Pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai
ukuran kedekatan.
Ukuran kedekatan ini digunakan pada pemrograman,
untuk memperoleh ukuran kedekatan sistem 3.6 dinyatakan dalam sistem lain yang
setara.
Ukuran kedekatan digunakan untuk menjamin bahwasanya pada setiap iterasi
selalu diperoleh ,
,
x y s
yang fisibel dan juga
digunakan untuk
menganalisis kompleksitas
algoritme. Pembahasan
mengenai analisis kompleksitas algoritme, di luar cakupan karya ilmiah ini.
3.4 Ukuran Kedekatan
Dalam proses menuju solusi optimal, dengan menggunakan langkah full-Newton,
dibangkitkan barisan titik-titik di sekitar central path. Diperlukan suatu alat untuk
mengukur kedekatan dari , ,
x y s ke
center
. Sebelum
mendefinisikan ukuran
kedekatan ini, sistem linear 3.6 diubah, dengan
penskalaan ,
, dan
x y
s ke
, dan
x y
s
d d d
sebagai berikut:
, ,
,
x y
s
v x y
v s d
d d
x s
dengan
.
xs v
Jika didefinisikan
diag D
x s
maka bila dipaparkan secara eksplisit persamaan
pertama dari sistem 3.6 sama dengan
, A
x
,
x
A diag
x d
v
1 ,
x
A diag
x d
xs
,
x
A diag
x d
s
, 3.8
x
AD
d
kemudian persamaan kedua dari sistem 3.6 menjadi
,
T
A
y s
,
T y
s
A
s d
d v
,
T y
s
A diag
v d
d s
, 1
T y
s
A diag
xs d
d s
2
,
T y
s
A diag
xs d
d s
,
T y
s
A diag
x d
d s
, 3.9
T y
s
AD
d d
selanjutnya persamaan terakhir sistem 3.6 sama dengan
,
s x x s e xs
,
x s
x s
s d
x d
e xs
v v
,
x s
s x d
x s d
e xs xs
xs
,
x s
xs d xs d
e xs
,
x s
xs d
d e xs
,
x s
e xs
d d
xs
,
x s
xs d
d xs
1
. 3.10
x s
d d
v v
Setelah didapatkan hasilnya, maka dari persamaan
3.8 , 3.9 , dan
3.10 diperoleh sistem:
1
, ,
.
x T
y s
x s
AD AD
d d
d d
d v
v
3.11
Dua persamaan pertama dari sistem 3.11 menunjukkan bahwa vektor
dan
x s
d d
merupakan ruang nol dan ruang baris dari matriks
AD . Kedua ruang ini adalah ortogonal, sehingga
dan
x s
d d
orthogonal, yang berimplikasi
2 2
2 2
1
= .
x s
x s
d d
d d
v v
Perhatikan bahwa
x
d ,
s
d ,dan juga
y
d
adalah nol jika dan hanya jika
-1
v - v ,
yang hanya terjadi jika
v = e
, dan kemudian , dan
x y s
bertepatan dengan
center
masing-masing. Oleh karena itu untuk mengukur jarak dari , ,
x y s ke
center
, digunakan
, ;
x s
yang didefinisikan oleh
2 1
1 , ;
: :
. 2
x s v
v v
3.12 Untuk sebarang
, neighborhood
dari
center
diberikan oleh himpunan
, , :
, , , , ;
. P
D
x y s x
y s x s
IV STUDI KASUS
Pada bagian ini akan diberikan dua contoh kasus yang berbeda pada masalah
Klee-Minty KM, dengan mengambil
1 3
,
2 n
dan y
. Kedua contoh kasus ini telah dijamin oleh ukuran kedekatan, sehingga
hasil yang didapatkan akan selalu berada di daerah fisibel.
Contoh kasus pertama untuk kasus tanpa kendala redundant:
2
min y kendala
1
1, y
1 2
1
1 1
1 .
3 3
y y
y
Dengan menggunakan definisi analytic center, untuk menentukan analytic center maka kendala masalah KM tersebut dinyatakan sebagai berikut:
1 1
0, 1
0, y
y
2 1
1 2
1 0,
3 1
1 0.
