2.5.7.1 Metode Routh-Hurwitz
sistem adalah stabil jika akar-akar pada persamaan karakteristiks berada di sebelah kiri sumbu khayal di atas sumbu riil, sistem , dan dikatakan tidak stabil jika akar-akar
tersebut berada di sebelah kanan sumbu khayal di atas sumbu riil. Ditunjukkan oleh gambar dibawah ini :
jw +
sumbu khayal
Daerah stabil
Sumbu riil
jw −
Gambar 2.11
Metode Routh-Hurwitz adalah suatu prosedur analitis untuk menentukan kestabilan suatu sistem tanpa menghitung akar-akar karakteristik, dari suatu polinomial yang
berbentuk
1 1
1
....... a
s a
s a
s s
Q
n n
n n
+ +
+ +
=
− −
2.19
Dimana menurut metode Routh-Hurwitz sistem akan stabil bila tidak ada perubahan tanda pada kolom pertama dari deret Routh-nya, karena bila terjadi
perubahan tanda pada kolom pertama dari deret Routh-nya maka akan ada akar-akar yang berada disebelah kanan sumbu khayal diatas sumbu riil.
Universitas Sumatera Utara
Langkah pertama dalam penerapan metode Routh-Hurwitz adalah membentuk deret seperti berikut , yang disebut deret routh, dengan dua baris pertama adalah
koefisien dari polinomial dalam persamaan 2.19 diatas.
1 1
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
7 5
3 1
6 4
2
1 2
3 2
1
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
m l
k k
c c
c c
b b
b b
a a
a a
a a
a a
s s
s s
s s
s
n n
n n
n n
n n
n n
n n
− −
− −
− −
−
− −
−
Baris
b
dihitung dari dua baris tepat diatasnya : baris c , dari dua baris tepat diatasnya dan seterusnya. Persamaan-persamaan untuk koefisien deret adalah seperti berikut :
3 1
2 1
1
1
− −
− −
− =
n n
n n
n
a a
a a
a b
..... 1
5 1
4 1
2 −
− −
−
− =
n n
n n
n
a a
a a
a b
2 1
3 1
1 1
1 b
b a
a b
c
n n
− −
− =
..... 1
3 1
5 1
1 2
b b
a a
b c
n n
− −
− =
Dan seterusnya bahwa determinan dalam ekspresi untuk koefisien ke - i dalam
suatu garis dibentuk dari kolom pertama dan kolom ke -
1 +
i
dari baris sebelumnya. Sebagai contoh, deret routh untuk suatu polinomial orde empat berbentuk
x x
x x
x x
x x
x
x s
s s
s
1 2
3 4
Dengan setiap tabel yang masuk dipresentasikan dengan simbol x . Secara umum karena dua baris terakhir dari deret masing-masing akan memiliki satu elemen, dua
baris berikutnya tepat diatasnya masing-masing memiliki dua elemen, dua baris berikutnya tepat diatasnya masing-masing memiliki tiga elemen, dan seterusnya.
Universitas Sumatera Utara
Contoh metode Routh-Hurwitz dapat ditetapkan sebagai berikut: Perhatikan polinomial berikut :
8 2
4 2
2 3
2
+ +
+ =
+ −
+ =
s s
s s
s s
s Q
Deret routh adalah
8 6
8 1
2 1
1 2
3
− s
s s
s
Dengan : 8
6 8
1 6
1 6
8 1
2 1
1 1
1 1
= −
− =
− =
− =
c b
Karena terdapat dua perubahan tanda pada kolom pertama dari 1 ke -6 dan dari -6 ke 8, maka ada akar-akar karakteristik dikanan sumbu khayal bidang kompleks. Sehingga
menurut metode Routh-Hurwitz tidak stabil.
Berikut adalah beberapa kasus pada metode Routh-Hurwitz :
Kasus 1
Kasus ini hanya satu yang akan dibicarakan secara mendalam. Untuk kasus ini tidak ada elemen dari kolom pertama deret routh yang bernilai nol, dan tidak terjadi masalah
dalam perhitungan deret.
