Osilator Harmonik yang Terganggu

23 Hˆ Teori gangguan dapat digunakan ketika operator Hamiltonian menunjukan energi total potensial osilator harmonik yang terganggu dan dituliskan sebagai H H H ′ + = ˆ ˆ ˆ 2.73 2 2 2 2 1 2 ˆ x m m p H ω + = dengan adalah hamiltonian tak terganggu dan sebagai gangguan. Dalam kasus ini nilai eigen dan fungsi eigen dari diketahui mengacu pada persamaan 2.61 dan 2.63. 4 ˆ x H δ = ′ ˆ H n E n u Nilai eigen dan fungsi eigen diasumsikan berbentuk deret orde 0,1,2,… dalam gangguan n E n u H ′ ˆ . Sehingga persamaan 2.73 dapat dituliskan kembali menjadi H H H ′ + = ˆ ˆ ˆ β 2.74 dengan β adalah konstanta, sehingga nilai eigen dan fungsi eigen dapat dituliskan sebagai n E n u ... 2 2 1 + + + = n n n n E E E E β β 2.75 ... 2 2 1 + + + = n n n n u u u u β β 2.76 Pada persamaan 2.75 dan 2.76 dapat dilihat bahwa pada saat orde nol nilai eigen dan fungsi eigen tidak tergantung pada n E n u β . Persamaan energi nilai eigen diberikan Rae, 1985 n n n u E u H = ˆ 2.77 Substitusi persamaan 2.75 dan 2.76 ke persamaan 2.77 menghasilkan 24 = + + + ′ + ... ˆ ˆ 2 2 1 n n n u u u H H β β β ... ... 2 2 1 2 2 1 + + + + + + n n n n n n u u u E E E β β β β ... ˆ 2 2 1 + + + n n n u u u H β β = + + + ′ + ... 2 2 1 n n n u u u H β β β ... 2 2 1 + + + n n n n u u u E β β ... 2 2 1 1 + + + + n n n n u u u E β β β ... ... 2 2 1 2 2 + + + + + n n n n u u u E β β β = ′ + ′ + ′ + + + n n n n n n u H u H u H u H u H u H 2 2 1 2 2 1 ... ˆ ˆ ˆ β β β β β β β ... 2 2 1 + + + n n n n n n u E u E u E β β ... 2 2 1 1 1 1 + + + + n n n n n n u E u E u E β β β β β ... ... 2 2 2 2 1 2 2 2 2 + + + + + n n n n n n u E u E u E β β β β β 2.78 Persamaan 2.78 dapat dituliskan menjadi 2.79 n n n u E u H ˆ = n n n n n n u E u E u H u H 1 1 1 ˆ ˆ + = + ′ 2.80 2.81 n n n n n n n n u E u E u E u H u H 2 1 1 2 2 1 ˆ ˆ + + = + ′ Orde pertama dan orde kedua pada persamaan 2.79, 2.80, dan 2.81 adalah faktor koreksi tingkat-tingkat energi dan fungsi eigen. Jika persamaan 2.79 Faktor koreksi orde pertama persamaan 2.80 didapat dengan menunjukkan bahwa adalah kombinasi linier dari fungsi eigen yang tidak terganggu n u 1 n u PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 25 2.82 k nk k n u a u 1 Σ = substitusi persamaan 2.82 ke 2.80 menghasilkan k n k nk k n k nk k n u E u a E u a H u H 1 ˆ ˆ + Σ = Σ + ′ 2.83 dengan menggunakan relasi 2.79 persamaan 2.83 menjadi n k n nk k n n u E E a u E H 1 ˆ − Σ = − ′ 2.84 Persamaan 2.84 dikalikan dengan dan diintegralkan dengan diketahui bahwa adalah orthonormal, sehingga dihasilkan n u ∗ k u nn n H E ′ = ˆ 1 2.85 dengan τ d u H u H n n nn ˆ ˆ ∫ ∗ = ′ 2.86 Substitusi persamaan 2.61 dan 2.63 ke 2.86 dihasilkan tingkat energi dasar dari potensial harmonik yang terganggu dx x m m H x m m E ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ 2 4 1 2 4 1 10 2 exp ˆ 2 exp h h h h ω π ω ω π ω dx x m H x m m ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ 2 2 2 1 2 exp ˆ 2 exp h h h ω ω π ω 2.87 Hˆ dengan operator hamiltonian pada osilator harmonik yang terganggu adalah 4 2 2 2 2 2 2 1 2 ˆ x x m x m H δ ω + + ∂ ∂ − = h . 2.88 Substitusi persamaan 2.88 ke 2.87 menghasilkan dx x m x m E ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ∞ ∞ − 2 4 2 1 10 exp h h ω δ π ω 2.89 26 Persamaan 2.89 dapat dituliskan menjadi dx x m x m E ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ∞ 2 4 2 1 10 exp 2 h h ω δ π ω . 2.90 2 α ω = h m dengan , maka persamaan 2.90 menjadi 2 2 2 x y α = Jika dituliskan dx y x m E 2 4 2 1 10 exp 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ∞ δ π ω h 2.91 2 4 4 h ω m y x = Untuk memudahkan perhitungan, didefinisikan dan dy m dx 2 1 1 h ω = kemudian disubstitusikan ke persamaan 2.91 sehingga menghasilkan dy m m y y m E 2 1 2 4 2 2 1 10 1 exp 2 h h h ω ω δ π ω ∫ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dy y y m 4 2 2 2 2 2 1 exp 1 2 ∫ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = δ ω π h 2.92 P dP dy 2 = Jika dan 2 4 P y = maka persamaan 2.92 menjadi p dP P P m E 2 exp 1 2 2 2 2 2 2 1 10 ∫ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = δ ω π h dP P P P m 2 1 2 2 2 2 2 1 exp 1 ∫ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = δ ω π h 27 dP P P m 2 3 2 2 2 2 1 exp 1 ∫ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = δ ω π h 2.93 Bagian integral persamaan 2.93 didefinisikan sebagai fungsi Gamma, dengan π 4 3 2 3 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ sehingga didapat persamaan tingkat energi dasar untuk osilator harmonik yang terganggu δ ω 2 2 2 10 4 3 m E h = 2.94 Persamaan 2.61 dan 2.94 dijumlahkan, sehingga didapatkan energi total δ ω ω 2 2 2 4 3 2 1 m n E n h h + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2.95 Substitusi persamaan 2.95 ke persamaan 2.64 menghasilkan ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + = − − 1 4 3 2 1 2 2 ωβ ωβ ω δ ω h h h h e e m E 2.96 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah penelitian studi pustaka.

