Osilator Harmonik DASAR TEORI

17 2 2 1 kx x V = 2.44 dengan k adalah konstanta dan m adalah massa partikel osilasi yang memiliki frekuensi anguler 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = m k c ω , sehingga persamaan Schrödinger pada Lampiran persamaan 13 menjadi Eu u x m x u m c = + ∂ ∂ − 2 2 2 2 2 2 1 2 ω h 2.45 Untuk memudahkan perhitungan, semua variabel x diubah ke dengan y x m y c 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = h ω 2.46 dan didefinisikan suatu konstanta ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = c E ω α h 2 2.47 sehingga persamaan 2.45 menjadi Eu u y y u = − + ∂ ∂ 2 2 2 α 2.48 Jika nilai sangat besar dibandingkan y α maka persamaan 2.48 dapat didekati dengan bentuk 2 2 2 ≈ − ∂ ∂ u y y u 2.49 Kemudian persamaan 2.49 diselesaikan dengan fungsi ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 exp 2 y y u n 2.50 Turunan kedua u terhadap dihasilkan y 18 [ ] ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − = ∂ ∂ + − 2 exp 1 2 1 2 2 2 2 2 y y y n y n n y u n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ≈ + 2 exp 2 2 y y n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 exp 2 2 y y y n u y 2 = 2.51 Pada persamaan 2.51 terlihat bahwa persamaan 2.50 memenuhi 2.49, sehingga persamaan 2.50 dapat dituliskan kembali menjadi ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 exp 2 y H u y y 2.52 dengan adalah fungsi yang telah ditentukan. Substitusi persamaan 2.52 ke 2.48 menghasilkan y H 1 2 = − + ′ − ′′ H H y H α 2.53 H dapat dituliskan dalam deret pangkat ∑ ∞ = = n n n y a H 2.54 ∑ ∞ = − = ′ 1 n n n ny a H 2.55 ∑ ∞ = − − = ′′ 2 1 n n n y n n a H ∑ ∞ = − − = 2 2 1 n n n y n n a 2.56 Ruas kanan persamaan pertama dari persamaan 2.56 sama dengan nol, sehingga 19 ∑ ∞ = + + + = ′′ 2 1 2 n n n y n n a H 2.57 Dengan menggabungkan persamaan 2.54, 2.55, 2.57 dan 2.53 diperoleh [ 1 2 2 1 2 = − + − + + ∑ ∞ = + n n n n y a n a n n α ] 2.58 Jika koefisien seluruh pangkat dari sama dengan nol, maka deret 2.58 dapat dituliskan y 2 1 1 2 2 + + − + = + n n n a a n n α 2.59 2 exp y Untuk nilai n sangat besar, deret 2.54 identik dengan deret menghasilkan ∑ ∑ ∑ ∞ = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 2 1 exp n n n n genap n n n y a y n n y y . Jika mendekati tak berhingga dengan seperti deret y H 2 exp y y maka akan konvergen. Gejala tersebut dapat dihindari dengan memotong penderetan. Dengan kata lain merupakan polinom. y u y H n n a a 2 + Berdasarkan persamaan 2.59, jika limit mendekati tak berhingga, maka didapatkan syarat untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger pada partikel yang bergerak dengan potensial osilator harmonik 1 2 + = n α dengan ,... 2 , 1 , = n 1 = a = a jika n ganjil dan jika genap 2.60 n Dengan substitusi persamaan pertama 2.60 ke persamaan 2.47 diperoleh energi total dari sistem yang terkuantisasi 20 ω h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 1 n E n 2.61 π 2 h = h dengan ω frekuensi osilator harmonik, . Polinom dikenal sebagai polinom Hermit. Mengacu kepada persamaan 2.59 didapatkan 4 tingkat energi terendah y H 1 = H y H 2 1 = 2 4 2 2 − = y H y y H 12 8 3 3 − = 2.62 2 2 1 exp y − Fungsi gelombang didapat dari perkalian dengan faktor x n u y n H dan disubstitusikan ke persamaan 2.46 kemudian dinormalisasi 1 2 = ∫ ∞ ∞ − dx u , sehingga diperoleh ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 4 1 2 exp x m m u c c n h h ω π ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 4 3 4 1 1 2 exp 4 x m m u c c h h ω ω π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 4 1 2 2 exp 1 2 4 x m x m m u c c c h h h ω ω π ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 4 3 4 1 3 2 exp 3 2 9 1 x m x m m u c c c h h h ω ω ω π 2.63 Tenaga rata-rata osilator harmonik diberikan oleh Omar, 1975 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 21 ∑ ∑ ∞ = − ∞ = − = n kT E n kT E n n n e e E E 2.64 kT 1 = β , maka persamaan 2.64 dapat dituliskan Jika diberikan ∑ ∑ ∞ = − ∞ = − = n E n E n n n e e E E β β 2.65 Untuk memudahkan perhitungan persamaan 2.65 digunakan substitusi ∑ ∞ = − = n E n e Z β 2.66 yang dikenal sebagai fungsi partisi Mandl, 1988. Dengan demikian, tenaga rata- rata pada persamaan 2.65 menjadi Z Z Z E ln 1 β β ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = 2.67 Persamaan 2.61 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.66 dan dihasilkan ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 2 1 n n e Z ωβ h ∑ ∞ = − − = 2 n n e e ωβ ωβ h h ...... 1 3 2 2 + + + + = − − − − ωβ ωβ ωβ ωβ h h h h e e e e 2.68 Jika ωβ h , maka , sehingga bentuk deret pada persamaan 2.67 dapat dituliskan menjadi 1 − ωβ h e PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 22 ωβ ωβ ωβ ωβ h h h h − − − − − = + + + + e e e e 1 1 ... 1 3 2 dan fungsi partisi dapat dituliskan ωβ ωβ h h − − − = e e Z 1 2 2.69 Dengan substitusi persamaan 2.69 ke dalam persamaan 2.67 diperoleh tenaga rata-rata osilator harmonik satu dimensi sebesar Z E ln β ∂ ∂ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ∂ ∂ − = ωβ ωβ β h h e 1 ln 2 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = 1 1 2 1 ωβ ω h h e 2.70

2.3 Osilator Harmonik yang Terganggu

Potensial osilator harmonik dengan massa yang mengalami gangguan dapat dituliskan m 4 x δ 4 2 2 2 1 x x m V δ ω + = 2.71 sehingga persamaan Schrödingernya menjadi Eu x u x m x u m c = + + ∂ ∂ − 4 2 2 2 2 2 2 1 2 δ ω h 2.72 δ dengan adalah tetapan yang bernilai sangat kecil sehingga dapat digunakan teori gangguan untuk menentukan tingkat energi dasar dari potensial harmonik yang mengalami gangguan. 23 Hˆ Teori gangguan dapat digunakan ketika operator Hamiltonian menunjukan energi total potensial osilator harmonik yang terganggu dan dituliskan sebagai H H H ′ + = ˆ ˆ ˆ 2.73 2 2 2 2 1 2 ˆ x m m p H ω + = dengan adalah hamiltonian tak terganggu dan sebagai gangguan. Dalam kasus ini nilai eigen dan fungsi eigen dari diketahui mengacu pada persamaan 2.61 dan 2.63. 4 ˆ x H δ = ′ ˆ H n E n u Nilai eigen dan fungsi eigen diasumsikan berbentuk deret orde 0,1,2,… dalam gangguan n E n u H ′ ˆ . Sehingga persamaan 2.73 dapat dituliskan kembali menjadi H H H ′ + = ˆ ˆ ˆ β 2.74 dengan β adalah konstanta, sehingga nilai eigen dan fungsi eigen dapat dituliskan sebagai n E n u ... 2 2 1 + + + = n n n n E E E E β β 2.75 ... 2 2 1 + + + = n n n n u u u u β β 2.76 Pada persamaan 2.75 dan 2.76 dapat dilihat bahwa pada saat orde nol nilai eigen dan fungsi eigen tidak tergantung pada n E n u β . Persamaan energi nilai eigen diberikan Rae, 1985 n n n u E u H = ˆ 2.77 Substitusi persamaan 2.75 dan 2.76 ke persamaan 2.77 menghasilkan