Kasus 2
Untuk kasus ini, elemen pertama dalam suatu baris adalah nol, dengan sedikitnya ada sebuah elemen tidak nol dalam baris yang sama. Masalah ini dapat diselesaikan dengan
mengganti elemen pertama dari baris, yang nol, dengan suatu bilangan kecil ε , yang
dapat diasumsikan positif atau negatif. Perhitungan deret selanjutnya dilanjutkan, dan beberapa elemen dapat mengikuti baris akan menjadi suatu fungsi dari
ε . Setelah deret dilengkapi, tanda dari elemen dalam kolom pertama ditentukan dengan mengijinkan
ε mendekati nol. Jumlah akar-akar polinomial yang berada
Universitas Sumatera Utara
dikanan sumbu khayal bidang kompleks sama dengan jumlah perubahan tanda dalam kolom pertama ini.
Seperti sebelumnya sebuah contoh digambarkan sebagai berikut : 10
11 4
2 2
2 3
4 5
+ +
+ +
+ =
s s
s s
s s
Q Deret routh dihitung sehingga diperoleh
10 6
10 12
6 10
4 2
11 2
1
1 2
3 4
5
ε
−
s s
s s
s s
Dengan
4 2
2 1
2 1
1
= −
= b
6 10
2 11
1 2
1
2
= −
= b
ε ε
ε ε
ε 12
4 12
1 6
4 2
1
1
− =
− −
= −
= c
10 10
2 1
2
= −
= ε
ε c
6 12
6 10
12 10
12 6
12
1
=
+
= −
= ε
ε ε
ε ε
ε d
10 6
10 12
6 1
1
= −
− =
ε
e
Dengan batas yang diambil yaitu
→
ε pada titik yang tepat dalam perhitungan
dibandingkan dengan menunggu sampai deret dilengkapi. Prosedur ini menyederhanakan perhitungan dan bentuk akhir dari deret, dan hasil akhirnya sama.
Dari deret terlihat bahwa ada dua perubahan tanda dalam kolom pertama, dengan asumsi
ε positif atau negatif. Jumlah perubahan tanda dalam kolom pertama selalu tidak bergantung dari asumsi tanda
ε , ada perubahan tanda pada kolom pertama sehingga menurut Routh-Hurwitz sistem tidak stabil.
Universitas Sumatera Utara
Kasus 3
Suatu polinomial kasus 3 adalah semua elemen dari deret routh yang nol. Metode yang digambarkan pada kasus 2 tidak memberikan manfaat informasi dari kasus ini.
Contoh pertama, yang sederhana menggambarkan kasus 3 misalkan 1
2
+ = s
s Q
d
Untuk sistem ini akar-akar persamaan karakteristik pada sumbu khayal, dan akibatnya sistem dalam batas kestabilan. Deret routh nya adalah
. 1
1
1 2
s s
s
Dan baris
1
s
tidak memiliki elemen tidak nol, deret ini tidak dapat dilengkapi karena elemen nol dalam kolom pertama.
Contoh kedua adalah : 2
2 2
1
2 3
2
+ +
+ =
+ +
= s
s s
s s
s Q
Deret routh nya adalah
2 1
2 1
1 2
3
s s
s s
Sekali lagi, baris
1
s
adalah nol dan deret diakhiri lebih cepat.
Suatu polinomial kasus 3 berisi suatu polinomial tetap sebagai suatu faktor. Suatu polinomial genap adalah perpangkatan dari s yang hanya bilangan bulat genap
atau nol. Faktor polinomial genap ini disebut polinomial tambahan akan selalu menjadi elemen-elemen baris langsung diatas baris nol dalam deret. Eksponen dari pangkat
tertinggi dari polinomial tambahan langsung diatas baris nol, baris
2
s memuat elemen- elemen pada contoh diatas. Jadi polinomial tambahan adalah
1
2
+ = s
s Q
d
Universitas Sumatera Utara
Untuk contoh kedua baris
1
s semuanya nol dan baris
2
s memuat koefisien-koefisien. Jadi persamaan tambahan adalah
2
2
+ = s
s Q
d
Polinomial kasus tiga dapat dianalisa melalui dua cara. Pertama, sekali polinomial tambahan ditemukan, hal ini dapat difaktorisasi dari persamaan karakteristik,
meninggalkan suatu polinomial kedua. Dua polinomial dapat dianalisa secara terpisah. Perhatikan polinomial:
2 2
3
2 3
4
+ +
+ +
= s
s s
s s
Q
d
Deret routhnya adalah:
2 2
1 2
1 2
3 1
2 1
3 3
4
s s
s s
s
i b
= −
− =
3 2
1
2 2
2
= −
− =
b 2
2
1
= −
− =
c
4 2
1
1
= −
− =
d
Karena baris
1
s di semua elemen tidak nol, polinomial tambahan didapatkan dari baris
2
s
dan diberikan oleh : 2
2
+ = s
s Q
d
Maka: s
s Q
s d
2 =
∂ ∂
Koefisien 2 menggantikan nol dalam deret routh dilengkapi contoh di atas menggambarkan cara melengkapi deret dengan menggunakan penurunan dari
polinomial tambahan.