3.2. Sarana Penelitian

Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku yang berhubungan dengan termodinamika, mekanika kuantum, dan teori kinetik gas yang terdapat di UPT Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.

3.3. Langkah-langkah penelitian

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Menelusuri bahan-bahan mengenai persamaan keadaan gas ideal, persamaan keadaan gas real dan mekanika kuantum. 2. Menentukan energi rata-rata molekul gas yang dianggap mengikuti potensial osilator harmonik dan potensial osilator harmonik yang terganggu. 3. Menjabarkan persamaan keadaan gas ideal dan gas real. 4. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah dilakukan. 28 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil Perhitungan

4.1.1 Persamaan Keadaan Gas Ideal

Sebagaimana dituliskan pada persamaan 2.70 bahwa energi rata-rata osilator harmonik telah diketahui. Jika dituliskan kT 1 = β maka persamaan 2.70 menjadi ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = 1 1 2 1 kT e E ω ω h h 4.1 Deret kT e ω h pada persamaan 4.1 diekspansikan menjadi ... 2 1 1 2 2 2 2 + + + = T k kT e kT ω ω ω h h h 4.2 Pada suhu tinggi ω h kT deret kT e ω h pada persamaan 4.1 dapat didekati dengan kT e kT ω ω h h + ≈ 1 sehingga persamaan 4.1 dapat dituliskan menjadi ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 1 1 1 2 1 kT E ω ω h h 29 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI