j jEJ
j k
x c
f
k
∑
=
f c
f
s k
≥ +
d P
k
= j
k
– N
k
∪ M
k
= R – J
k
– N
k
∪ M
k
e
∑
∈
k
P k
j js
y a
f
k s
k t
I I
max =
seperti
k s
P x
∈
3.2.1 Beberapa Definisi dan Notasi pada Metode Balas
i Penyelesaian sebagian
Jika beberapa tidak semua dari n variabel tiap-tiap x
i
diberikan nilai 0 atau 1, selanjutnya solusi ini dinamakan penyelesaian sebagian J.
Demikian jika n = 5, solusinya
J = x
1
= 1, x
3
= 1, x
4
= 0 a
Dapat dikatakan partial solution. Untuk penulisan notasi yang sebaiknya, berturut-turut kita gunakan symbol i dan –i untuk mewakili x
i
= 1 dan x
i
= 0. Menurut notasi ini, partial solution diatas dapat ditulis menjadi
J = 1, 3, -4 Notasi ini mempunyai keuntungan akan dikenal terus nilai variabel biner.
Universitas Sumatera Utara
ii Variabel Bebas
Variabel yang tidak dimasukkan dalam partial solution J dinamakan variabel bebas. Sebagai contoh, untuk partial solution ditunjukkan contoh a, variabel x
2
dan x
5
menjadi variabel bebas. Ini dikatakan variabel bebas selama kita memberikan tiap-tiap pilihan nilai 0 atau 1. Selanjutnya kita akan mengambil
semua variabel bebas sama dengan nol dan sebaliknya kecuali kalau ditetapkan.
iii Penyelesaian Sebagian Secara Lengkap
Jika tiap-tiap variabel bebas dari partial solution J diberikan nilai 0 atau 1, kemudian kumpulan variabel lengkap masukkan partial solution dinamakan
Penyelesaian Sebagian Secara Lengkap. Demikian, untuk partial solution yang ditetapkan pada contoh b, ada 4 kemungkinan penyelesaian seperti yang
ditunjukkan dibawah ini :
Tabel 3.1 Penyelesaian Sebagian Secara Lengkap
Bilangan Nilai Variabel
Gambaran penyelesaian Penyelesaian
menurut notasi yang x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
dimasukkan
1 1
1 1, -2, 3, -4, -5
2 1
1 1
1, -2, 3, -4, 5 3
1 1
1 1, 2, 3, -4,-5
4 1
1 1
1 1, 2, 3, -4, 5
Universitas Sumatera Utara
Diketahui, pada ke empat penyelesaian, nilai x
1,
x
3,
dan x
4
menjadi 1, 1, dan 0 berturut-turut ditetapkan oleh partial solution J pada contoh b.
iv Awal Penyelesaian Sebagian
Untuk menyelesaikan persoalan yang ditetapkan pada contoh a kita mulai dengan awal penyelesaian sebagian yang diberikan variabel, jadi, semua variabel
merupakan variabel bebas dengan nilai nol. Awal penyelesaian sebagian ini ditunjukkan sebagai J
0.
v Solusi Explicit dan Implicit Enumeration
Jika persoalan hanya meliputi 2 atau 3 variabel biner, semua solusi yang mungkin dapat disebutkan satu persatu dengan jelas seperti dibawah ini :
Persoalan 2 variabel Persoalan 3 variabel
Bilangan solusi = 2
2
= 4 Bilangan solusi = 2
3
= 8 1, 1
1, 1, 1 1, 0
1, 1, 0 0, 1
1, 0, 1 0, 0
0, 1, 1 1, 0, 0
0, 1, 0 0, 0, 1
0, 0, 0
Contoh 3.1 Penyelesaian shortest path dengan cara enumeration.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.2 Shortest Path
Pada contoh kasus ini terdapat 8 variabel, sehingga ada 256 kemungkinan yang layak. Evaluasi semua kemungkinan ini adalah :
Tabel 3.2 Complete Enumeration
Kemungkinan Ke
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
8
Kelayakan Nilai Z
1 -
2 1
- 5
3 1
- 3
4 1
1 Ya
4 5
1 -
4 6
1 -
1 7
1 1
Ya 5
8 1
- 2
9 1
- 2
1 2
3
4 5
2 x
1
2 x
2
4 x
5
1 x
6
5 x
8
3 x
7
1 x
4
3 x
3
Universitas Sumatera Utara
10 1
1 Ya
7 11
1 1
- 5
12 1
1 -
4 13
1 1
- 5
14 1
1 1
Ya 7
15 1
1 -
4 16
1 1
1 Ya
11 17
1 1
- 5
18 1
1 -
3 19
1 1
- 7
20 1
1 1
1 Ya
13 .
