Akhirnya respons totalnya:
−
=
− τ
t
e R
E i
1 , dimana
R L
=
τ adalah konstanta waktu. Respons ini ditunjukkan pada
gambar 3.1, yang terdiri dari respons komplementer peralihan dan mantap beserta
respons total. Bentuk eksponensial menunjukkan karakteristik dari sistem orde satu.
3.2. Pemakaian transformasi Laplace dalam sistem elektris.
3.2.1. Prosedur pemakaian.
Langkah-langkah yang diperlukan untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace adalah:
a. Menuliskan persamaan diferensial yang menyatakan sistem yang akan
dianalisis . b.
Menuliskan transformasi Laplace dari persamaan diferensial tersebut yakni dengan cara menentukan transformasi Laplace dari tiap suku dalam
persamaan tersebut. Gunakan teorema yang sesuai. Selanjutnya syarat-syarat permulaan kondisi awal harus diberikan.
c. Menyatakan bentuk transformasi dalam daerah fungsi S.
d. Untuk menentukan solusi dalam fungsi t , gunakan transformasi balik
dengan menggunakan tabel transformasi.
Universitas Sumatera Utara
Contoh 1.
Suatu bentuk sistem elektris yang terdiri dari sumber listrik searah E, sakelar S
hambatan listrik R dan kumparan L diberikan pada gambar berikut:
R
S
E L
Gambar 3.2
Setelah sakelar ditutup t ≥ 0, maka persamaan 3.1 untuk arus adalah:
E t
i L
Ri =
∂ ∂
+
Dan dengan mentransformasikan tiap suku dalam persamaan ini ke daerah S akan diperlihatkan oleh:
s E
i s
sI l
s RI
= −
+ {
Kemudian masukkan syarat awal I 0 = 0 , maka persamaan diatas menjadi
s E
s LsI
s RI
= +
s E
s I
Ls R
= +
Atau:
+ =
+ =
1 L
R s
s L
E Ls
R s
E s
I
Universitas Sumatera Utara
Sehingga dengan menggunakan transformasi Laplace balik, persamaan 3.1 arus dalam t adalah:
1
t L
R
e R
E i
−
− =
Untuk menentukan nilai akhir arus digunakan Teori nilai akhir:
R E
Ls R
s E
s t
i
s t
=
+
=
→ ∞
→
lim lim
Sedang nilai awal ditentukan dari Teori nilai awal:
lim lim
=
+
=
∞ →
→
Ls R
s E
s t
i
s t
Menurut Routh-Hurwitz sistem stabil karena respon berisolasi dengan amplitudo yang berkurang terhadap waktu secara eksponensial.
Contoh 2 .
Sebuah rangkaian seri RLC terdiri dari batere E , sakelar S hambatan elektris R kumparan L dan kondensator C. nilai masing-masing komponen adalah sebagai berikut:
S
R
E L
C
Gambar 3.3
Universitas Sumatera Utara
Dengan
F C
henry L
Ohm R
volt E
µ
50 1
200 =
= =
=
Mula-mula kondensator C mempunyai potensial sebesar 1 volt. Tentukan bentuk arus sebagai fungsi dari t.
Solusi : Rangkaian ini adalah suatu sistem listrik orde-dua. Dalam fungsi arus persamaan
rangkaian adalah:
∫
= ∂
+ +
∂ ∂
1 t
i C
Ri t
i L
3.2 Atau setelah ditransformasikan menjadi:
∫
= ∂
− +
+ +
] [
1 ]
[ t
i s
I Cs
s RI
i s
sI L
Dimana
∫
∂t i
adalah muatan awal
= q
maka kondensator. Karena
C q
V
c
=
maka
s V
Cs q
i Cs
o
= =
∫
1
Selanjuntnya, karena polaritas V berlawanan dengan penurunan tegangan yang
disebabkan oleh arus i maka tanda dari i
adalah negatif. Akhirnya dengan memasukkan nilai komponen dan syarat-syarat awal ini, persamaan
3.2 arus dalam daerah s menjadi:
1 10
. 50
200
6
= −
+ +
−
s s
s I
s I
s sI
Atau:
2 2
4 2
100 100
1 10
. 2
200 1
+ +
= +
+ =
s s
s s
I Gunakan tabel transformasi untuk menentukan I t diperoleh:
amper t
e t
i
t
100 sin
100 1
100 −
=
Menurut Routh-Hurwitz sistem stabil karena respon berisolasi dengan amplitudo yang berkurang terhadap waktu secara eksponensial.
Universitas Sumatera Utara
3.3. Contoh Pembahasan
