Central Path Langkah Newton-Penuh

∑ Kemudian fungsi diturunkan terhadap dengan ∑ Variabel dual merupakan pengali Lagrange untuk masalah primal dan variabel primal merupakan pengali Lagrange untuk masalah dual. Kendala pelengkap diganti menjadi , agar solusi sistem dari sistem yang baru mendekati solusi sistem 3.1, dengan parameter adalah sembarang bilangan positif dan adalah vektor yang semua unsurnya bernilai satu. Kendala ini disebut juga kondisi-pemusat pada Silalahi 2011. Dengan demikian, sistem 3.1 menjadi sistem yang baru , , , , 3.2 , 4 dengan vektor-vektor , sedangkan vektor-vektor , serta matriks adalah matriks berpangkat baris penuh. Vektor adalah vektor yang semua unsurnya bernilai satu dengan . Sistem ini merupakan kondisi optimal untuk masalah minimisasi Silalahi 2011. Jika sistem 3.2 memiliki solusi untuk beberapa nilai positif dari parameter maka daerah fisibel primal mengandung vektor positif, dan daerah fisibel dual mengandung pasangan dengan vektor positif sehingga daerah fisibel dan daerah fisibel mengandung vektor positif. Hal tersebut merupakan kondisi fisibel titik-interior. Demikian juga sebaliknya, jika daerah fisibel dan mengandung vektor positif maka sistem 3.2 memiliki solusi untuk setiap positif. Hal ini merupakan konsekuensi dari teorema berikut. Teorema 4 Misalkan . Daerah fisibel dan mengandung vektor positif jika dan hanya jika sistem 3.2 memiliki solusi yang tunggal. Roos et al. 2006.

3.2 Central Path

Pada kondisi fisibel titik-interior, sistem 3.2 memiliki solusi tunggal untuk setiap nilai positif dari . Solusi ini dinotasikan sebagai , dan . Solusi adalah -center dari dan solusi adalah -center dari . Himpunan { } merupakan suatu kurva di yang disebut central path dari . Demikian pula dengan himpunan { } merupakan suatu kurva di yang disebut central path dari Silalahi 2011. Jika maka masing-masing konvergen ke analytic center dari dan .Definisi dari analytic center adalah sebagai berikut. Definisi 27 Analytic Center Misalkan notasi { } adalah yang memaksimumkan nilai fungsi . Analytic center primal adalah { } sedangkan analytic center dual adalah { } Silalahi 2011 Contoh 5 Misalkan diberikan masalah optimasi linear berikut: minimumkan terhadap Masalah pada Contoh 5 dapat ditulis dalam bentuk standar dual sebagai berikut: maksimumkan terhadap ... Penentuan analytic center dual adalah sebagai berikut { } dengan [ ] [ ] { [ ] [ ] [ ] [ ] } sehingga { } menjadi dengan . Berdasarkan Teorema 1 untuk menentukan nilai maksimum diperoleh Titik kritis fungsi adalah . Selanjutnya uji titik kritis dengan uji turunan kedua sebagai berikut dan . Kemudian ditentukan . lalu ditentukan , sehingga dari Teorema 2 titik adalah titik maksimum lokal. Jadi nilai analytic center dual dari Contoh 5 adalah .

