Teori Kinetik Gas DASAR TEORI

7 Jumlah vektor kecepatan sama dengan jumlah molekul yang ada N, jadi rapat arah kecepatan terhadap luasan kulit bola A dapat diberikan A N q = 2.3 Rapat arah kecepatan molekul adalah jumlah arah kecepatan molekul tiap satu satuan luas yang tegak lurus terhadap arah tersebut. Luasan A adalah luas seluruh permukaan kulit bola sehingga persamaan 2.3 menjadi q 2 4 r N q π = 2.4 r A Δ Luas permukaan pada permukaan bola dengan radius dapat dituliskan φ θ θ Δ Δ = Δ sin 2 r A 2.5 Molekul yang mempunyai arah kecepatan antara θ dan θ θ Δ + serta φ dan φ φ Δ + , menurut persamaan 2.3 mempunyai jumlah molekul A q N Δ = Δ θφ 2.6 atau dengan menggabungkan persamaan 2.5 dan 2.6 diperoleh φ θ θ θφ Δ Δ = Δ sin 2 r q N 2.7 substitusi 2.4 ke 2.7 didapatkan φ θ θ π θφ Δ Δ = Δ sin 4 N N 2.8 kedua ruas persamaan 2.8 dibagi dengan volume V sehingga didapat φ θ θ π θφ θφ Δ Δ = Δ = Δ sin 4 n V N n 2.9 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 8 dengan adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume dengan kecepatan yang mempunyai arah antara θφ N Δ θ dan θ θ Δ + serta φ dan φ φ Δ + . Jika molekul mempunyai kecepatan antara U dan U U Δ + , maka persamaan 2.9 dapat dituliskan kembali menjadi φ θ θ π θφ Δ Δ Δ = Δ sin 4 1 U U n n 2.10 Banyaknya molekul yang menumbuk elemen A Δ pada saat sama dengan jumlah molekul dalam silinder yang bergerak pada arah t Δ θ dan φ dengan kecepatan U . Seperti terlihat pada Gambar 2.2 A Δ Gambar 2.2 Banyaknya molekul yang menumbuk elemen t U Δ Sisi silinder pada arah θ dan φ , panjang silinder menyatakan jarak yang ditempuh molekul dengan kecepatan U pada saat t Δ . Volume silinder pada Gambar 2.2 diberikan θ cos t U A V Δ Δ = Δ 2.11 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 9 sehingga jumlah molekul dalam silinder didapat ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ Δ Δ Δ = Δ Δ φ θ θ θ π θφ cos sin 4 U U n U t A V n t A n U N U U Δ Δ Δ Δ Δ = Δ φ θ θ θ π θφ cos sin 4 1 2.12 Flux molekul pada permukaan didefinisikan sebagai jumlah total molekul yang sampai ke permukaan tiap satu satuan luas setiap satu satuan waktu Φ t A N Δ Δ Δ = Φ 2.13 Sehingga dengan substitusi persamaan 2.13 ke 2.12 dihasilkan φ θ θ θ π θφ θφ Δ Δ Δ = Δ Δ Δ = ΔΦ cos sin 4 1 U U U n U t A N 2.14 φ d φ Δ Flux didapat dengan mengganti U θ ΔΦ pada persamaan 2.14 dengan kemudian mengintegralkannya terhadap φ dengan batas sampai π 2 , yang akhirnya diperoleh θ θ θ θ Δ Δ = ΔΦ cos sin 2 1 U U n U 2.15 Pergerakan molekul sebelum dan sesudah tumbukan dengan permukaan A Δ dapat dilihat pada Gambar 2.3 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 10 Gambar 2.3 Pergerakan molekul sebelum dan sesudah tumbukan Dengan mengasumsikan tumbukan antar molekul bersifat elastis sempurna, dapat diketahui kecepatan molekul sebelum dan sesudah tumbukan tetap. Jika tumbukan molekul dengan permukaan A Δ juga dianggap elastis maka molekul yang menumbuk permukaan tersebut akan memantul dan mengakibatkan komponen θ cos U θ cos U berubah , sehingga arahnya berbalik dari o 180 menjadi θ cos U − . Massa satu molekul adalah , sehingga perubahan momentum tiap molekul sebelum dan sesudah tumbukan dapat dituliskan m θ θ θ cos 2 cos cos mU U m U m = − − 2.16 Besarnya perubahan momentum tiap satu satuan luas pada molekul yang bertumbukan dengan arah sudut θ dan mempunyai kecepatan U , atau tekanan diberikan oleh Sears dan Salinger, 1975 U P θ Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ = Δ θ θ θ θ θ cos sin 2 1 cos 2 U U n U mU P 11 2.17 θ θ θ Δ Δ = 2 2 cos sin U n mU Tekanan molekul yang bergerak dengan kecepatan U , untuk semua nilai U P Δ θ Δ θ dapat ditentukan dengan mengganti pada persamaan 2.17 dengan 2 π θ d kemudian diintegralkan terhadap θ dengan batas dari sampai ∫ Δ = Δ 2 2 2 cos sin π θ θ θ θ d n mU P U U ∫ Δ − = 2 2 2 cos cos π θ θ d n mU U 2 3 2 cos 3 1 π θ U n mU Δ − = ° − ° Δ − = cos 90 cos 3 1 3 3 2 U n mU 3 3 2 1 3 1 − Δ − = U n mU U U n mU P Δ = Δ 2 3 1 2.18 Dengan menjumlahkan semua nilai U didapatkan tekanan total U U n U m P Δ Σ = Δ 2 3 1 2.19 Molekul mempunyai kecepatan rata-rata yang didefinisikan sebagai nilai rata-rata dari jumlah seluruh kecepatan molekul. Jika terdapat sejumlah molekul yang memiliki kecepatan { N N N N ,..., , 2 1 } { } N U U U ,..., , 2 1 maka kecepatan rata- ratanya 12 N N U N N U U N i i i N i i N i i i ∑ ∑ ∑ = = = = = 1 1 1 2.20 Kecepatan rata-rata molekul gas tidak memperhitungkan arah. Jika ditinjau suatu arah tertentu sebagai arah positif, maka arah kecepatan yang berlawanan dengan arah tersebut bertanda negatif. Nilai rata-rata dari kecepatan kuadrat diberikan oleh N U U N i i ∑ = = 1 2 2 2.21 Jika terdapat sejumlah molekul gas yang mempunyai kecepatan U , maka nilai rata-rata kecepatan kuadrat diberikan oleh N Δ N N U U U Δ Σ = 2 2 2.22 V N n = mengingat , persamaan 2.22 dapat dituliskan menjadi n n U U U Δ Σ = 2 2 atau 2 2 U n n U U = Δ Σ 2.23 m 3 1 Jika persamaan 2.23 dikalikan , maka didapat 2 2 3 1 3 1 U nm n U m U = Δ Σ 2.24 sehingga PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 13 2 3 1 U nm P U = Δ 2.25 2 3 1 U nm Kuantitas adalah dua pertiga dari seluruh tenaga kinetik molekul, yakni 2 1 3 2 2 U nm . Sehingga persamaannya dapat dituliskan Halliday dan Resnick, 1987 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 2 1 3 2 3 1 U nm U nm 2 1 3 2 2 U nm P U = Δ 2.26 Jika , maka dari persamaan 2.26 didapat energi kinetik gas nRT P U = Δ kT N v m A 2 3 2 1 2 = 2.27 sebab . k N R A = Jika molekul mempunyai x komponen kecepatan antara sampai , maka perubahan momentumnya diberikan dari persamaan 2.18 yang dituliskan kembali menjadi x U x x U U Δ + x x x U n U m P Δ = Δ 2 3 1 2.29 dengan adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume sebagai