Deret diinterprestasikan dengan cara yang biasa yaitu polinomial dalam contoh tidak mempunyai akar yang terletak di kanan sumbu khayal bidang kompleks. Tetapi,
penyelidikan dari polinomial tambahan memperlihatkan adanya akar pada sumbu khayal.
Universitas Sumatera Utara
Akar-akar dari polinomial bahkan terjadi berpasang-pasangan yaitu sama dalam besar dan berlawanan tandanya. Jadi, akar-akar ini dapat khayal murni gambar 2.11
a , riil murni gambar 2.11b , atau kompleks gambar 2.11c. Karena akar-akar ini kompleks harus terjadi dalam sepasang konjugate, suatu akar kompleks dari polinomial
tetap harus terjadi dalam kelompok empat 2.11c. Karena akar-akar mempunyai kuadran simetris, maka akar-akar simetris tehadap sumbu riil dan sumbu khayal. Untuk
gambar 2.11b dan 2.11c, deret routh menunjukkan akar-akar dengan bagian riil positif. Jika suatu baris nol terjadi, tetapi deret routh lengkap terlihat tidak mengalami
perubahan tanda, menunjukka n bahwa akar-akar pada sumbu
. jw
a b c
2 j
j
1 − 1 1
− 1 2
j −
j −
4
4
+ s
4
2
+ s
1
2
− s
Gambar 2.12
Perhatikan polinomial berikut: 4
4
+ = s
s Q
d
Deret routh dimulai dengan dua baris.
4 1
3 4
s s
Dan terlihat adanya suatu baris nol. Polinomial tambahan dan turunanya adalah
3 4
4 4
s s
s Q
s s
Q
d d
= ∂
∂ +
=
Universitas Sumatera Utara
Jadi deret menjadi:
4 16
4 4
1
4 1
2 3
4
ε
ε
− s
s s
s s
Baris
2
s
mempunyai suatu elemen tidak nol dengan nol untuk pertamanya nol digantikan dengan bilangan kecil
ε . Deret mempunyai dua perubahan tanda dalam kolom pertama, menunjukka n dua akar bagian riil positif. Hasil ini sesuai dengan
gambar 2.9 c. Polinomial ini memperlihatkan kedua kasus, yaitu kasus 2 dan kasus3. Baris nol dalam
deret menunjukkan kemungkinan akar-akar pada sumbu
jw
. Dalam contoh ini, kita tahu hal ini bukan kasus secara umum sangatlah penting untuk memfaktorkan
persamaan tambahan untuk menentukan penyajian akar-akar khayal.
Universitas Sumatera Utara
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Solusi komplementer untuk sistem listrik.
Suatu bentuk persamaan diferensial orde satu pada rangkaian listrik ditunjukkan pada
gambar berikut:
R
S
E L
Gambar 3.1
Dalam rangkaian ini berlaku untuk ≥
t :
E Ri
t i
L =
+ ∂
∂
3.1 Sehingga solusi arus dalam keadaan mantap solusi khusus adalah:
R E
i
k
=
dan solusi
komplementernya adalah :
t L
R
Ae i
−
= Untuk sakelar S terbuka , arus adalah nol dan karena perubahan energi tidak akan
terjadi begitu sakelar ditutup, maka berlaku pada
= t
berlaku
= E
. Dengan menggantikan syarat ini maka:
R E
A atau
A R
E −
= +
=
Universitas Sumatera Utara
Kategori