3.3 Langkah Newton-Penuh

Langkah Newton-penuh merupakan metode yang dapat digunakan untuk mencari pendekatan penyelesaian sistem 3.2, untuk suatu yang tetap. Misalkan diberikan pasangan solusi fisibel primal-dual . Akan didefinisikan, pencarian arah , , dan sehingga memenuhi 3.2. Dengan perkataan lain, 5 6 3.3 7 dengan , , , , , , , , dan . Pada persamaan 7 berlaku hasil kali Hadamard. Diketahui dan . Dari persamaan 5 diperoleh, Dari persamaan 6, Dari persamaan 7, sehingga sistem 3.3 setara dengan .8 .9 3.4 10 Pada sistem 3.4, persamaan 10 adalah persamaan taklinear karena mengandung bentuk sehingga metode Newton diperlukan untuk mengubah bentuk persamaan 10 menjadi persamaan linear sebagai berikut penghitungan lengkap lihat Lampiran 1 Jadi sistem 3.4 dapat ditulis kembali sebagai sistem berikut 11 3.5 Sedangkan solusi sistem 3.5 dapat diketahui dari teorema berikut. Teorema 5 Solusi Sistem 3.5 Sistem 3.5 memiliki solusi yang tunggal, yaitu Roos et al. 2006 Solusi , , dan dinamakan arah Newton primal-dual. Dengan mengambil langkah sepanjang arah Newton primal-dual, diperoleh nilai , , dan yang baru dengan notasi , , dan sehingga diperoleh solusi yang baru sebagai berikut 3.6 Solusi , , dan disebut langkah Newton-penuh. 3.4 Transformasi Vektor , dan ke Vektor dan dalam Sistem 3.5 Pada proses central path menuju solusi optimal, transformasi vektor , dan menjadi dan diperlukan untuk membangkitkan suatu urutan titik dalam lingkungan central path. Dalam melakukan transformasi ini, berlaku hasil kali Hadamard. Sama halnya dengan hasil kali Hadamard, yaitu perkalian unsur dengan unsur yang seletak componentwise antara dua vektor, hasil bagi dari dua vektor berukuran sama juga berlaku pembagian unsur dengan unsur yang seletak componentwise antara dua vektor. Sebelum melakukan transformasi pada sistem 3.5, terlebih dahulu akan didefinisikan vektor-vektor , , , dan matriks √ ⁄ . Pendefinisian vektor-vektor ini berdasarkan Roos et al. tahun 2006. √ √ ...12 √ √ √ √ ...13 √ √ ...14 Persamaan 12 dapat ditulis sebagai √ √ √ kemudian √ √ disubstitusi ke per- samaan 13, diperoleh √ √ √ √ √ √ √ Misalkan , kemudian substitusi persamaan 12, vektor menjadi √ √ √ √ Misalkan √ dinotasikan sebagai vektor . Dengan manipulasi aljabar diperoleh √ √ √ √ ...15 Persamaan 12 dapat ditulis kembali sebagai √ √ √ Kemudian √ √ disubstitusi ke per- samaan 13, diperoleh √ √ √ √ Misalkan , kemudian substitusi persamaan 12, vektor menjadi √ √ √ √ Misalkan √ dinotasikan sebagai vektor . Dengan manipulasi aljabar diperoleh √ √ √ √ ...16 Dari persamaan 8 dengan substitusi persamaan 15 diperoleh Kemudian substitusi persamaan 13 menjadi √ Dari persamaan 9 dengan substitusi persamaan 14 dan persamaan 16 diperoleh, √ √ Kemudian substitusi persamaan 13menjadi √ √ Selanjutnya persamaan 11 dengan substitusi persamaan 15 dan persamaan 16 diperoleh, Lalu substitusi vektor menjadi √ sehingga sistem 3.5 setara dengan sistem hasil transformasi berikut bukti Lampiran 2 3.7 3.5 Langkah Newton-Penuh dari Titik di Daerah Fisibel ke -center Solusi , , dan dapat ditentukan berdasarkan pemisalan berikut. Misalkan persamaan ketiga pada sistem 3.7 dapat ditulis sebagai bukti Lampiran 3 ...17 persamaan 1 dapat ditulis sebagai ...18 dan persamaan 3 menjadi ...19 Selanjutnya, akan ditentukan solusi , , dan sebagai berikut. Dari persamaan 5 diperoleh, Kemudian substitusi persamaan 18 diperoleh Lalu substitusi persamaan 15 diperoleh √ √ Dari persamaan 6 diperoleh, Kemudian substitusi persamaan 19, √ ...20 Selanjutnya substitusi dari persamaan 17 diperoleh √ √ ...21 sehingga diperoleh solusi , , dan yang tunggal sebagai berikut √ √ √ √ √ Solusi , , dan ini yang akan digunakan dalam algoritme dan program MATLAB pada subbab selanjutnya. Serupa dengan solusi 3.6, sistem solusi 3.8 menggunakan solusi , , dan seperti penurunan langkah Newton-penuh dari titik di daerah fisibel ke -center sehingga diperoleh solusi baru sebagai berikut 3.8 Solusi , , dan disebut langkah Newton-penuh dari titik di daerah fisibel ke - center. 