e
3
e
4
e
1
Gambar 2.2 a Contoh Graf Sederhana b Contoh graf Tak Sederhana
6 Suatu graf yang terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka
sisi-sisi tersebut disebut sisi rangkap multiple edges. Graf sederhana simple graph adalah graf yang tidak memuat loop gelung dan sisi rangkap, sedangkan graf tak
sederhana adalah graf yang memuat loopgelung atau sisi rangkap.
2.2 Graf Khusus