. .
256 1
1 1
1 1
1 1
1 -
21
Diantara 256 kemungkinan solusi hanya ada 6 kemungkinan yang memenuhi, yang lain melanggar salah satu atau beberapa kendala. Diantara solusi yang layak,
kemungkinan ke 4 adalah lintasan terpendek dan memberikan biaya termurah.
Sehingga diperoleh lintasan terpendek pada distribusi aliran ini, yaitu : X
3
– X
6
= 4 X
2
– X
7
= 5 X
1
– X
8
= 7 X
3
– X
4
– X
7
= 7
Universitas Sumatera Utara
X
2
– X
5
– X
8
= 11 X
3
– X
4
– X
5
– X
8
= 13
Biaya termurah dari lintasan terpendek ini adalah X
3
– X
6
= 4
Dimana harga seluruhnya dari lintasan terpendek ini adalah : Z
= 2X
1
+ 2X
2
+ 3X
3
+ 5X
8
+ 4X
5
+ 3X
7
+ X
4
+ X
6
= 2 + 2 + 3 + 5 + 4 + 3 + 1 + 1 = 21
Beberapa notasi yang digunakan pada presentasi metode Balas :
J
k
= set dari variabel yang telah diberikan suatu nilai dari 0 atau 1 di iterasi kth. Itu menandai adanya variabel melibatkan di suatu solusi yang parsial di iterasi kth.
J
o
= set dari variabel melibatkan di dalam solusi awal parsial . Itu diambil sebagai suatu himpunan nol.
R = set dari semua variabel n pada permasalahan. =
− =
k k
J R
J
_
set dari peubah bebas yang tidak tercakup di solusi yang parsial selama iterasi kth. Seperti yang dinyatakan di definisi, semua peubah bebas diasumsikan
untuk menjadi nol, dinyatakan selainnya. P
k
= set tertentu tidak harus semua dari peubah bebas yang mungkin untuk memperbaiki solusi yang ada. set ini disebut meningkat;kan set dari variabel-
variabel.
Universitas Sumatera Utara
=
k o
I suatu ukuran dari infeasibilitas yang total pada masalah ketika variabel-variabel
x
s
adalah suatu nilai 1 di dalam iterasi kth. =
k
f nilai dari fungsi objektif pada awal iterasi kth.
=
o
J
nilai paling sedikit dari fungsi objektif yang dicapai sejauh ini. kita ingin memperbaiki solusi lebih lanjut, jika mungkin.
Ubah persoalan bentuk standard kedalam bentuk persamaan Mulai dengan persoalan 0 - 1
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.3 Flow chart metode Balas
Masukan k = 0, J
k
= null, R = x
1
, x
2
, …, x
n
, y
k
= B, f
k
= 0, f = ~
Bentuk masukan N
k
dan M
k
digambarkan pada langkah 1a
Cari penyelesaian sebagian baru J
k+1
dengan menambahkan x
t
= .1 untuk penyelesaian J
k
Masukkan P
k
menggunakan persamaan
Cari masukan variabel bebas J
k
= R - J
k
f = f
k
Berhenti, nilai optimum dicapai f
min
= f dan x
opt.
= sesuai dengan f
Cari variabel x
t
yang paling sesuai yang digunakan dalam
persamaan
Berhenti J
k
adalah penyelesaian
optimum Ganti nilai variabel paling
kanan yang mempunyai nilai 1 menjadi 0 dan hapus semua
variabel dikanannya, jika ada. Ini diberikan pada solusi baru
J
k+1
. Hitung nilai y
j k+1
dan f
k+1
Masukkan k = k + 1
Hitung
k j
y
dengan menggunakan penyelesaian
yang ada J
k
∑
=
cJ x
j j
k
j
x c
f
Masukkan k = k + 1 Apakah semua variabel J
k
sama dengan 0 ? Apakah k = 0 ?
Apakah P
k
null ? Apakah y
j k
≥ 0 ? i = 1 sampai m
Apakah persamaan diterima ? Atau
Apakah P
k
ditolak ?
Ya Ya
Ya Ya
Ya Tidak
Tidak
Tidak Tidak
Universitas Sumatera Utara
3.2.2 Penyelesaian 0-1 Programming dengan Metode Balas.
