Residual Ordinary Least Square

10

2.2 Residual

Menurut [1] residual adalah selisih antara nilai pengamatan y dengan nilai dugaannya . Residual dinyatakan dengan dan secara umum dapat didefenisikan: . Residual juga dapat dikatakan sebagai error dari pengamatan pada model dengan data yang dipergunakan adalah populasi. Persamaannya dapat dituliskan menjadi : .

2.3 Ordinary Least Square

Menurut [2], untuk membuat penaksiran parameter regresi yang sebenarnya dipergunakan metode kudrat terkecil biasa atau biasa disebut Ordinary Least Square yang disingkat OLS. 2.11 Yang dapat ditulis secara ringkas dalam notasi matrik sebagai berikut: 2.12 Dengan adalah suatu vektor kolom k-unsur dari penaksir kuadrat terkecil biasa parameter regresi dan adalah suatu vektor kolom dari residual. Untuk menaksir parameter model regresi berganda digunakan metode kuadrat terkecil biasa. Prosedur kuadrat tekecil biasa dilakukan dengan memilih nilai parameter yang tidak diketahui sehingga jumlah kuadrat kesalahan didapat sekecil mungkin, sehingga dapat dinyatakan dengan: 2.13 11 Dimana adalah jumlah kuadrat residual SRR. Dalam notasi matriks, ini sama dengan meminimumkan karena: 2.14 Dari 2.12 diperoleh 2.15 Maka dari 2.12 dan 2.13 diperoleh: = 2.16 Dengan menggunakan sifat-sifat transpose suatu matriks, yaitu , dan adalah suatu skalar atau angka real, sehingga bentuk itu sama dengan transposenya . Persamaan 2.16 adalah penyajian secara matriks dari 2.13. Dalam notasi skalar metode kuadrat terkecil biasa tercapai dalam menaksir sehingga sekecil mungkin. Ini dicapai dengan menurunkan persamaan 2.13 secara parsial terhadap dan menyamakan hasil yang diperoleh dengan nol. Proses ini menghasilkan k persamaan normal teori kuadrat terkecil, persamaan-persamaan ini adalah sebagai berikut: 12                                                                     2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ˆ ... X ˆ ˆ ˆ X X ˆ ... X ˆ ˆ ˆ X X ˆ ... X ˆ ˆ X ˆ X ˆ ... ˆ ˆ ˆ ki k i ki i ki ki i ki ki i k i i i i i i ki i k i i i i i i ki k i i i n                       2.17 Denganmenjumlahkan persamaan, untuk seluruh pengamatan n memberikan persamaan pertama dalam 2.17, kemudian mengalikannya dengan pada kedua sisinya dan menjumlahkan untuk seluruh n, maka dihasilkan persamaan kedua. Begitu juga persamaan ketiga dalam 2.17 mengalikan kedua sisinya dengan dan menjumlahkan untuk seluruh n, dan seterusnya. Dalam bentuk matriks, persamaan 2.17 dapat disajikan sebagai : 1 1 2 2 1 21 31 1 2 2 2 2 21 32 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ˆ 1 1 1 ˆ ˆ ˆ i i ki k i li li i li ki k i li i i i ki k k kn ki ki i ki i ki k Y n X X X X X X Y X X X X X X X X X Y X X X X X X X X X X X X X X X                                                                         2.17 n Y                   ˆ X X X Y   Dalam hal ini adalah vektor kolom k unsur dari penaksir-penaksir kuadratterkecil parameter regresi, atau secara ringkas 2.18 dapat dinyatakan dengan: 2.19 13 Persamaan 2.19 diperoleh dari menurunkan persamaan matriks 2.16 terhadap , maka diperoleh: 2.20 Kemudian samakan hasil 2.20 dengan nol, sehingga diperoleh: 2.21 Kalikan bentuk akhir persamaan matriks 2.21 kedua sisinya dengan , maka diperoleh: 2.22 Dengan                           2 1 1 2 1 1 1 1 X X X X X X X X X X n kn kn n kn kn n n n kn n        X X

2.4 Koefisien Korelasi berganda