∫
∞ ∞
−
= dt
t t
f d
k j
k j
, ,
ψ .
2.6.1. Transformasi Wavelet Diskret TWD
Di dalam statistika biasanya ingin diperoleh dekomposisi wavelet dari suatu fungsi yang diamati pada sekumpulan data. Misalkan
T
M
x x
x x
, ...
, ,
1 2
1 −
=
adalah vektor data berukuran 2
M
, M bilangan bulat positif. Maka vektor data tersebut dapat dihubungkan dengan potongan-potongan fungsi konstan pada
interval [0,1 yang biasa disebut fungsi tangga, dengan persamaan :
{ }
∑
− =
≤
+
=
1 2
2 1
2 M
M k
M k
k t
k
I x
t f
. 33
Fungsi tangga ft pada persamaan 33 termasuk dalam
] 1
, [
2
L
, sehingga dekomposisi wavelet dari ft adalah Vidacovic dan Meuller 1991 :
∑ ∑
− =
− =
+ =
1 1
2 ,
, ,
M j
k k
j k
j
j
t d
t c
t f
ψ φ
. 34
Persamaan 34 disebut transformasi wavelet diskret, karena nilai j hanya diambil pada bilangan bulat positif saja. Bilangan j pada persamaan 34 disebut
level resolusi, dan ft dapat diperoleh secara tepat, jika diambil semua level resolusi untuk dekomposisi, yaitu level resolusi 0 sampai dengan M-1. Koefisien
c
0,0
disebut koefisien pemulusan atau bagian pendekatan dari suatu fungsi, sedang d
j,k
disebut koefisien wavelet atau juga disebut bagian detail suatu fungsi. Dengan mengambil nilai
,
t
k j
ψ dan
t φ
untuk berbagai t, maka persamaan 34 dapat dituliskan dengan notasi matriks,
d W
x
T
= 35
dan karena W ortonormal bukti lihat Percival 2005 maka x
W d
= 36
dimana
T n
d d
d d
c d
, ...
, ,
, ,
, 1
, 1
1 ,
1 ,
, −
= dan
T
W adalah matriks yang
elemen-elemen kolomnya adalah nilai dari t
φ dan
,
t
k j
ψ untuk berbagai t
[ ]
1 ,
∈
. Sifat-sifat menarik dari matriks
T
W , selain ortonormal, adalah kolom
pertama bernilai sama, jumlah unsur tiap kolom yang lain sama dengan nol.
Contoh bentuk matriks
T
W dari Haar wavelet untuk
8 2
=
M
adalah :
0.353553 0.707107 0.000000 0.000000 0.000000 0.5 0.0 0.353553 0.353553 -0.707107 0.0 00000 0.000000 0.000000 0.5 0.0 0.353553
0.353553 0.000000 0.707107 0.000000 0.000000 -0.5 0.0 0.353553 0.353553 0.000000 -0.707107 0.000000 0.000000 -0.5 0.0 0.353553
0.353553 0.000000 0.000000 0.707107 0.000000 0.0 0.5 -0.353553 0.353553 0.000000 0.000000 -0.707107 0.000000 0.0 0.5 -0.353553
0.353553 0.000000 0.000000 0.000000 0.707107 0.0 -0.5 -0.353553 0.353553 0.000000 0.000000 0.000000 -0.707107 0.0 -0.5 -0.353553
Jika ukuran vektor data x sangat besar, maka perhitungan dengan cara matriks akan memerlukan komputasi yang tinggi, sehingga menjadi kurang
praktis. Mallat 1989 menemukan algoritma cepat untuk menghitung koefisien wavelet
dan koefisien pemulusan pada persamaan 34, yaitu melalui analisis multiresolusi. Algoritmanya disebut algoritma piramida.
Dalam analisis multiresolusi hubungan antara
t φ
dan
t ψ
dapat dinyatakan sebagai :
∑
− =
k k
k t
h t
2 2
φ φ
dan
∑
− =
k k
k t
g t
2 2
φ ψ
37
k
h dan
k
g disebut filter low-pass dan high pass, dan hubungannya untuk k = 0, 1,
..., L-1 adalah
k L
k k
h g
− −
− =
1
1 Percival 2005.
Sebagai misal untuk Haar wavelet dapat ditunjukkan bahwa : 1
2 2
2 1
2 2
2 1
1 2
2 −
+ =
− +
= t
t t
t t
φ φ
φ φ
φ 1
2 2
2 1
2 2
2 1
1 2
2 −
− =
− −
= t
t t
t t
φ φ
φ φ
ψ Sehingga
2 1
1 =
= h
h dan
2 1
1 =
− =
g g
.
2.6.2. Periodisasi Barisan Bilangan Sepanjang N
Kategori