Latar Belakang Metode interior primal-dual dengan langkah full-newton: Studi kasus masalah klee-minty dengan kendala redundant taknegatif

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Optimasi dalam matematika mengacu pada pemillihan elemen terbaik dari beberapa himpunan alternatif yang tersedia. Dalam kasus yang paling sederhana berarti memecahkan masalah-masalah dimana orang berusaha meminimumkan atau memaksimumkan fungsi yaitu dengan cara yang sistematis memilih nilai-nilai variabel integer atau real dari himpunan yang diperbolehkan Nematollahi 2008. Salah satu bagian dari optimasi adalah optimasi linear yang mempelajari suatu masalah dimana seseorang ingin meminimumkan atau memaksimumkan suatu fungsi tujuan yang berbentuk linear, dengan kendala-kendala yang dinyatakan dalam persamaan danatau pertidaksamaan linear. Optimasi Linear OL muncul menjadi model matematika setelah perang dunia ke-2, yaitu ketika Dantzig memaparkan metode simpleks untuk menyelesaikan masalah optimasi linear. Daerah fisibel dari masalah OL adalah suatu polihedron. Untuk memperoleh solusi optimal, metode simpleks bergerak dari verteks ke verteks. Metode ini dirancang sedemikian rupa sehingga dalam pergerakan dari satu verteks ke verteks selanjutnya, nilai fungsi tujuan berubah secara monoton menuju nilai optimal. Kesuksesan metode simpleks telah menimbulkan beberapa pertanyaan. Salah satu pertanyaan pada saat itu adalah: apakah ada masalah optimasi linear yang memerlukan iterasi eksponensial bila diselesaikan dengan metode simpleks. Pertanyaan tersebut dijawab pada tahun 1972 oleh Klee dan Minty dengan memberikan contoh masalah OL dengan 2n pertidaksamaan, dimana metode simpleks memerlukan 2 1 n  iterasi untuk menye- lesaikan permasalahan Klee-Minty Silalahi 2011. Kelemahan metode simpleks, memacu penelitian untuk mencari metode lain yang dapat menyelesaikan masalah OL dengan waktu polinomial seiring bertambahnya jumlah pertidaksamaan. Pada tahun 1978 Kachiyan mengusulkan metode ellipsoid. Metode ini merupakan algoritme waktu polinomial pertama untuk masalah OL. Tetapi hasil yang diperoleh tidak seperti yang diharapkan, dalam aplikasinya metode simpleks lebih baik dari metode ellipsoid. Terobosan yang sungguh-sungguh efektif untuk menyelesaikan masalah OL terjadi pada tahun 1984, ketika Karmarkar mengusulkan metode waktu polinomial yang dikenal dengan metode projektif Karmarkar untuk menyelesaikan masalah OL. Secara teori waktu komputasi dan aplikasinya metode Karmarkar lebih baik dari metode ellipsoid. Karmarkar memulai revolusi dalam bidang optimasi, dengan munculnya penelitian- penelitian pengoptimuman dengan menggunakan metode interior MI. Tidak seperti metode simpleks, metode interior bergerak di dalam interior dari domain secara monoton menuju solusi optimal Silalahi 2011. Dalam perkembangannya Metode interior dikembangkan dengan beberapa pendekatan, yang dikelompokkan dalam tiga kategori,yaitu: metode affine scaling, metode potential reduction barrier dan metode central trajectory path-following Mitchell 1998. Nematollahi dkk, kemudian memberi- kan contoh kasus-kasus terburuk untuk penyelesaian optimasi linear menggunakan metode interior, yaitu dengan menambahkan kendala-kendala redundant pada masalah Klee-Minty KM. Penelitian-penelitian mereka dapat dilihat pada Tabel di bawah, kolom pertama menyatakan jenis kendala redundant yang digunakan dan kolom kedua menyatakan jumlah kendala redundant. Dengan adanya penambahan kendala redundant ini dapat mengubah central path dan analytic center. Tipe kendala redundant Jumlah pertidaksam aan Referensi 1 k k y y d     2 6 2 n O n Deza dkk. 2006 1 k k y y d     3 2 n O n Deza dkk. 2009 1 k k k y y d     3 2 2 n O n Deza dkk. 2008 k y d   2 2 n O n Nematollahi dkk. 2008a k y  2 2 n O Nematollahi dkk. 2008b Tabel tipe-tipe kendala redundant Dalam karya ilmiah ini akan diamati kendala redundant Klee-Minty tipe k y  kendala redundant tipe lima pada Tabel, yaitu semua kendala redundantnya menyentuh daerah fisibel, yang akan di analisa menggunakan metode interior MI dengan pendekatan central trajectory path- following. Dalam pengamatan masalah Klee- Minty beserta kendala redundantnya digunakan bantuan MATLAB R2008b. 1.2 Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk: i Membahas metode interior primal- dual dengan langkah full-Newton ii Mengamati pergerakan central path pada masalah KM bila ditambahkan kendala redundant tipe k y  , berdasarkan metode interior primal- dual dengan langkah full-Newton menggunakan bantuan MATLAB R2008b. II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linear Definisi 1 Fungsi Linear Suatu fungsi f dalam variabel-variabel 1 2 , ,..., n x x x adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta 1 2 , ,..., n c c c , f dapat ditulis sebagai 1 2 , ,..., n f x x x  1 1 c x  2 2 c x  ... n n c x  . Winston 2004 Definisi 2 Pertidaksamaan dan Persama- an Linear Untuk sebarang fungsi linear f dan sembarang bilangan c , pertidaksamaan 1 2 , ,..., n f x x x c  dan 1 f x 2 , x ,... , n x c  adalah pertidaksamaan linear, sedangkan suatu persamaan 1 f x 2 , x ,... , n x c  merupakan persamaan linear. Winston 2004 Definisi 3 Sistem Persamaan Linear Suatu sistem persamaan linear SPL dari persamaan dan variabel adalah sistem dengan bentuk 11 1 + 12 1 + + 1 = 1 , 21 1 + 22 1 + + 2 = 2 , 1 1 + 2 1 + + = . dengan dan 1 , 1 adalah bilangan-bilangan real dan 1 , 2 , …, adalah variabel. SPL ini disebut SPL berukuran × . Leon 2001 Selain itu SPL juga dapat ditulis dalam bentuk � = dengan matriks � berukuran × dan vektor kolom b berukuran × 1, seperti berikut ini: � = 11 12 1 21 22 2 ⋱ 1 2 dan b = 1 2 , matriks � disebut matriks koefisien dan vektor disebut vektor konstanta. Penyelesaian SPL tersebut adalah vektor kolom berukuran × 1 yaitu x = 1 2 , yang memenuhi semua persamaan linear dalam sistem. Vektor yang demikian disebut vektor penyelesaian. Leon 2001

2.2 Optimasi Linear Definisi 4 Optimasi linear