3.6 Algoritme untuk Metode Titik-Interior Primal-Dual Metode titik-interior primal-dual merupa- kan salah satu metode iteratif untuk menyelesaikan masalah optimasi linear. Proses iterasi pada algoritme untuk metode titik-interior primal-dual menghasilkan titik- titik pada interior daerah fisibel yang akan membentuk central path menuju solusi optimal. Lema 1 Langkah Newton primal-dual adalah fisibel jika dan hanya jika serta langkah Newton primal-dual adalah fisibel strictly jika dan hanya jika Roos et al. 2006 Teorema 6 Jika langkah Newton primal-dual adalah fisibel maka . Roos et al. 2006 Vektor dan merupakan langkah se- panjang arah Newton primal-dual dan adalah banyaknya variabel dari masalah primal-dual. Sebelum itu, akan diperkenalkan notasi- notasi untuk iterasi-iterasi yang berurutan ini. Misalkan vektor adalah titik yang terletak pada daerah fisibel yang dihasilkan saat iterasi ke- . Vektor dan adalah titik yang terletak pada daerah fisibel yang dihasilkan saat iterasi ke- . Parameter adalah bilangan positif yang dihasilkan saat iterasi ke- . , , dan berturut-turut adalah selisih antara ke , ke , dan ke . Simbol dan adalah parameter. Algoritme atau langkah-langkah untuk mendapatkan solusi optimal dengan metode titik-interior primal-dual adalah sebagai berikut. Input : Matriks , vektor untuk masalah primal, vektor , vektor untuk masalah dual, , , dan . Output : Gambar central path, banyaknya ite- rasi, dan nilai solusi optimal. Langkah 1. Pilih titik sembarang pada daerah fisibel yang ditandai dengan dan di , di , positif, , , dan . Langkah 2. Dengan langkah Newton-penuh untuk positif. Tentukan dan sehingga . Langkah 3. Selama lanjut ke Langkah 4; selainnya, STOP. Langkah 4. Hitung langkah Newton-penuh pada solusi 3.8 Langkah 5. Perbarui solusi, Selanjutnya , kembali ke Langkah 3. Jensen Bard 2002 IV APLIKASI DAN IMPLEMENTASI Algoritme untuk metode titik-interior primal-dual diimplementasikan dengan mem- buat program pada MATLAB. Program MATLAB dari algoritme untuk metode titik- interior primal-dual terdapat pada Lampiran 4, Lampiran 5, dan Lampiran 6. Input dari program ini adalah matriks koefisien dari kendala, vektor pembatas dari kendala, vektor fungsi objektif, titik awal sembarang di interior, dan sembarang nilai , sedangkan outputnya adalah banyak iterasi dan gambar dari central path. Pembangkitan metode titik- interior primal-dual mengguna-kan fasilitas penulisan program M-File pada MATLAB yang telah disediakan oleh Silalahi tahun 2011. Untuk contoh kasus ke-1, misalkan diberikan masalah optimasi linear berikut: Min terhadap . Masalah pada contoh ke-1 dapat juga ditulis dalam bentuk masalah standar dual berikut: Maks terhadap . Kendala dapat ditulis dalam matriks sebagai [ ] [ ] [ ] [ ] Lalu inputkan ke dalam program serta titik awal sembarang di interior diberikan [ ] , , dan . Selanjutnya, akan dibandingkan untuk nilai , , dapat dilihat pada Gambar 2, Gambar 3, dan Gambar 4 berikut Gambar 2 Pola titik di sekitar central path ketika dari contoh kasus ke-1. Gambar 3 Pola titik di sekitar central path ketika dari contoh kasus ke-1. Gambar 4 Pola titik di sekitar central path ketika dari contoh kasus ke-1. Nilai yang diinputkan ke dalam program diubah-ubah sedemikian rupa sehingga terlihat lompatan titik-titik di sekitar central path. Nilai berada di antara selang 0 dan 1. Ketika nilai banyak iterasi sebesar 123, terjadi iterasi sebesar 19, dan hanya terdapat 9 iterasi. Hal ini dapat juga dilihat dari pola titik-titik berwarna biru yang terletak di sekitar central path. Contoh kasus ke-2, misalkan diberikan masalah optimasi linear berikut: Min terhadap . Masalah pada contoh ke-2 dapat juga ditulis dalam bentuk masalah standar dual berikut: Maks terhadap . Kendala dapat ditulis dalam matriks sebagai [ ] [ ] [ ] [ ] lalu inputkan ke dalam program serta titik awal sembarang di interior diberikan [ ] , , dan . Selanjutnya, akan dibandingkan untuk nilai , , dapat dilihat pada Gambar 5, Gambar 6, dan Gambar 7 berikut Gambar 5 Pola titik di sekitar central path ketika dari contoh kasus ke-2. Gambar 6 Pola titik di sekitar central path ketika dari contoh kasus ke-2. Gambar 7 Pola titik di sekitar central path ketika dari contoh kasus ke-2. Nilai yang diinputkan ke dalam program diubah-ubah sedemikian rupa sehingga terlihat lompatan titik-titik di sekitar central path. Nilai berada di antara selang 0 dan 1. Ketika nilai banyak iterasi sebesar 123, terjadi iterasi sebesar 19, dan hanya terdapat 9 iterasi. Hal ini dapat juga dilihat dari pola titik-titik berwarna biru yang terletak di sekitar central path. Fungsi objektif pada kedua contoh kasus tersebut adalah . Fungsi objektif ini diminimumkan untuk mendapatkan hasil yang optimal. Baik contoh kasus ke-1 maupun contoh kasus ke-2 memiliki solusi optimal di dengan nilai optimal fungsi objektif sebesar . Titik awal yang ditentukan di interior pada contoh kasus ke-1 adalah . Titik awal ini tepat dengan titik analytic center untuk takhingga. Namun titik awal yang diberikan pada contoh kasus ke-2, yaitu , tidak tepat dengan titik analytic center untuk takhingga sehingga terjadi pencarian titik menuju titik analytic center ketika takhingga. Hal ini dapat juga dilihat dari Gambar 5 hingga Gambar 7. ....... .............. V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan