4. REDUKSI DIMENSI DENGAN TRANSFORMASI WAVELET
DISKRET
Abstrak
Dari kajian empiris dan kajian pustaka transformasi wavelet diskret mampu menghasilkan model regresi yang mempunyai ukuran kebaikan
model relatif baik untuk prediksi. Dalam bab ini akan diteliti lebih jauh tentang sifat-sifat dari matriks koefisien wavelet dan matriks
transformasi wavelet. Dengan harapan untuk mengetahui keunggulan dan kelemahan transformasi wavelet dibanding metode transformasi
yang lain seperti PCA dan transformasi Fourier. Selain itu akan diteliti pula bagaimana tata cara wavelet dalam mereduksi dimensi.
Transformasi wavelet diskret ternyata mempunyai keunggulan dibandingkan transformasi Fourier atau PCA dalam hal banyaknya
alternatif memilih berbagai matriks transformasi sehingga hasil reduksi dimensi masih cukup mendekati peubah asal. Sedangkan kelemahannya,
ternyata tidak ada jaminan secara matematis bahwa korelasi antara koefesien wavelet menjadi relatif kecil semua.
Kata kunci : reduksi dimensi, matriks transformasi wavelet
Abstract
Empirical and literature studies showed that discrete wavelet transform DWT produced regression model with better goodness of fit than the
other transform methods. In this chapter we study the properties of the wavelet coefficient matrix. The objective is to elaborate the strength and
weakness of discrete wavelet transform compared to the other transform methods, such as principal component analysis and Fourier transform.
DWT provides a lot of alternative matrix of transformation which can be selected, in such a way that the resulted of dimension is compatible
with the original variables. However, there is no mathematically proof to guarantee that the wavelet coefficients are not correlated.
Key words :
dimension reduction, matrix wavelet transform
Pendahuluan
Dari kajian empiris Sunaryo dan Notodiputro 2004a, 2004b, 2005 dan kajian pustaka McNulty dan Ganapati 1998; Shao dan Yadong 2004; Yi-yu dan Chen min-
jun 2000; Fearn 1999; Brown et al. 2001 transformasi wavelet diskret merupakan metode pra-pemrosesan yang menjanjikan dalam mereduksi dimensi matriks peubah
bebas dalam pemodelan kalibrasi. Karena mampu menghasilkan model regresi yang mempunyai ukuran kebaikan model relatif baik untuk prediksi.
Dalam transformasi wavelet diskret TWD suatu vektor pengamatan dinyatakan sebagai kombinasi linear dari fungsi-fungsi basis yang disebut fungsi
wavelet singkatan dari wave little, Vidacovic dan Meuller 1991. Secara umum TWD
dapat ditulis sebagai :
∑ ∑
− =
− =
+ =
1 1
2 ,
, ,
M j
k k
j k
j
j
t d
t c
t f
ψ φ
. 46
Koefisien c
0,0
disebut koefisien pemulusan atau bagian pendekatan dari suatu fungsi, sedang d
j,k
disebut koefisien wavelet atau juga disebut bagian detail suatu fungsi. Dengan mengambil nilai
,
t
k j
ψ dan
t φ
untuk berbagai t, maka persamaan 46 dapat dituliskan dengan notasi matriks,
d W
x
T
= 47
dan karena W ortonormal bukti lihat Percival 2005 maka x
W d
= 48
dimana
T n
d d
d d
c d
, ...
, ,
, ,
, 1
, 1
1 ,
1 ,
, −
= dan W adalah matriks yang elemen-
elemen kolomnya adalah nilai dari t
φ dan
,
t
k j
ψ untuk berbagai t
[ ]
1 ,
∈ . Matriks
TWD, W, adalah matriks ortogonal, untuk apapun mother wavelet yang digunakan. Jika matriks
T p
nxp
x x
x X
] ,
... ,
, [
2 1
= maka TWD dapat ditulis :
T
W X
D =
. 49
Secara empiris salah satu sifat yang diperoleh bahwa matriks koefisien wavelet D hasil transformasi dari matriks X, dapat menurunkan korelasi antar
i
x dan
j
x untuk
j i
≠ menjadi lebih kecil, walaupun masih ada beberapa yang tetap besar.
Dalam bab ini akan diteliti lebih jauh tentang sifat-sifat dari matriks koefisien wavelet
D dan matriks TWD, W. Dengan harapan untuk mengetahui keunggulan dan kelemahan transformasi wavelet dibanding metode transformasi yang lain seperti
PCA dan transformasi Fourier. Selain itu akan diteliti pula bagaimana tata cara wavelet
dalam mereduksi dimensi.
Metode dan Bahan Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah analisis teori dari transformasi wavelet diskret. Langkah awal adalah menganalisis bagaimana
memperoleh matriks transformasi wavelet sehingga didapatkan matriks W yang ortogonal untuk apapun mother wavelet yang digunakan. Langkah berikutnya adalah
menganalisis bagaimana sifat-sifat dari koefisien wavelet yang dihasilkan dari transformasi wavelet diskret. Untuk memperjelas hasil analisis teori, akan diberikan
contoh-contoh dari data sederhana.
Hasil dan Pembahasan
Jika ada vektor pengamatan
T p
x x
x x
, ...
, ,
1 1
−
= , p = 2
M
, M bilangan bulat positif, maka vektor pengamatan tersebut dapat dinyatakan dalam fungsi tangga pada
interval [0.1 :
{ }
∑
− =
≤
+
=
1 2
2 1
2 M
M k
M k
k t
k
I x
t f
. 50
Dengan transformasi wavelet diskret ft dapat didekomposisi menjadi :
∑ ∑
− =
− =
+ =
1 1
2 ,
, ,
M j
k k
j k
j
j
t d
t c
t f
ψ φ
. Sehingga dengan notasi matriks dapat ditulis :
d W
x
T
= .
Sebagai misal untuk p = 4, maka vektor pengamatan
T
x x
x x
x ,
, ,
3 2
1
= dapat
ditulis sebagai :
≤ ≤
≤ ≤
= .
1 ,
, ,
,
4 3
3 4
3 4
2 2
4 2
4 1
1 4
1
t x
t x
t x
t x
t f
Dan dengan transformasi wavelet diskret maka diperoleh :
, [
, [
, [
, [
, [
4 1
11 11
4 1
10 10
4 1
00 00
4 1
00 4
1
∈ +
∈ +
∈ +
∈ =
∈ =
t d
t d
t d
t c
t f
x ψ
ψ ψ
φ
, [
, [
, [
, [
, [
4 2
4 1
11 11
4 2
4 1
10 10
4 2
4 1
00 00
4 2
4 1
00 4
2 4
1 1
∈ +
∈ +
∈ +
∈ =
∈ =
t d
t d
t d
t c
t f
x ψ
ψ ψ
φ
, [
, [
, [
, [
, [
4 3
4 2
11 11
4 3
4 2
10 10
4 3
4 2
00 00
4 3
4 2
00 4
3 4
2 2
∈ +
∈ +
∈ +
∈ =
∈ =
t d
t d
t d
t c
t f
x ψ
ψ ψ
φ
. 1
, [
1 ,
[ 1
, [
1 ,
[ 1
, [
4 3
11 11
4 3
10 10
4 3
00 00
4 3
00 4
3 3
∈ +
∈ +
∈ +
∈ =
∈ =
t d
t d
t d
t c
t f
x ψ
ψ ψ
φ
Yang dalam notasi matriks dapat ditulis :
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
=
11 10
00 00
4 3
11 4
3 10
4 3
00 4
3 4
3 4
2 11
4 3
4 2
10 4
3 4
2 00
4 3
4 2
4 3
11 4
2 4
1 10
4 2
4 1
00 4
2 4
1 4
1 11
4 1
10 4
1 00
4 1
3 2
1
1 ,
[ 1
, [
1 ,
[ 1
, [
, [
, [
, [
, [
1 ,
[ ,
[ ,
[ ,
[ ,
[ ,
[ ,
[ ,
[
d d
d c
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
x x
x x
ψ ψ
ψ φ
ψ ψ
ψ φ
ψ ψ
ψ φ
ψ ψ
ψ φ
atau : d
W x
T
= .
W disebut matriks transformasi wavelet, dan agar diperoleh matriks W yang
ortogonal, maka dipilih t
φ dan
,
t
k j
ψ sedemikian hingga :
1.
∫
=
1
1 dt
t φ
2.
∫
=
1
dt t
jk
ψ
3.
∫
=
1 2
1 dt
t
jk
ψ
4.
∫
=
1
dt t
t
lm jk
ψ ψ
untuk m
k l
j =
= dan
tidak terjadi secara bersamaan.
5.
