Contoh bentuk matriks
T
W dari Haar wavelet untuk
8 2
=
M
adalah :
0.353553 0.707107 0.000000 0.000000 0.000000 0.5 0.0 0.353553 0.353553 -0.707107 0.0 00000 0.000000 0.000000 0.5 0.0 0.353553
0.353553 0.000000 0.707107 0.000000 0.000000 -0.5 0.0 0.353553 0.353553 0.000000 -0.707107 0.000000 0.000000 -0.5 0.0 0.353553
0.353553 0.000000 0.000000 0.707107 0.000000 0.0 0.5 -0.353553 0.353553 0.000000 0.000000 -0.707107 0.000000 0.0 0.5 -0.353553
0.353553 0.000000 0.000000 0.000000 0.707107 0.0 -0.5 -0.353553 0.353553 0.000000 0.000000 0.000000 -0.707107 0.0 -0.5 -0.353553
Jika ukuran vektor data x sangat besar, maka perhitungan dengan cara matriks akan memerlukan komputasi yang tinggi, sehingga menjadi kurang
praktis. Mallat 1989 menemukan algoritma cepat untuk menghitung koefisien wavelet
dan koefisien pemulusan pada persamaan 34, yaitu melalui analisis multiresolusi. Algoritmanya disebut algoritma piramida.
Dalam analisis multiresolusi hubungan antara
t φ
dan
t ψ
dapat dinyatakan sebagai :
∑
− =
k k
k t
h t
2 2
φ φ
dan
∑
− =
k k
k t
g t
2 2
φ ψ
37
k
h dan
k
g disebut filter low-pass dan high pass, dan hubungannya untuk k = 0, 1,
..., L-1 adalah
k L
k k
h g
− −
− =
1
1 Percival 2005.
Sebagai misal untuk Haar wavelet dapat ditunjukkan bahwa : 1
2 2
2 1
2 2
2 1
1 2
2 −
+ =
− +
= t
t t
t t
φ φ
φ φ
φ 1
2 2
2 1
2 2
2 1
1 2
2 −
− =
− −
= t
t t
t t
φ φ
φ φ
ψ Sehingga
2 1
1 =
= h
h dan
2 1
1 =
− =
g g
.
2.6.2. Periodisasi Barisan Bilangan Sepanjang N
Jika
{ }
t
a adalah barisan bilangan, maka periodisasi
{ }
t
a sepanjang N
yang dinotasikan
{ }
o t
a dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut
Percival 2005 :
• Potong
{ }
t
a ke dalam barisan berhingga sepanjang N
... ,
, ...
, ,
, ,
... ,
,
1 2
1 1
1 −
+ −
N N
N N
a a
a a
a a
38
blok n = 0 blok n = 1 •
Tambahkan elemen barisan berhingga dengan cara
1 1
, ...
, ,
− N
a a
a + + ... +
1 2
1
, ...
, ,
− +
N N
N
a a
a 39
+ + ... + ... ... ... ...
Hasil :
o N
o
a a
a
1 1
, ...
, ,
−
2.6.3 . Diskripsi Algoritma Piramida Secara Matriks
Jika ada x = x , x
1
, ... , x
p -1
T
, dan diasumsikan
M
p 2
= , M bilangan bulat
positif maka langkah-langkah dalam algoritma piramida untuk memperoleh matriks transformasi wavelet diskret, dapat dideskripsikan sebagai berikut :
1. Misalkan ada sekumpulan barisan bilangan
{ }
k
h sepanjang L , yang
dalam istilah algoritma piramida disebut low-pass filters atau disebut juga filter skala. Maka dapat dicari sekumpulan barisan bilangan lain
{ }
k
g yang disebut high-pass filters, dengan aturan korespondensi satu-satu
Percival 2005 :
k L
k k
h g
− −
− =
1
1 .
40 Yang berarti
{ }
k
g diperoleh dari
{ }
k
h dengan membalik urutannya dan
tanda positif diganti negatif dan sebaliknya pada urutan genap, misalnya
{ }
k
h =
{ }
3 2
1
, ,
, h
h h
h maka
{ }
k
g =
{ }
1 2
3
, ,
, h
h h
h −
− .
2. Bentuk matrik B
j
berukuran M
j p
x p
j j
, ...
, 2
, 1
, 2
2
1
=
−
dengan baris- baris dari B
j
merupakan
{ }
k
g yang diperiodekan sepanjang
1
2
− j
p .