fungsi . Perubahan momentum tersebut terjadi pada interval waktu x U n Δ x U x U x t = Δ 2.30 Perubahan gaya yang dihasilkan akibat terjadinya tumbukan adalah 14 t U n mU t p dF x x x x Δ Δ = Δ Δ = 2 3 1 2.31 sehingga ∫ ∞ Δ Δ = 2 3 1 x x x U n t U m F 2.32 2 x U diberikan oleh Bradbury, 1984 Nilai V N U n U U n U n U U x x x x x x 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ + ∞ − +∞ ∞ − Δ = Δ Δ = 2.33 Persamaan 2.32 dan 2.33 digabungkan, dan diperoleh V t U N m F x x Δ = 6 2 2.34 sehingga tekanan P adalah V t A U N m A F P x x Δ = = 6 2 2.35 Selain memiliki energi kinetik, molekul-molekul gas tersebut juga memiliki energi potensial. Dengan substitusi persamaan 2.30 ke 2.31 diperoleh relasi x p U dF x x x Δ = atau x x x p U dF x Δ = x x x x U dn t x m U dF U t 2 2 3 1 Δ = Δ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 15 x x U dn t x m dF t 2 2 3 1 Δ = Δ sehingga x x U dn m t dF x 3 1 3 2 Δ = 2.36 2 x Mengingat nilai adalah ∫ ∫ ∞ + ∞ − +∞ ∞ − = 2 2 x dn x dn x x 2.37 Dengan menggabungkan persamaan 2.36 dan 2.37 diperoleh V N dF t m V N x dn x x x ∫ ∫ ∞ ∞ Δ = = 3 2 2 6 2 2.38 Mengacu pada persamaan 2.35 didapatkan A dF dP x = 2.39 Kedua ruas persamaan 2.39 dikalikan dan dihasilkan x x dF dP x A x = x x U t dF dP x A Δ = atau x x dF t U dP V ∫ Δ = 2.40 Persamaan 2.40 diintegralkan dan diperoleh ∫ ∞ Δ = x x dF t U V P 2.41 16 Persamaan 2.41 disubstitusikan ke persamaan 2.38 menjadi V N t dF t m x x 2 2 6 Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ = ∫ ∞ 2 6 t V N U PV m x Δ = 2 2 6 x V t U N m PV x Δ = 2 2 6 x V t U N m kT N x A Δ = 2 2 6 x V N t U N m kT A x Δ = atau 2 2 6 2 1 2 1 x V N t U N m T k A x Δ = 2.42 c V N t U N m A x = Δ 2 6 Jika , maka persamaan 2.42 menjadi 2 2 1 2 1 x c T k = 2.43 sehingga besarnya energi potensial sama dengan energi termal, yaitu T k 2 1 .

2.2 Osilator Harmonik

Energi potensial molekul gas dianggap mengikuti potensial osilator harmonik. Energi potensial osilator harmonik diberikan Rae, 1985 17 2 2 1 kx x V = 2.44 dengan k adalah konstanta dan m adalah massa partikel osilasi yang memiliki frekuensi anguler 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = m k c ω , sehingga persamaan Schrödinger pada Lampiran persamaan 13 menjadi Eu u x m x u m c = + ∂ ∂ − 2 2 2 2 2 2 1 2 ω h 2.45 Untuk memudahkan perhitungan, semua variabel x diubah ke dengan y x m y c 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = h ω 2.46 dan didefinisikan suatu konstanta ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = c E ω α h 2 2.47 sehingga persamaan 2.45 menjadi Eu u y y u = − + ∂ ∂ 2 2 2 α 2.48 Jika nilai sangat besar dibandingkan y α maka persamaan 2.48 dapat didekati dengan bentuk 2 2 2 ≈ − ∂ ∂ u y y u 2.49 Kemudian persamaan 2.49 diselesaikan dengan fungsi ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 exp 2 y y u n 2.50 Turunan kedua u terhadap dihasilkan y