Tujuan Penelitian Maksimum dan Minimum Lokal Metode Pengali Lagrange

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Optimasi adalah suatu bidang dari matematika terapan yang mempelajari masalah-masalah yang bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum suatu fungsi, dengan memenuhi kendala-kendala yang ada. Optimasi linear khusus mempelajari hal- hal yang berkaitan dengan meminimumkan atau memaksimumkan fungsi-fungsi linear, dengan kendala yang juga linear berupa persamaan atau pertidaksamaan. Optimasi linear muncul menjadi suatu model matematika pada situasi perang dunia II, ketika Dantzig 1947 mengajukan penggunaan metode simpleks untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear. Saat itu kata pemrograman tidak berarti penulisan program komputer, seperti penggunaan secara umum kata pemrograman saat ini. Untuk menghindarkan kerancuan, pada saat ini makin banyak orang yang lebih senang menggunakan kata optimasi daripada pemrograman Silalahi 2011. Sebuah organisasi dalam bidang matematika optimasi, Mathematical Programming Society, sekarang telah berubah nama menjadi Mathematical Optimization Society. Daerah fisibel dari masalah optimasi linear adalah suatu polihedron. Metode simpleks bergerak dari verteks ke verteks untuk memperoleh solusi optimal. Metode ini dirancang sedemikian rupa sehingga nilai dari fungsi objektif berubah secara monoton ke arah nilai optimal. Penemuan Dantzig telah menginspirasi banyak penelitian dalam matematika, khususnya bidang optimasi. Metode simpleks merupakan suatu algoritme yang efisien untuk menyelesaikan masalah optimasi linear Nematollahi Terlaky 2008. Terdapat banyak variasi dari metode simpleks. Variasi-variasi tersebut dibedakan oleh aturan untuk memilih verteks yang akan dikunjungi yang biasa disebut aturan pivot. Keefisienan metode simpleks untuk menyelesaikan banyak problem optimasi linear, memunculkan pertanyaan saat itu: apakah ada masalah optimasi linear yang memerlukan iterasi yang eksponensial bila diselesaikan dengan metode simpleks. Per- tanyaan ini dijawab oleh Klee dan Minty pada tahun 1972, dengan memberikan suatu contoh masalah optimasi linear yang memiliki pertidaksamaan dan memerlukan iterasi Silalahi 2011. Hal ini memacu penelitian-penelitian untuk menemukan algoritme optimasi linear yang memerlukan iterasi yang polinomial Silalahi 2011. Metode elipsoid yang diusulkan oleh Khachiyan pada tahun 1979 dapat menyelesaikan masalah optimasi linear dengan kompleksitas polinomial. Meskipun metode elipsoid memiliki kompleksitas polinomial, namun dalam penerapan secara komputasi metode ini tidak efisien. Kekonvergenan metode ini lebih lambat dari metode simpleks Silalahi 2011. Metode proyektif yang dipaparkan oleh Karmarkar pada tahun 1984 dapat menyelesaikan masalah optimasi linear dengan kompleksitas yang lebih efisien daripada metode elipsoid. Metode proyektif Karmarkar memulai revolusi dalam bidang optimasi karena memunculkan sesuatu yang disebut interior-point methods metode – metode titik-interior. Berbeda dengan metode simpleks yang bergerak dari verteks ke verteks, metode –metode titik-interior bergerak di interior dari domain untuk menemukan nilai optimal Silalahi 2011. Ada beberapa variasi dari metode titik-interior, di antaranya metode path-following, dengan penentuan solusi optimal menggunakan central path. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas algoritme primal-dual Newton-penuh dengan central path untuk menentukan solusi optimal dari masalah optimasi linear. Sumber utama karya ilmiah ini adalah buku berjudul Interior Point Methods for Linear Optimization Roos et al. 2006.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari karya ilmiah ini ialah sebagai berikut: 1. menjelaskan dan mengonstruksi kembali langkah Newton-penuh pada metode titik- interior primal-dual, 2. menganalisis pergerakan central path terhadap masalah optimasi linear berdasarkan metode titik-interior primal- dual dengan .. langkah -ln Newton-penuh dan mengimplementasikannya dengan MATLAB. .... II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Maksimum dan Minimum Lokal

Salah satu penggunaan turunan adalah penentuan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Pada subbab ini, turunan parsial akan digunakan untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi dua variabel. Misalkan fungsi adalah fungsi dua variabel yang memuat variabel dan . Andaikan nilai variabel berubah-ubah sedangkan nilai variabel tetap, dapat dikatakan dengan adalah konstanta sehingga fungsi dapat dipandang sebagai fungsi dengan variabel tunggal , yaitu . Andaikan juga fungsi mempunyai turunan di sehingga dapat dinotasikan yang berarti turunan parsial dari terhadap di . Definisi 1 Maksimum Lokal Fungsi dua variabel mempunyai maksi- mum lokal di jika ketika dekat untuk semua titik di dalam suatu cakram dengan pusat . Stewart 2000 Definisi 2 Minimum Lokal Fungsi dua variabel mempunyai minimum lokal di jika ketika dekat untuk semua titik di dalam suatu cakram dengan pusat . Stewart 2000 Teorema 1 Jika mempunyai maksimum atau minimum lokal di dan turunan parsial orde pertama dari ada di maka dan . Stewart 2000 Teorema 2 Uji Turunan Kedua Misalkan turunan parsial kedua dari kontinu pada cakram dengan pusat serta dan . Misalkan 1. Jika dengan maka adalah nilai minimum lokal. 2. Jika dengan maka adalah nilai maksimum lokal. 3. Jika maka bukan nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal. Stewart 2000

2.2 Metode Pengali Lagrange

Metode pengali Lagrange adalah suatu prosedur untuk menentukan maksimum atau minimum fungsi objektif terhadap kendala persamaan. Misalkan diberikan masalah pengoptimuman sebagai berikut maks terhadap , dengan dan adalah fungsi dari vektor berukuran . Fungsi Lagrange dari masalah ini ialah ∑ dengan variabel adalah pengali Lagrange. Syarat perlu untuk titik stasioner dari adalah turunan parsial pertama dari fungsi Lagrange sama dengan nol Jensen Bard 2002

2.3 Metode Newton