∫
=
1
dt t
t
jk
ψ φ
. Kemudian matriks W
T
diperoleh dengan mengalikan semua komponen t
φ dan
,
t
k j
ψ dengan
p 1
untuk 1
, [
∈ t
. W ortogonal berarti I
W W
W W
T T
= =
. Sebagai misal untuk Haar wavelet Morettin 1997 :
≤
= selainnya
, 1
, 1
t t
φ 51
+ ≤
+ −
+ ≤
=
+ +
. selainnya
, 2
1 2
1 2
, 2
2 1
2 2
, 2
1 2
1 2
j j
j j
j j
jk
k t
k k
t k
t ψ
52
Jika p = 4 maka untuk Haar wavelet akan diperoleh :
− −
− −
=
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
T
W
yang memenuhi I
W W
W W
T T
= =
. Karena W ortogonal maka koefesien wavelet dapat dihitung dengan
x W
d =
. Untuk x yang dimensinya besar, perhitungan koefisien wavelet dengan cara matriks
kurang efisien, sehingga Mallat 1989 menemukan suatu algoritma untuk menghitung koefesien wavelet, yang disebut algoritma piramida. Dari contoh
sederhana terlihat jumlah elemen tiap kolom dari matriks W
T
sama dengan nol kecuali kolom pertama yang berhubungan dengan fungsi skala father wavelet. Hal ini
disebabkan karena elemen-elemen selain kolom pertama dari matriks W
T
diperoleh dari fungsi mother wavelet yang mempunyai sifat umum
∫
∞ ∞
−
= dt
t ψ
. Pembuktian secara lengkap bahwa untuk apapun fungsi mother wavelet akan
diperoleh I
W W
T
= dapat dilihat pada Percival 2005.
Sifat-sifat matriks koefisien wavelet
Misalkan matriks X berukuran nxp dan matriks X yang terkoreksi terhadap nilai rata-ratanya adalah :
= −
=
T n
T T
T
x X
. .
2 .
1
. .
. 1
X X
X
X
. 53
Dengan transformasi wavelet diskret W
d
T j
T j
. .
=
X
akan diperoleh
pxp nxp
nxp
W D
=
X
, dimana
=
T n
T T
d d
d
D
. .
2 .
1
. .
. .
54
Karena I
W W
T
= , maka
T pxp
nxp nxp
W D
X
= .
55 Reduksi dimensi diambil m p, sehingga :
T pxm
nxp nxm
W D
X
= ,
56 yaitu dengan memberi nilai nol pada kolom m+1 sampai dengan p dari matriks W
T
. Sifat-sifat dari matriks koefisien wavelet D adalah :
Teorema 1 : Jumlah elemen tiap kolom dari D sama dengan nol Bukti :
Jika ]
... [
,. 1
2 ,
. 10
. 00
. 00
−
=
M
M
d d
d c
D ,
] ...
[
. ,
1 2
, .
10 .
00 .
−
=
M
M T
W ψ
ψ ψ
φ dan
=
T n
T T
. .
2 .
1
. .
.
X X
X
X
maka dari
persamaan
T pxm
nxp nxm
W D
X
= akan diperoleh kolom pertama dari D :
. .
. 00
. .
2 .
1
. .
. φ
φ
= =
T n
T T
c
X X
X
X
atau
. 00
.
φ
T i
i
c
X
= , sehingga
.
1 1
1 1
1 1
1 .
1 00
.
∑ ∑
∑ ∑∑
∑ ∑
∑
= =
= =
= =
= =
= −
= =
= =
n i
j ij
p j
j n
i ij
n i
p j
p j
j j
ij n
i n
i i
x x
c
T i
φ φ
φ φ
X X
X
Sedangkan selain kolom pertama dari D, diperoleh :
. .
.
. .
2 .
1
. .
.
lm lm
lm
T n
T T
d ψ
ψ
= =
X X
X
X
untuk M
l ,
... ,
1 ,
= dan
1 2
, ...
, 1
, −
=
l
m
.
.
lm lmi
T i
d ψ
X
=
.
1 1
1 1
1 1
1 .
1
.
∑ ∑
∑ ∑∑
∑ ∑
∑
= =
= =
= =
= =
= −
= =
= =
n i
j ij
p j
lmj n
i ij
n i
p j
p j
lmj lmj
ij n
i lm
n i
lmi
x x
d
T i
ψ ψ
ψ ψ
X X
X
Teorema 2 : Secara umum kovarian antar koefisien wavelet tidak sama dengan nol.
