Osilator Harmonik DASAR TEORI
17
2
2 1
kx x
V =
2.44 dengan k adalah konstanta dan m adalah massa partikel osilasi yang memiliki
frekuensi anguler
2 1
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= m
k
c
ω , sehingga persamaan Schrödinger pada Lampiran
persamaan 13 menjadi Eu
u x
m x
u m
c
= +
∂ ∂
−
2 2
2 2
2
2 1
2 ω
h 2.45
Untuk memudahkan perhitungan, semua variabel
x
diubah ke dengan
y
x m
y
c 2
1
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= h
ω 2.46
dan didefinisikan suatu konstanta
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
c
E
ω α
h 2
2.47
sehingga persamaan 2.45 menjadi Eu
u y
y u
= −
+ ∂
∂
2 2
2
α 2.48
Jika nilai sangat besar dibandingkan
y
α maka persamaan 2.48 dapat didekati dengan bentuk
2 2
2
≈ −
∂ ∂
u y
y u
2.49 Kemudian persamaan 2.49 diselesaikan dengan fungsi
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
= 2
exp
2
y y
u
n
2.50 Turunan kedua
u
terhadap dihasilkan
y
18
[ ]
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ +
− −
= ∂
∂
+ −
2 exp
1 2
1
2 2
2 2
2
y y
y n
y n
n y
u
n n
n
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
≈
+
2 exp
2 2
y y
n
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
= 2
exp
2 2
y y
y
n
u y
2
= 2.51
Pada persamaan 2.51 terlihat bahwa persamaan 2.50 memenuhi 2.49, sehingga persamaan 2.50 dapat dituliskan kembali menjadi
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
= 2
exp
2
y H
u
y y
2.52 dengan
adalah fungsi yang telah ditentukan. Substitusi persamaan 2.52 ke 2.48 menghasilkan
y
H
1 2
= −
+ ′
− ′′
H H
y H
α 2.53
H
dapat dituliskan dalam deret pangkat
∑
∞ =
=
n n
n
y a
H
2.54
∑
∞ =
−
= ′
1 n
n n
ny a
H
2.55
∑
∞ =
−
− =
′′
2
1
n n
n
y n
n a
H
∑
∞ =
−
− =
2 2
1
n n
n
y n
n a
2.56 Ruas kanan persamaan pertama dari persamaan 2.56 sama dengan nol, sehingga
19
∑
∞ =
+
+ +
= ′′
2
1 2
n n
n
y n
n a
H
2.57 Dengan menggabungkan persamaan 2.54, 2.55, 2.57 dan 2.53 diperoleh
[
1 2
2 1
2
= −
+ −
+ +
∑
∞ =
+ n
n n
n
y a
n a
n n
α
]
2.58 Jika koefisien seluruh pangkat dari sama dengan nol, maka deret 2.58 dapat
dituliskan
y
2 1
1 2
2
+ +
− +
=
+
n n
n a
a
n n
α 2.59
2
exp y Untuk nilai n sangat besar, deret 2.54 identik dengan deret
menghasilkan
∑ ∑
∑
∞ =
= =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
2 2
2 1
exp
n n
n n
genap n
n n
y a
y n
n y
y . Jika
mendekati tak berhingga dengan seperti deret
y
H
2
exp y
y
maka akan
konvergen. Gejala tersebut dapat dihindari dengan memotong penderetan. Dengan kata lain
merupakan polinom.
y
u
y
H
n n
a a
2 +
Berdasarkan persamaan 2.59, jika limit mendekati tak berhingga,
maka didapatkan syarat untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger pada partikel yang bergerak dengan potensial osilator harmonik
1 2
+ = n
α dengan
,... 2
, 1
, =
n 1
= a
= a
jika
n
ganjil dan jika genap
2.60
n
Dengan substitusi persamaan pertama 2.60 ke persamaan 2.47 diperoleh energi total dari sistem yang terkuantisasi
20
ω
h ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ + =
2 1
n E
n
2.61
π 2
h =
h dengan
ω frekuensi osilator harmonik, .
Polinom dikenal sebagai polinom Hermit. Mengacu kepada
persamaan 2.59 didapatkan 4 tingkat energi terendah
y
H
1 =
H
y H
2
1
=
2 4
2 2
− = y
H y
y H
12 8
3 3
− =
2.62
2
2 1
exp y
−
Fungsi gelombang didapat dari perkalian
dengan faktor
x n
u
y n
H
dan disubstitusikan ke persamaan 2.46 kemudian dinormalisasi
1
2
=
∫
∞ ∞
−
dx u
, sehingga diperoleh
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
2 4
1
2 exp
x m
m u
c c
n
h h
ω π
ω
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
2 4
3 4
1 1
2 exp
4 x
m m
u
c c
h h
ω ω
π
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
2 2
4 1
2
2 exp
1 2
4 x
m x
m m
u
c c
c
h h
h ω
ω π
ω
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
2 2
4 3
4 1
3
2 exp
3 2
9 1
x m
x m
m u
c c
c
h h
h ω
ω ω
π 2.63
Tenaga rata-rata osilator harmonik diberikan oleh Omar, 1975 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
∑ ∑
∞ =
− ∞
= −
=
n kT
E n
kT E
n
n n
e e
E E
2.64
kT 1
= β
, maka persamaan 2.64 dapat dituliskan Jika diberikan
∑ ∑
∞ =
− ∞
= −
=
n E
n E
n
n n
e e
E E
β β
2.65
Untuk memudahkan perhitungan persamaan 2.65 digunakan substitusi
∑
∞ =
−
=
n E
n
e Z
β
2.66 yang dikenal sebagai fungsi partisi Mandl, 1988. Dengan demikian, tenaga rata-
rata pada persamaan 2.65 menjadi Z
Z Z
E ln
1 β
β ∂
∂ −
= ∂
∂ −
= 2.67
Persamaan 2.61 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.66 dan dihasilkan
∑
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
−
=
2 1
n n
e Z
ωβ h
∑
∞ =
− −
=
2 n
n
e e
ωβ ωβ
h h
...... 1
3 2
2
+ +
+ +
=
− −
− −
ωβ ωβ
ωβ ωβ
h h
h h
e e
e e
2.68 Jika
ωβ h
, maka , sehingga bentuk deret pada persamaan 2.67
dapat dituliskan menjadi 1
− ωβ
h
e PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
ωβ ωβ
ωβ ωβ
h h
h h
− −
− −
− =
+ +
+ +
e e
e e
1 1
... 1
3 2
dan fungsi partisi dapat dituliskan
ωβ ωβ
h h
− −
− =
e e
Z 1
2
2.69 Dengan substitusi persamaan 2.69 ke dalam persamaan 2.67
diperoleh tenaga rata-rata osilator harmonik satu dimensi sebesar Z
E ln
β ∂
∂ −
=
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
− ∂
∂ −
=
ωβ
ωβ β
h
h e
1 ln
2 1
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
= 1
1 2
1
ωβ
ω
h
h e
2.70