Metode Newton Aljabar Linear

II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Maksimum dan Minimum Lokal

Salah satu penggunaan turunan adalah penentuan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Pada subbab ini, turunan parsial akan digunakan untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi dua variabel. Misalkan fungsi adalah fungsi dua variabel yang memuat variabel dan . Andaikan nilai variabel berubah-ubah sedangkan nilai variabel tetap, dapat dikatakan dengan adalah konstanta sehingga fungsi dapat dipandang sebagai fungsi dengan variabel tunggal , yaitu . Andaikan juga fungsi mempunyai turunan di sehingga dapat dinotasikan yang berarti turunan parsial dari terhadap di . Definisi 1 Maksimum Lokal Fungsi dua variabel mempunyai maksi- mum lokal di jika ketika dekat untuk semua titik di dalam suatu cakram dengan pusat . Stewart 2000 Definisi 2 Minimum Lokal Fungsi dua variabel mempunyai minimum lokal di jika ketika dekat untuk semua titik di dalam suatu cakram dengan pusat . Stewart 2000 Teorema 1 Jika mempunyai maksimum atau minimum lokal di dan turunan parsial orde pertama dari ada di maka dan . Stewart 2000 Teorema 2 Uji Turunan Kedua Misalkan turunan parsial kedua dari kontinu pada cakram dengan pusat serta dan . Misalkan 1. Jika dengan maka adalah nilai minimum lokal. 2. Jika dengan maka adalah nilai maksimum lokal. 3. Jika maka bukan nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal. Stewart 2000

2.2 Metode Pengali Lagrange

Metode pengali Lagrange adalah suatu prosedur untuk menentukan maksimum atau minimum fungsi objektif terhadap kendala persamaan. Misalkan diberikan masalah pengoptimuman sebagai berikut maks terhadap , dengan dan adalah fungsi dari vektor berukuran . Fungsi Lagrange dari masalah ini ialah ∑ dengan variabel adalah pengali Lagrange. Syarat perlu untuk titik stasioner dari adalah turunan parsial pertama dari fungsi Lagrange sama dengan nol Jensen Bard 2002

2.3 Metode Newton

Metode Newton adalah salah satu prosedur iteratif untuk menyelesaikan masalah tak- linear. Misalkan persamaan adalah persamaan taklinear dengan merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut. Fungsi adalah fungsi yang kontinu dan terturunkan. Pada solusi eksak , nilai fungsi dapat dinyatakan sebagai dan nilai dari fungsi turunan pertama adalah . Nilai adalah solusi yang diperoleh pada iterasi ke- . Misalkan , turunan dapat diartikan sebagai laju perubahan terhadap . Andaikan berubah dari ke maka perubahan pada adalah . Perubahan ini diperlukan untuk mengubah nilai fungsi menuju nol. Selanjutnya, metode Newton dapat diturunkan dari ekspansi deret Taylor orde pertama dari di sekitar , sebagai berikut sehingga Tetapkan pendekatan sama dengan 0 sehingga didapat Titik adalah solusi pendekatan fungsi . Jika titik awal cukup dekat dengan maka nilai dari akan mendekati dengan . Metode Newton dapat juga digunakan untuk mengubah bentuk suatu fungsi taklinear menjadi bentuk fungsi linear dari fungsi multivariabel. Misalkan persamaan adalah persamaan taklinear dengan vektor dari persamaan multivariabel tersebut dan matriks Jacobi pada dinyatakan sebagai berikut kemudian dengan menggunakan deret Taylor orde pertama di sekitar titik dan dengan menetapkan diperoleh dengan dan . Titik adalah solusi pendekatan fungsi . Jika titik cukup dekat dengan titik maka nilai dari akan mendekati dengan Jensen Bard 2002. Contoh 1 Diketahui suatu fungsi taklinear dengan hampiran awal . Metode Newton dapat digunakan untuk mengubah bentuk fungsi taklinear menjadi fungsi linear sebagai berikut dengan dan saat sehingga diperoleh Jadi fungsi taklinear dapat diubah menjadi fungsi linear .

2.4 Aljabar Linear

Definisi 3 Ruang Vektor Misalkan adalah himpunan dengan pendefinisian operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar. Setiap pasangan elemen dan di dalam terdapat suatu elemen yang tunggal juga berada di dalam serta setiap elemen di dalam dan setiap skalar terdapat yang tunggal juga berada di dalam . Himpunan dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar ini dinamakan ruang vektor jika memenuhi aksioma berikut 1. , . 2. , . 3. Terdapat sehingga , . 4. Untuk setiap , terdapat sehingga . 5. , dan skalar . 6. , dan skalar serta skalar . 7. , dengan skalar dan skalar . 8. , . Elemen dalam adalah vektor sedangkan simbol menyatakan vektor nol. Leon 1998 Contoh 2 Misalkan dengan menyatakan himpunan vektor berukuran dengan entri bilangan real. Misalkan vektor [ ], [ ] elemen dari . Didefinisikan operasi penjumlahan [ ] dan operasi perkalian dengan skalar [ ] [ ] maka himpunan adalah ruang vektor. Contoh 3 Misalkan menyatakan himpunan matriks berukuran dengan entri bilangan real. Misalkan matriks , dengan [ ] [ ] Didefinisikan operasi penjumlahan [ ] dan operasi perkalian dengan skalar [ ] maka himpunan adalah ruang vektor. Definisi 4 Ruang Bagian Jika adalah himpunan bagian takkosong dari suatu ruang vektor dan memenuhi syarat-syarat berikut 1. jika untuk sembarang skalar , 2. jika dan , maka disebut ruang bagian dari . Leon 1998 Definisi 5 Kombinasi Linear Misalkan adalah vektor- vektor dalam suatu ruang vektor . Jumlah vektor-vektor yang berbentuk dengan skalar-skalar disebut kombinasi linear dari . Leon 1998 Definisi 6 Rentang Misalkan adalah vektor- vektor dalam suatu ruang vektor . Himpunan semua kombinasi linear dari disebut rentang span dari vektor-vektor yang dituliskan sebagai Rentang . Leon 1998 Definisi 7 Himpunan Perentang Himpunan { } disebut himpunan perentang untuk jika dan hanya jika setiap vektor dalam dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari . Leon 1998 Definisi 8 Bebas Linear Vektor-vektor dalam ruang vektor disebut bebas linear jika mengakibatkan semua skalar-skalar harus sama dengan nol. Leon 1998 Definisi 9 Basis Vektor-vektor mem- bentuk basis untuk ruang vektor jika dan hanya jika 1. bebas linear, 2. merentang . Leon 1998 Definisi 10 Dimensi Misalkan adalah ruang vektor. Jika memiliki basis yang terdiri atas vektor, maka dikatakan memiliki dimensi . Leon 1998 Definisi 11 Ruang Baris Misalkan matriks berukuran dan diketahui ruang vektor menyatakan himpunan semua vektor berukuran dengan entri bilangan real. Ruang bagian dari yang direntang oleh vektor-vektor baris dari disebut ruang baris dari . Leon 1998 Definisi 12 Pangkat Pangkat dari matriks adalah dimensi dari ruang baris . Leon 1998 Definisi 13 Pangkat Penuh dan Pangkat Baris Penuh Pangkat penuh dari suatu matriks dengan baris dan kolom adalah sedangkan pangkat baris penuh dari matriks adalah . Leon 1998 2.5 Matriks Definisi 14 Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks yang berukuran , dengan { Leon 1998 Definisi 15 Invers dari Suatu Matriks Suatu matriks yang berukuran dikatakan taksingular jika terdapat matriks sehingga . Matriks dikatakan invers multiplikatif dari matriks . Invers multiplikatif dari matriks taksingular secara sederhana disebut juga sebagai invers dari matriks dan dinotasikan dengan . Leon 1998 Definisi 16 Transpos dari suatu Matriks Transpos dari suatu matriks yang berukuran adalah matriks yang berukuran yang didefinisikan oleh untuk setiap dan . Transpos dari dinotasikan oleh . Leon 1998 Definisi 17 Matriks Simetris Suatu matriks berukuran disebut matriks simetris jika . Leon 1998

2.6 Matriks Diagonal