Misalkan
{ }
o k
g hasil periodisasi
{ }
k
g sepanjang
1
2
− j
p yang dikalikan
-1 pada tiap elemennya, maka baris ke nol dari B
j
adalah :
=
− −
− −
o o
o o
o p
o p
o o
T
g g
g g
g g
g g
b
j j
2 3
4 5
2 2
1 2
1 .
, ,
, ,
... ,
, ,
,
1 1
, baris ke satu dari B
j
adalah :
=
− −
− −
o o
o p
o p
o o
o o
T
g g
g g
g g
g g
b
j j
4 5
2 2
1 2
1 2
3 .
1
, ,
... ,
, ,
, ,
,
1 1
,
sampai baris ke 1
2 −
p dari B
j
adalah :
=
− −
−
− −
o o
o o
o o
o p
o p
T p
g g
g g
g g
g g
b
j j
1 2
3 4
5 2
2 1
2 .
1 2
, ,
, ,
, ,
... ,
,
1 1
Baris ke satu diperoleh dari baris ke nol dengan menggeser dua satuan ke kanan, demikian seterusnya untuk memperoleh baris-baris berikutnya dari
B
j
. 3. Dengan cara yang sama seperti membentuk matriks B
j
, maka bentuk matriks A
j
berukuran M
j p
x p
j j
, ...
, 2
, 1
, 2
2
1
=
−
dengan baris-baris dari A
j
merupakan
{ }
k
h yang diperiodekan sepanjang
1
2
− j
p .
4. Matriks transformasi wavelet diskret adalah :
=
=
− −
−
1 1
1 1
1 1
1 2
3 4
1 2
3 1
2 1
4 3
2 1
... ...
. .
. ...
. .
.
. .
. .
. .
A A
A A
A B
A A
B A
A A
B A
A B
A B
B
V W
W W
W W
W
W
M M
M M
j j
M M
j
41
W
j
berkaitan dengan matriks transformasi koefisien wavelet pada level resolusi M-j, j = 1, 2, ..., M. Sedangkan V
M
berkaitan dengan matriks koefisien fungsi skala. Perhitungan algoritma piramida secara skema dapat
dilihat pada Gambar 6.
Gambar 6 Skema algoritma piramida
x
A
1
x B
1
x
A
2
A
1
x B
2
A
1
x
d
M -1
koefisien wavelet level resolusi M-1
d
M-2
koefisien wavelet level resolusi M- 2
B
3
A
2
A
1
x A
3
A
2
A
1
x
d
M -3
koefisien wavelet level resolusi M- 3
A
M-1
A
M-2
… A
2
A
1
x
B
M
A
M-1
… A
2
A
1
x
d koefisien wavelet
level resolusi 0
. .
.
Data asli
A
M
A
M-1
… A
2
A
1
x
3. EKSPLORASI BERBAGAI METODE PRA-PEMROSESAN DALAM MODEL KALIBRASI
Abstrak
Dalam pendugaan model kalibrasi, permasalahan yang sering muncul adalah kasus multikolinearitas dan jumlah pengamatan contoh jauh lebih
kecil dari jumlah peubah bebas. Salah satu cara untuk mengatasinya adalah dengan mereduksi dimensi peubah bebas, yang disebut pra-
pemrosesan data. Ada banyak metode pra-pemrosesan, diantaranya analisis komponen utama, transformasi Fourier dan transformasi
wavelet
. Pada Bab ini dilakukan eksplorasi dari ketiga metode tersebut. Analisis data simulasi menunjukkan bahwa metode transformasi wavelet
mempunyai potensi untuk diteliti lebih lanjut, karena dari beberapa ukuran kebaikan model yang diperoleh transformasi wavelet lebih
unggul dibanding yang lainnya. Kata kunci : model kalibrasi, wavelet, Fourier, pra-pemrosesan.
Abstract
The problems in prediction of calibration model are multicollinearity and the number of sample observations is less than the number of
independent variables. Reduction of dimension of independent variables preprocessing method is useful to solve these problems. There are
many preprocessing methods such as principal component analysis, Fourier transformation and wavelet transformation that commonly used
in calibration modeling. The exploration of these three methods based on simulated data showed that wavelet transformation produced better
goodness of fit when compared with other preprocessing methods. Therefore, it is instructive to investigate further aspects of the wavelet
transformation in calibration modeling. Key words : calibration model, wavelet, Fourier, preprocessing
