2.2 Optimasi Linear Definisi 4 Optimasi linear
Optimasi linear
adalah kegiatan
merencanakan untuk mendapatkan hasil yang optimal. Model optimasi linear OL meliputi
pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear.
Nash Sofer 1996 Suatu OL mempunyai bentuk standar
seperti yang didefinisikan sebagai berikut: Definisi 5 Bentuk Standar suatu OL
Suatu optimasi linear dikatakan berbentuk standar jika dapat dituliskan sebagai:
Minimumkan z = c
T
x terhadap Ax = b
x ≥ 0
dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa
matriks berukuran m × n, yang disebut juga
sebagai matriks kendala. Nash Sofer 1996
Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran n adalah vektor yang
memiliki dimensi ukuran n × 1. Definisi 6 Daerah Fisibel
Daerah fisibel suatu OL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala
dan pembatasan tanda pada OL tersebut.
Winston 2004 Definisi 7 Solusi Optimal
Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal suatu OL adalah suatu titik dalam daerah
fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. untuk masalah minimisasi, solusi optimal
suatu OL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil.
Winston 2004
2.3 Dualitas
Terkait dengan suatu masalah optimasi linear, terdapat masalah optimasi linear lain
yang berpadanan. Kedua masalah ini dikenal dengan masalah primal dan masalah dual dari
optimasi linear. Berikut ini adalah contoh bentuk normal dari masalah primal untuk
kasus maksimisasi
Fungsi objektif maks =
1 1
+
2 2
+ +
. Kendala
11 1
+
12 2
+ +
1 1
,
1 1
+
2 2
+ +
, ≥ 0 = 1,2, … , .
Berikut ini adalah bentuk normal dari masalah dual untuk kasus maksimisasi di atas:
Fungsi objektif min
=
1 1
+
2 2
+ +
. Kendala
11 1
+
21 2
+ +
1
≥
1
,
1 1
+
2 2
+ +
≥ , ≥ 0 = 1,2, … , .
Winston 2003 Semua
masalah optimasi
linear bisa
ditransformasikan menjadi bentuk standar dengan cara menambahkan variabel baru.
Bentuk standar dari masalah primal P adalah :
min
�
: � = , ≥ 0 ….. P
dengan ∈ ℝ
�
, ∈ ℝ ,
∈ ℝ dan
� ∈ ℝ
×
. Bentuk standar dari masalah dual D adalah:
maks
�
∶ �
�
+ � = , � ≥ 0 …..D
dengan � ∈ ℝ dan ∈ ℝ .
Proposisi 2.1 Jika x dan y,s masing-masing fisibel untuk
P dan D, maka
�
−
�
=
�
� ≥ 0.
�
�
disebut kesenjangan dualitas, berakibat
�
adalah batas atas untuk nilai optimal dari D, jika ada, serta
�
adalah batas bawah untuk nilai optimal dari P, jika ada. Selanjutnya,
jika kesenjangan dualitas adalah nol maka x adalah solusi optimal dari P dan y,s adalah
solusi optimal dari D. Bukti dapat dilihat di Roos 2006.
Roos et al. 2006
2.4 Matriks Definisi 8 Ortogonalitas di
Kategori