Osilator Harmonik yang Terganggu
23
Hˆ Teori gangguan dapat digunakan ketika operator Hamiltonian
menunjukan energi total potensial osilator harmonik yang terganggu dan dituliskan sebagai
H H
H ′
+ =
ˆ ˆ
ˆ
2.73
2 2
2
2 1
2 ˆ
x m
m p
H ω
+ =
dengan adalah hamiltonian tak terganggu dan
sebagai gangguan. Dalam kasus ini nilai eigen dan fungsi eigen
dari diketahui mengacu pada persamaan 2.61 dan 2.63.
4
ˆ x
H δ
= ′
ˆ H
n
E
n
u
Nilai eigen dan fungsi eigen
diasumsikan berbentuk deret orde 0,1,2,… dalam gangguan
n
E
n
u H ′
ˆ . Sehingga persamaan 2.73 dapat dituliskan kembali menjadi
H H
H ′
+ =
ˆ ˆ
ˆ
β 2.74
dengan β adalah konstanta, sehingga nilai eigen
dan fungsi eigen dapat
dituliskan sebagai
n
E
n
u
...
2 2
1
+ +
+ =
n n
n n
E E
E E
β β
2.75 ...
2 2
1
+ +
+ =
n n
n n
u u
u u
β β
2.76 Pada persamaan 2.75 dan 2.76 dapat dilihat bahwa pada saat orde nol nilai
eigen dan fungsi eigen
tidak tergantung pada
n
E
n
u β . Persamaan energi nilai
eigen diberikan Rae, 1985
n n
n
u E
u H
= ˆ
2.77 Substitusi persamaan 2.75 dan 2.76 ke persamaan 2.77 menghasilkan
24
= +
+ +
′ +
... ˆ
ˆ
2 2
1 n
n n
u u
u H
H
β β
β ...
...
2 2
1 2
2 1
+ +
+ +
+ +
n n
n n
n n
u u
u E
E E
β β
β β
... ˆ
2 2
1
+ +
+
n n
n
u u
u H
β β
= +
+ +
′ +
...
2 2
1 n
n n
u u
u H
β β
β ...
2 2
1
+ +
+
n n
n n
u u
u E
β β
...
2 2
1 1
+ +
+ +
n n
n n
u u
u E
β β
β ...
...
2 2
1 2
2
+ +
+ +
+
n n
n n
u u
u E
β β
β
= ′
+ ′
+ ′
+ +
+
n n
n n
n n
u H
u H
u H
u H
u H
u H
2 2
1 2
2 1
... ˆ
ˆ ˆ
β β
β β
β β
β ...
2 2
1
+ +
+
n n
n n
n n
u E
u E
u E
β β
...
2 2
1 1
1 1
+ +
+ +
n n
n n
n n
u E
u E
u E
β β
β β
β ...
...
2 2
2 2
1 2
2 2
2
+ +
+ +
+
n n
n n
n n
u E
u E
u E
β β
β β
β 2.78
Persamaan 2.78 dapat dituliskan menjadi 2.79
n n
n
u E
u H
ˆ =
n n
n n
n n
u E
u E
u H
u H
1 1
1
ˆ ˆ
+ =
+ ′
2.80 2.81
n n
n n
n n
n n
u E
u E
u E
u H
u H
2 1
1 2
2 1
ˆ ˆ
+ +
= +
′
Orde pertama dan orde kedua pada persamaan 2.79, 2.80, dan 2.81 adalah faktor koreksi tingkat-tingkat energi dan fungsi eigen. Jika persamaan 2.79
Faktor koreksi orde pertama persamaan 2.80 didapat dengan menunjukkan bahwa
adalah kombinasi linier dari fungsi eigen yang tidak terganggu
n
u
1 n
u PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
2.82
k nk
k n
u a
u
1
Σ =
substitusi persamaan 2.82 ke 2.80 menghasilkan
k n
k nk
k n
k nk
k n
u E
u a
E u
a H
u H
1
ˆ ˆ
+ Σ
= Σ
+ ′
2.83 dengan menggunakan relasi 2.79 persamaan 2.83 menjadi
n k
n nk
k n
n
u E
E a
u E
H
1
ˆ −
Σ =
− ′
2.84 Persamaan 2.84 dikalikan dengan
dan diintegralkan dengan diketahui bahwa
adalah orthonormal, sehingga dihasilkan
n
u
∗ k
u
nn n
H E
′ = ˆ
1
2.85 dengan
τ d
u H
u H
n n
nn
ˆ ˆ
∫
∗
= ′
2.86 Substitusi persamaan 2.61 dan 2.63 ke 2.86 dihasilkan tingkat energi
dasar dari potensial harmonik yang terganggu
dx x
m m
H x
m m
E ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
∫
2 4
1 2
4 1
10
2 exp
ˆ 2
exp h
h h
h
ω π
ω ω
π ω
dx x
m H
x m
m ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
∫
2 2
2 1
2 exp
ˆ 2
exp h
h h
ω ω
π ω
2.87
Hˆ dengan operator hamiltonian
pada osilator harmonik yang terganggu adalah
4 2
2 2
2 2
2 1
2 ˆ
x x
m x
m H
δ ω
+ +
∂ ∂
− =
h .
2.88 Substitusi persamaan 2.88 ke 2.87 menghasilkan
dx x
m x
m E
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∫
∞ ∞
− 2
4 2
1 10
exp h
h ω
δ π
ω 2.89
26
Persamaan 2.89 dapat dituliskan menjadi
dx x
m x
m E
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∫
∞
2 4
2 1
10
exp 2
h h
ω δ
π ω
. 2.90
2
α ω
= h
m dengan
, maka persamaan 2.90 menjadi
2 2
2
x y
α =
Jika dituliskan
dx y
x m
E
2 4
2 1
10
exp 2
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
∫
∞
δ π
ω
h
2.91
2 4
4
h
ω
m y
x =
Untuk memudahkan perhitungan, didefinisikan dan
dy m
dx
2 1
1 h
ω
=
kemudian disubstitusikan ke persamaan 2.91 sehingga
menghasilkan
dy m
m y
y m
E
2 1
2 4
2 2
1 10
1 exp
2 h
h h
ω ω
δ π
ω
∫
∞
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
dy y
y m
4 2
2 2
2 2
1
exp 1
2
∫
∞
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
δ ω
π
h
2.92
P dP
dy 2
= Jika
dan
2 4
P y
= maka persamaan 2.92 menjadi
p dP
P P
m E
2 exp
1 2
2 2
2 2
2 1
10
∫
∞
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
δ ω
π h
dP P
P P
m
2 1
2 2
2 2
2 1
exp 1
∫
∞
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
δ ω
π
h
27
dP P
P m
2 3
2 2
2 2
1
exp 1
∫
∞
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
δ ω
π
h
2.93
Bagian integral persamaan 2.93 didefinisikan sebagai fungsi Gamma, dengan π
4 3
2 3 =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
Γ
sehingga didapat persamaan tingkat energi dasar untuk osilator harmonik yang terganggu
δ ω
2 2
2 10
4 3
m E
h =
2.94 Persamaan 2.61 dan 2.94 dijumlahkan, sehingga didapatkan energi total
δ ω
ω
2 2
2
4 3
2 1
m n
E
n
h h
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ + =
2.95 Substitusi persamaan 2.95 ke persamaan 2.64 menghasilkan
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
+ =
− −
1 4
3 2
1
2 2
ωβ ωβ
ω δ
ω
h h
h h
e e
m E
2.96 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI