2.5.1. Model Regresi Terkoreksi Terhadap Nilai Tengah
Dari persamaan 1 dan 2, telah diketahui bahwa ]
1 [
1
X X
= , dimana 1
adalah vektor 1 berukuran nx1. Dengan mendefinisikan vektor nilai tengah rata - rata dari pengamatan X
1
sebagai ]
, .
. .
, ,
[
. 2
. 1
. p
T
x x
x x
= maka dari definisi ini
mengimplikasikan : n
T
= 1
1 ,
y n
y
T
= 1
dan x
n X
T
=
1
1 .
Sehingga solusi dari β
ˆ dapat ditulis sebagai berikut : y
X X
X
T T
1
ˆ
−
= β
[ ]
y X
X X
T T
T T
=
− 1
1 1
1
1 1
1
=
−
y X
y n
X X
x n
x n
n
T T
T 1
1 1
1
− −
+ =
− −
− −
y X
y n
S x
S S
x x
S x
n
T T
T 1
1 1
1 1
1 ,
dimana
T T
x x
n X
X S
− =
1 1
Bukti lihat Searle 1971.
Dengan mempartisi
=
= b
b
b b
b
k 1
. .
. β
, maka diperoleh :
− −
− =
− −
ˆ ˆ
1 1
1 1
x y
n y
X S
x y
n y
X S
x y
b b
T T
T
.
Sehingga ˆ
1 1
x y
n y
X S
b
T
− =
−
9
b x
y b
T
ˆ ˆ
− =
. 10
Jika
T
x X
1
1
− =
X
yaitu matriks X
1
yang terkoreksi terhadap nilai tengah, maka
1 1
1 1
x X
x X
T T
T T
− −
=
X X
S x
x n
X X
T T
= −
=
1 1
y x
n y
X y
x X
y
T T
T T
− =
− =
1 1
1
X
. Sehingga persamaan 9 dapat ditulis :
ˆ
1 1
x y
n y
X S
b
T
− =
−
y
T T
X X
X
-1
= .
11 Jika model umum
e b
X b
y +
+ =
1
1 , ditulis dalam bentuk X
1
yang terkoreksi terhadap nilai tengah
X
, maka diperoleh : e
b x
b y
T
+ +
+ =
] 1
[ 1
X
e b
b x
b
T
+ +
+ =
X
1 1
e b
+ +
=
X
1 β
. 12
Dan diduga oleh : b
y ˆ
ˆ 1
ˆ
X
+ = β
, dan karena y
b x
b x
y b
x b
T T
T
= +
− =
+ =
ˆ ]
ˆ [
ˆ ˆ
ˆ β
, maka model 12 diduga oleh :
b y
y ˆ
1 ˆ
X +
= , dengan bˆ diperoleh dari persamaan 11.
Beberapa sifat penulisan model yang terkoreksi terhadap nilai tengah adalah : 1. bˆ dan
ˆ β
adalah penduga tidak bias terhadap
b
dan y . 2. Jika X pada 3 diganti dengan
] 1
1 [
T
x +
X
maka akan diperoleh Searle 1971 :
2 1
1 1
1
1 ˆ
ˆ σ
− −
+ =
− −
− −
X X
X X
X X
X X
T T
T T
x x
x x
n b
b Var
T T
. Sehingga :
2 1
ˆ σ
−
=
X X
T
b Var
. 13
Dengan penguraian nilai singular dari
X
, persamaan 13 dapat ditulis sebagai :
T j
p j
j j
v v
b Var
∑
=
=
1 2
1 ˆ
λ σ
, 14
dimana
j
λ dan
j
v masing-masing adalah akar ciri ke-j dan vektor ciri ke-j
yang bersesuaian dari matriks
X X
T
. Dari 14 dengan mengganti :
=
2 2
2 2
1 2
1 2
1
. .
. .
. .
. .
.
j p
j p
j j
j p
j j
j j
T j
j
v v
v v
v v
v v
v v
v
maka akan diperoleh : p
i v
v v
b Var
p p
i i
i i
, ...
, 2
, 1
, .
. .
2 2
2 2
1 2
1
= +
+ +
= λ
λ λ
. 15
Sehingga ragam dari b
i
akan sangat dipengaruhi oleh akar ciri-akar ciri dari
X X
T
, semakin kecil akar ciri ke -i maka semakin besar ragam dari b
i
. Dalam kasus multikoline aritas akar ciri
X X
T
ada yang mendekati nol, sehingga ragam dari b
i
akan besar. 3. Pendugaan nilai harapan pengamatan baru, E y
o
dapat dijelaskan sebagai berikut :
Dari persamaan 5 dengan mengganti
] 1
[
T T
T
x o
o x
+ =
X
akan diperoleh ragam prediksi nilai harapan y
o
:
[ ]
2 1
2
ˆ σ
σ o
o n
y Var
T T
o
X X
X X
−
+ =
. 16
Atau bisa ditulis sebagai :
[ ]
∑ ∑
= =
+ =
+ =
p j
j j
p j
j T
j j
o
t n
o v
v o
n y
Var
T
1 2
2 2
1 2
2
ˆ λ
σ σ
λ σ
σ
X X
j j
v o
t
T
X
= disebut skor
o
X
pada
j
v .
17 Dengan mengganti
] 1
[
T T
T
x o
o x
+ =
X
, maka persamaan 6 akan diperoleh sama seperti persamaan 17.
4. Pendugaan nilai pengamatan baru
f
yˆ dapat dijelaskan sebagai berikut :
Dengan cara yang sama maka dari persamaan 7 dan 8 dengan mengganti
] 1
[
T T
T
x f
f x
+ =
X
akan diperoleh :
[ ]
2 1
2
ˆ σ
σ f
f n
y Var
T T
f
X X
X X
−
+ =
18
[ ]
2 1
1 1
ˆ σ
+
+
=
−
f f
n y
MSE
T T
f
X X
X X
. 19
Dan dengan penguraian nilai singular dari
X
maka persamaan 19 dapat ditulis:
[ ]
2 1
2
1 1
ˆ σ
λ
+
+ =
∑
= p
j j
j f
h n
y MSE
, 20
j j
v f
h
T
X
= disebut skor
f
X
pada
j
v .
Persamaan 20 menjelaskan bahwa besaran ˆ
f
y MSE
tidak hanya tergantung pada besaran akar ciri, tetapi juga tergantung pada skor
f
X
pada vektor ciri
j
v .
2.6. Wavelet
Kategori