Pendekatan Barrier dan Kondisi Fisibel

Definisi 24 Daerah Fisibel Daerah fisibel dari masalah optimasi linear adalah himpunan titik-titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada optimasi linear tersebut. Winston 2004 Definisi 25 Solusi Optimal Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal pada optimasi linear adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif paling besar sedangkan untuk masalah minimisasi, solusi optimal pada optimasi linear adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif paling kecil. Winston 2004

2.10 Bentuk Standar Primal dan Bentuk

Standar Dual Masalah optimasi linear dalam bentuk standar diberikan sebagai berikut min { } dengan vektor , serta adalah matriks berpangkat baris penuh. Masalah disebut masalah primal. Masalah dual dari masalah primal diberikan sebagai berikut maks { } dengan dan . Masalah disebut masalah dual. Daerah fisibel dari masalah didefinisi- kan sebagai { } sedangkan daerah fisibel dari didefinisi- kan sebagai { } Daerah interior masalah didefinisikan sebagai berikut { } sedangkan daerah interior dari masalah didefinisikan sebagai { } Silalahi 2011 Proposisi 1 Dualitas Lemah Misalkan adalah solusi fisibel untuk dan adalah solusi fisibel untuk maka . disebut kesenjangan dualitas. Akibatnya, adalah batas atas untuk nilai optimal dari , jika ada, serta adalah batas bawah untuk nilai optimal dari , jika ada. Selanjutnya, jika kesenjangan dualitas adalah nol maka adalah solusi optimal dari dan adalah solusi optimal dari . Roos et al. 2006 Teorema 3 Dualitas Jika dan fisibel maka kedua masalah tersebut mempunyai solusi optimal; kemudian, dan adalah solusi optimal jika dan hanya jika . Roos et al. 2006 Definisi 26 Central Path Central path adalah suatu kurva yang bergerak dari bagian dalam pada daerah fisibel menuju solusi optimal. Silalahi 2011 Gambar 1 Central path. III HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Pendekatan Barrier dan Kondisi Fisibel

Titik-Interior Berdasarkan Teorema 3, penentuan solusi optimal dari dan setara dengan penyelesaian sistem berikut: , , 1 , , 2 3.1 , 3 dengan vektor-vektor , sedangkan vektor-vektor , serta matriks adalah matriks berpangkat baris penuh. Hasil kali pada sistem 3.1 adalah hasil kali Hadamard dari vektor dan vektor . Simbol adalah vektor nol. Perkalian dapat diartikan sebagai perkalian untuk setiap . Sistem 3.1 adalah kondisi optimal untuk masalah primal-dual. Persamaan 1 pada sistem 3.1 adalah kendala fisibel untuk masalah primal dan persamaan 2 merupakan kendala fisibel untuk masalah dual . Persamaan 3 dari sistem 3.1 adalah kendala pelengkap. Kendala taknegatif dalam kondisi fisibel membuat penyelesaian dari masalah menjadi taktrivial, hanya metode iteratif yang dapat memperoleh solusi dari sistem linear yang melibatkan kendala pertaksamaan Silalahi 2011. Persamaan 3 dari sistem 3.1 merupakan persamaan taklinear sehingga diperlukan suatu pendekatan untuk menentukan solusi agar sistem 3.1 menjadi optimal. Salah satu pendekatan yang dapat digunakan adalah pendekatan barrier. Ide pendekatan barrier diperkenalkan oleh Frisch pada tahun 1955 Roos et al. 2006. Metode ini bermula dari suatu titik di interior dari pertidaksamaan dan , lalu dikonstruksi barrier sedemikian rupa sehingga variabel tidak menyentuh batas daerah fisibel. Penambahan ke fungsi objektif merupakan salah satu cara dari pendekatan barrier ini. Penambahan menyebabkan nilai fungsi objektif mengalami kenaikan atau penurunan tanpa batas apabila atau . Kesulitan dari ide ini ialah jika titik optimal berada pada batas, misalnya satu atau lebih . Untuk mengatasi kesulitan ini, digunakan parameter untuk menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi objektif dari bentuk barrier. Masalah primal-barrier ditulis sebagai berikut minimumkan ∑ terhadap dan masalah dual-barrier dapat ditulis sebagai berikut maksimumkan ∑ terhadap . Masalah tersebut memiliki fungsi objektif yang taklinear dengan kendala persamaan linear, sehingga dapat diselesaikan dengan metode Lagrange untuk tetap. Misalkan adalah fungsi Lagrange masalah primal. ∑ Fungsi diturunkan secara parsial terhadap dan dengan . Pertama, fungsi diturunkan terhadap dengan ∑ ∑ Kemudian fungsi diturunkan terhadap dengan ∑ Fungsi adalah fungsi Lagrange masalah dual. ∑ Fungsi diturunkan secara parsial terhadap , , dan dengan . Pertama, fungsi diturunkan terhadap dengan Selanjutnya fungsi diturunkan terhadap dengan ∑ Kemudian fungsi diturunkan terhadap dengan ∑ Variabel dual merupakan pengali Lagrange untuk masalah primal dan variabel primal merupakan pengali Lagrange untuk masalah dual. Kendala pelengkap diganti menjadi , agar solusi sistem dari sistem yang baru mendekati solusi sistem 3.1, dengan parameter adalah sembarang bilangan positif dan adalah vektor yang semua unsurnya bernilai satu. Kendala ini disebut juga kondisi-pemusat pada Silalahi 2011. Dengan demikian, sistem 3.1 menjadi sistem yang baru , , , , 3.2 , 4 dengan vektor-vektor , sedangkan vektor-vektor , serta matriks adalah matriks berpangkat baris penuh. Vektor adalah vektor yang semua unsurnya bernilai satu dengan . Sistem ini merupakan kondisi optimal untuk masalah minimisasi Silalahi 2011. Jika sistem 3.2 memiliki solusi untuk beberapa nilai positif dari parameter maka daerah fisibel primal mengandung vektor positif, dan daerah fisibel dual mengandung pasangan dengan vektor positif sehingga daerah fisibel dan daerah fisibel mengandung vektor positif. Hal tersebut merupakan kondisi fisibel titik-interior. Demikian juga sebaliknya, jika daerah fisibel dan mengandung vektor positif maka sistem 3.2 memiliki solusi untuk setiap positif. Hal ini merupakan konsekuensi dari teorema berikut. Teorema 4 Misalkan . Daerah fisibel dan mengandung vektor positif jika dan hanya jika sistem 3.2 memiliki solusi yang tunggal. Roos et al. 2006.

3.2 Central Path