Bukti :
T pxp
nxp nxp
W D
X
=
X X
X
X
T
E COV
= Σ
= .
Penguraian spetral Spectral decomposition dari kovarian
X
adalah :
T
P P
Λ =
Σ
X
,
= Λ
p
λ λ
λ
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
2 1
,
p
λ λ
λ ≥
≥ ≥
. .
.
2 1
.
Kolom ke i dari matriks P adalah vektor ciri ke-i yang bersesuaian dengan akar ciri
i
λ dari
X
Σ .
Struktur matriks kovarian dari D dapat digambarkan sebagai berikut
.
T T
T T
T D
W P
P W
W E
W W
W E
D D
E
T T
Λ =
= =
= Σ
X X
X X
57
Karena P
W secara umum tidak sama dengan matriks identitas I, maka secara
umum Λ
≠ Σ
D
. Hal ini berarti kovarian antar kolom D secara umum tidak sama dengan nol, atau antar kolom D masih dimungkinkan terjadi korelasi.
Jika
=
T p
T T
w w
w
W
. .
2 .
1
. .
. dan
] .
. .
[
. 2
. 1
. p
p p
p P
= maka
] .
. .
[ .
. .
. .
2 .
1 1
. .
. .
2 .
1
p p
i T
i i
i T
p T
T
D
w w
w p
p
w w
w
= Σ
∑
=
λ .
58
Sehingga :
∑
=
=
p i
k T
i i
i T
k k
w p
p w
d Var
1 .
. .
.
λ 59
∑
=
=
p i
l T
i i
i T
k l
k
w p
p w
d d
COV
1 .
. .
.
, λ
. 60
Yang berarti besar kovarian atau korelasi antar koefisien wavelet
k
d dan
l
d akan mendekati nol jika ketiga besaran
i
λ ,
i T
k
p w
. .
dan
. .
l T
i
w p
mendekati nol. Sebagai pembanding untuk PCA principal component analysis
T j
T j
p w
. .
= atau
I P
W =
Sharma 1996. Sehingga untuk PCA dijamin antar peubah baru tidak saling berkorelasi. Dengan cara sama seperti penurunan pada
transformasi wavelet dapat ditunjukkan bahwa untuk transformasi Fourier juga tidak ada jaminan matematis bahwa korelasi antar peubah baru sama
dengan nol.
Teorema 3 : Jumlah akar ciri dari D
D
T
akan sama dengan jumlah akar ciri
X X
T
Bukti :
.
1
∑
=
= Λ
= Λ
= Λ
= Σ
p j
j T
T T
T D
tr P
W W
P tr
W P
P W
tr tr
λ
.
1
∑
=
= Λ
= Λ
= Σ
p j
j T
T
P P
tr P
P tr
tr
λ
X
Jika
D
Σ didekomposisi dengan penguraian spektral maka :
T D
V L
V =
Σ , dimana
=
p
L τ
τ τ
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
2 1
, untuk
p
τ τ
τ ≥
≥ ≥
. .
.
2 1
dan
I V
V V
V
T T
= =
. Sehingga
.
1
∑
=
= =
= Σ
p j
j T
T D
L V
V tr
V L
V tr
tr
τ Karena
1
D T
tr n
D D
tr Σ
− =
dan 1
X
X X
Σ −
= tr
n T
tr maka jumlah akar ciri dari
D D
T
akan sama dengan jumlah akar ciri
X X
T
.
Pada reduksi dimensi dengan transformasi wavelet
T pxm
nxp nxm
W D
X
= dengan
cara seperti di atas maka dapat ditunjukkan bahwa
.
T T
T T
T D
W P
P W
W E
W W
W E
D D
E
T T
Λ =
= =
= Σ
X X
X X
61
.
1
∑
=
= Σ
m j
j D
tr τ
62 Sehingga proporsi keragaman
X
yang bisa diterangkan oleh D
adalah :
∑ ∑
= =
p j
j m
j j
1 1
τ τ
atau
∑ ∑
= =
p j
j m
j j
1 1
λ τ
63
dimana
j
τ adalah akar ciri ke-j dari
D D
T
,
j
τ adalah akar ciri ke-j dari
D D
T
dan
j
λ adalah akar ciri ke-j dari
X X
T
. Hal ini berarti kebaikan reduksi jika diukur dari proporsi keragaman peubah asal yang
dapat diterangkan oleh peubah baru dari transformasi wavelet, maka akan tergantung pada kemampuan memperoleh jumlah akar ciri yang tidak nol yang proporsinya
masih besar dibanding dengan jumlah akar ciri yang diperoleh oleh D
D
T
atau
X X
T
. Ide dasar pembuktian teorema 2 dan 3 di atas diperoleh dari Sharma 1996 halaman 86-87.
Dari uraian sifat-sifat di atas maka transformasi wavelet diskret mempunyai keunggulan dibandingkan transformasi Fourier atau PCA dalam hal banyaknya
alternatif memilih berbagai fungsi wavelet yang jumlah akar ciri D
D
T
masih besar, sehingga hasil reduksi dimensi masih cukup mendekati peubah asal. Sedangkan
kelemahannya, ternyata tidak ada jaminan secara matematis bahwa korelasi antara koefesien wavelet menjadi relatif kecil semua, sehingga masih dimungkinkan terjadi
kasus multikolinearitas dalam pemodelan regresi. Akibatnya transformasi wavelet diskret sebaiknya digabung dengan metode lainnya dalam pemodelan regresi.
Simpulan
Transformasi wavelet diskret dari peubah asal
nxp
X
menjadi peubah baru berupa koefisien wavelet
nxm
D dengan m p mempunyai keunggulan dibandingkan
transformasi Fourier atau PCA dalam hal banyaknya alternatif memilih berbagai fungsi wavelet yang jumlah akar ciri
D D
T
masih besar, sehingga hasil reduksi dimensi masih cukup mendekati peubah asal. Sedangkan kelemahannya, ternyata
tidak ada jaminan secara matematis bahwa korelasi antara koefesien wavelet
nxm
D menjadi relatif kecil semua, sehingga masih dimungkinkan terjadi kasus
multikolinearitas dalam pemodelan regresi. Akibatnya transformasi wavelet diskret sebaiknya digabung dengan metode lainnya dalam pemodelan regresi.
Daftar Pustaka
Brown PJ, Fearn T, Vanucci M. 2001. Bayesian Wavelet Regression on Curves with Application to a Spectroscopic Calibration Problem. J Amer Statist Assoc 96:
398-408. Fearn T. 1999. Data Compression : FT or Wavelet. Spectroscopy Europe, London
http:195.173.150.81td_col.html. McNulty SC, Ganapati M. 1998. Application of Wavelet Analysis Determining
Glucose Concentration of Aqueous Solution Using NIR Spectroscopy. Hewlett- Packard comp
. Morettin PA. 1997. Wavelets in Statistics. Institute of Math. And Stat., University of
Sao Paulo, Brazil. Mallat, SG. 1989. Multiresolution Approximations and Wavelet Orthogonal Bases of
L
2
r. Transactions of the American Mathematical Society 315: 69-87. Percival DB. 2005. Wavelets : Data Analysis, Algorithms and Theory. University
Washington. http:www.ms.washington.edu~s530 [18 april 2005]. Sharma S. 1996. Applied Multivariate Techniques. John Wiley Sons, Inc. New
York, USA Shao X, Yadong Zhuang. 2004. Determining of Chlorogenic Acid in Plant Samples
by Using Near-Infrared Spectrum with Wavelet Transform Preprocessing. Analytical Sciences
20. Sunaryo S, Notodiputro KA. 2004a. Reduksi Dimensi Data Spektra dengan Fourier
dan Wavelet. Seminar Nasional Statistika, Departemen Statistika, IPB, Bogor, 4 September 2004.
Sunaryo S, Notodiputro KA. 2004b. Penerapan Metode Transformasi Wavelet Diskret untuk Menentukan Kandungan Senyawa Gingerol pada Tanaman Jahe.
Statistika - Forum Teori dan Aplikasi Statistika 4: 181-185 , Jurusan Statistika
FMIPA UNISBA Sunaryo S, Notodiputro KA. 2005. Penerapan Metode Transformasi Wavelet Diskret
untuk Menentukan Kandungan Senyawa Kurkumin pada Tanaman Temulawak.
Prosiding Seminar Nasional Matematika , halaman 100-107, Jurusan Matematika UNS, Surakarta , 7 Mei 2005.
Vidacovic B, Meuller P. 1991. Wavelets for Kids. A Tutorial Introduction. AMS Subject Classification, Duke University.
Yi-yu Cheng, Chen min-jun. 2000. A New Computing Multivariate Spectral Analysis Method Based on Wavelet Transform. Journal of Zhejiang University Science 1:
15-19.
5. SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGAAN MODEL KALIBRASI
Kategori