Kondisi Optimal bagi Optimasi Linear

III PEMBAHASAN

3.1 Kondisi Optimal bagi Optimasi Linear

Daerah fisibel dari masalah primal P dan masalah dual   D dinotasikan oleh  dan  :     : : , 0 , : , : , 0 . T        x Ax b x y s A y s c s   Jika  adalah himpunan kosong maka P infisibel, selainnya fisibel. Selanjutnya akan digunakan istilah yang sama untuk masalah dual D . Daerah interior dari  dan  dinotasikan oleh o  dan : o      : : , 0 , : , : , 0 . o o T A A        x x b x y s y s c s   Teorema 3.1 Jika   P dan   D fisibel maka kedua masalah memiliki solusi optimal; kemudian  x  dan   ,  y s  , merupakan solusi optimal jika dan hanya jika T  x s . Bukti : Mengacu pada proposisi 2.1, x fisibel untuk P dan y,s fisibel untuk D, maka � − � = � � ≥ 0. Dimana � batas atas untuk nilai optimal dari D dan � batas bawah untuk nilai optimal dari P, untuk memperoleh solusi optimal haruslah � = � sehingga � � = 0. Berdasarkan pada Teorema 3.1, menemukan solusi optimal dari dan P D adalah setara dengan menyelesaikan sistem : , 0, , 0, . T A A            x b x y s c s xs 3.1 Dengan xs adalah perkalian komponen Hadamard product dari vektor dan x s dan adalah vektor nol. Ketiga persamaan pada sistem 3.1 adalah kondisi optimal untuk optimasi linear. Baris pertama adalah kendala fisibel untuk masalah primal P dan baris kedua menunjukkan kendala fisibel untuk masalah dual D . Persamaan terakhir merupakan kondisi pelengkap. Kondisi pelengkap adalah taklinier dan mengakibatkan sistem 3.1 sulit untuk diselesaikan. 3.2 Central path Agar sistem 3.1 dapat diselesaikan, kondisi pelengkap dapat diganti dengan   xs e , dimana  adalah sebarang bilangan positif dan e adalah vektor yang semua unsurnya bernilai satu. Kendala baru ini disebut kondisi pemusatan pada  . Sehingga dihasilkan sistem: , 0, , 0, . T A A             x b x y s c s xs e 3.2 Jika sistem 3.2 memiliki sebuah solusi untuk suatu  0, maka dan   adalah himpunan tak kosong. Pada kondisi ini dan   memenuhi kondisi titik interior. Jika dan   memenuhi kondisi titik interior maka sistem 3.2 memiliki sebuah solusi untuk sebarang  0. Oleh karena itu jika sistem 3.2 memiliki sebuah solusi untuk suatu  0, maka sistem 3.2 memiliki solusi untuk semua  0. Dan ini terjadi jika dan hanya jika kondisi titik interior terpenuhi. Ulasan yang lebih lengkap dan pembuktian pernyataan di atas dapat dilihat pada buku Roos 2006. Solusi untuk setiap  dinotasikan dengan  x ,  y , dan .  s solusi dari  x disebut -center  dari P dan solusi dari ,   y s disebut -center  dari D . Jika  bergerak sepanjang 0,  maka  x membentuk suatu kurva pada  yang disebut central path dari P dan ditulis dengan       : 0, .     x Dengan cara yang sama, ,   y s membentuk suatu kurva pada  yang disebut central path dari   D dan ditulis dengan { , : }     y s . Jika    maka  x ,  y dan  s konvergen ke solusi dari sistem 3.1, artinya central path konvergen ke himpunan solusi optimal P dan D . Pada sisi lain, jika    maka dan ,    x y s konvergen ke apa yang disebut analytic center P dan D . Definisi formal dari analytic center P dan D adalah sebagai berikut. Jika kondisi titik interior dipenuhi maka: i Analytic center primal adalah argmaks x ℯ � log : ∈  dan ii Analytic center dual adalah argmaks s ℯ � log � : � ∈  .

3.3 Langkah Newton