3 y
y y
y
Kemudian digunakan rumus untuk mencari analytic center:
1 1
1 2
1 1
2
log log1
1 A =argmaks
1 1 1 1 log
3 1
log1 3
y
y y
y y
y y
Untuk memperoleh titik analytic center turunkan persamaan 4.1 terhadap
1
y
dan
2
y
1 1
A y
1 1
2 1
1 2
1 1
1 1
3 3
0, 1
1 1
1 3
3 y
y y
y y
y
1 2
A y
2 1
1 2
1 1
0. 1
1 1
3 3
y y
y y
Dengan menyelesaikan persamaan 4.1 diperoleh titik analytic center
1 2
0.317, 0.5 .
y y
1 1
1 2
1 1
2
1 1
A argmaks
log log 1
log log 1
4.1 3
3
y
y y
y y
y y
Gambar 1 menunjukkan masalah KM tanpa penambahan kendala redundant. Gambar 1 diperoleh dengan menggunakan MATLAB R2008b dan memperlihatkan central path bergerak
sepanjang
0,
, ketika
central path konvergen ke analytic center di titik 0.317, 0.5 dan jika
maka central path konvergen ke solusi optimal di titik 0,0.
Gambar 1. Masalah KM tanpa penambahan kendala redundant
Untuk contoh kasus kedua akan diberikan penambahan kendala redundant
1
y dan
2
y , dengan besarnya pengulangan
ditentukan menggunakan
parameter
1 :
4 1
n
,
2 1 2
2 4
2 :
, ,
, .
T n n
n
n h
Parameter di atas digunakan oleh Nematollahi dkk dalam jurnalnya Nematollahi dkk. 2008,
dengan menggunakan parameter tersebut Nematollahi dkk. membuktikan bahwa central
path akan mengunjungi cukup dekat ke semua verteks dari daerah fisibel, namun penggunaan
parameter tersebut masih secara teori. Pada contoh kasus kedua ini akan ditunjukkan
penggunaan parameter tersebut secara terapan. Setelah
dilakukan penghitungan
didapatkan besarnya pengulangan kendala redundant
24, 1728
T
h
, sehingga masalah KM yang diperoleh sebagai berikut:
2
min y kendala
1
1 y
1 2
1
1 1
1 3
3 y
y y
1
y diulang 24 kali,
2
y diulang 1728
kali.
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9 1
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9 1
Dengan menggunakan definisi analytic center, untuk menentukan analytic center maka kendala masalah KM tersebut dinyatakan sebagai berikut:
1 1
0, 1
0, y
y
2 1
1 2
1 0,
3 1
1 0,
3 y
y y
y
1 2
0, 24 kali
0. 1728 kali
y y
Kemudian digunakan rumus untuk mencari analytic center:
1 1
2 1
1 2
2 1
1 2
2
log log1
1 log
3 1
log1 3
A =argmaks 1 1
1 log
24 log
log 1728
log
y
y y
y y
y y
y y
y y
untuk memperoleh titik analytic center turunkan persamaan 4.2 terhadap
1
y
dan
2
y
2 1
A y
1 1
1 2
1 1
2
1 1
1 1
24 3
3 1
1 1
1 3
3 y
y y
y y
y y
2 2
A y
2 2
1 1
2
1 1
1728 0.
1 1
1 3
3 y
y y
y y
Dengan menyelesaikan persamaan 4.2 diperoleh titik analytic center
1 2
0.043, 0.985 .
y y
2 1
1 2
1 1
2 1
2
1 1
argmaks log log 1
log log 1
24 log 3
3 1728log
4.2
y
A y
y y
y y
y y
y
Gambar 2 menunjukkan masalah KM dengan penambahan kendala redundant
1
y 24
kali dan
2
y 1728 kali.
Gambar 2. Masalah KM dengan penambahan kendala redundant. Dapat dilihat pada Gambar 2 semua
kendala redundant masalah KM tersebut menyentuh
daerah fisibel
dan terjadi
perubahan pada central path sehingga central path mengunjungi cukup dekat ke semua
verteks dari daerah fisibel, yang diakibatkan adanya
penambahan kendala
redundant
1
y 24 kali dan
2
y 1728 kali.
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9 1
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9 1
V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
