Jika
maka
x ,
y dan
s
konvergen ke solusi dari sistem 3.1, artinya central path konvergen ke himpunan solusi
optimal P dan
D . Pada sisi lain, jika
maka dan ,
x y
s
konvergen ke apa yang disebut analytic center P dan
D . Definisi formal dari analytic center
P dan D adalah sebagai berikut.
Jika kondisi titik interior dipenuhi maka: i Analytic
center primal
adalah argmaks
x
ℯ
�
log : ∈
dan ii Analytic
center dual
adalah argmaks
s
ℯ
�
log � : � ∈
.
3.3 Langkah Newton
Diberikan pasangan primal-dual fisibel ,
x ,
y s
, ingin ditetapkan arah pencarian
x , y , dan
s
sehingga
x x
, ,
y y
s s
memenuhi sistem 3.2. Dengan kata lain,
, ,
.
T
A A
x x
b y
y s
s c
x x s
s e
Karena dan
T
A A
x b
y s c , jika
dijelaskan secara eksplisit maka sistem ini akan menjadi :
Untuk persamaan pertama dari sistem tersebut akan menjadi:
, A
x x
b
, A
A
x x
b
, A
b x
b
, A
x b b
, 3.3 A
x
kemudian untuk persamaan kedua menjadi: ,
T
A
y y
s s
c
,
T T
A A
y y s
s c
,
T T
A A
y s y
s c
,
T
A
c y
s c
. 3.4
T
A
y s
selanjutnya persamaan terakhir dari sistem tersebut akan menjadi:
, ,
. 3.5
x x s
s e
xs x s s x
x s e
x s s x x s
e xs
Dari persamaan 3.3, 3.4, dan 3.5 diperoleh sistem:
, ,
.
T
A A
x y
s s x
x s x s
e xs
Persamaan ketiga pada sistem di atas merupakan persamaan taklinear, karena faktor
kuadrat
ΔxΔs
. Untuk menyelesaikan sistem di
atas, persamaan
ketiga dilinearkan
menggunakan metode
Newton sebagai
berikut:
, f
x s
s x x s x s
e xs
1 1
dengan ,
dan saat
J k
x x
x s
s s
x x
d s
s
sehingga
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
, ,
,
dengan hampiran awal f
f J
x s
x s
x s
d x
x s x
x s x
s e
xs s x
x s x
s e
xs s
s x
x s
s x
s x
s x x s
x s
e xs
e xs
s x s
s x x s
x
1 1
1 1
1 1
1
s e
xs s x
x s e
xs s x
x s e
xs s x
x s e
xs
setelah dilinearkan persamaan ketiga menjadi
s x x s e xs
Sehingga diperoleh sistem linear sebagai berikut:
, , 3.6
.
T
A A
x y
s s x
x s e
xs
Matriks koefisien dari sistem linear tersebut adalah:
dengan diag
X
x dan
diag , S
s serta
vektor
dan x
s
positif. Solusi dari sistem persamaan linear
, ,
x y
s dinamakan arah
primal-dual langkah
Newton. Dengan
mengambil langkah disekitar arah ini, ditemukan iterasi baru
, ,
x y s
. Iterasi
baru ini diberikan oleh
, , 3.7
.
x x
x y
y y
s s
s
Iterasi 3.7 disebut dengan langkah full- Newton.
Metode interior primal-dual dengan langkah full-Newton disajikan seperti di
bawah ini:
Input:
parameter akurasi ϵ 0;
parameter kedekatan
1;
, ,
x y s
fisibel,
T
x s
n
dan
, ;
; x
y
parameter update barrier
, 0 1.
begin
: ; :
; : ;
; x
x s s y
y
while n
ϵ do
: 1
; :
; :
; :
; x
x x
y y
y s
s s
endwhile end
T
A A
I S
X
x y
s e
xs
Pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai
ukuran kedekatan.
Ukuran kedekatan ini digunakan pada pemrograman,
untuk memperoleh ukuran kedekatan sistem 3.6 dinyatakan dalam sistem lain yang
setara.
Ukuran kedekatan digunakan untuk menjamin bahwasanya pada setiap iterasi
selalu diperoleh ,
,
x y s
yang fisibel dan juga
digunakan untuk
menganalisis kompleksitas
algoritme. Pembahasan
mengenai analisis kompleksitas algoritme, di luar cakupan karya ilmiah ini.
3.4 Ukuran Kedekatan
