Saran Diskretisasi Model Kontinu

IV SIMPULAN dan SARAN

I. Simpulan

Proses transformasi model kontinu menjadi model diskret disebut diskretisasi. Proses ini dilakukan pada fungsi eksponensial kontinu, fungsi logistik kontinu dan model kontinu penyebaran AIDS pada jurnal Tamizhmani K. M, 2004, didapatkan fungsi eksponensial diskret, fungsi logistik diskret dan model diskret penyebaran AIDS. Melalui proses simulasi numerik, dengan menggunakan software Mathematica 6, didapatkan grafik perkembangan setiap variabel dari fungsi eksponensial, fungsi logistik dan model penyebaran AIDS terhadap beberapa parameter tertentu. Dengan membandingkan grafik model kontinu dengan grafik model diskretnya, didapat beberapa perbedaan, terutama pada fungsi eksponensial dan fungsi logistik. Fungsi eksponensial kontinu memiliki 3 pola perkembangan variabelnya berdasarkan batas parameter k, dengan nilai aw al variabel = 2, yaitu: k 0, k = 0, k 0. Fungsi eksponensial dis kret memiliki 7 pola perkembangan variabelnya berdasarkan batas parameter k, dengan nilai awal variabel = 2, yaitu: k 0, k = 0, -1 k 0, k = -1, -2 k - 1, k = -2, k -2. Fungsi eksponensial diskret memiliki semua pola perkembangan variabel pada fungsi eksponensial kontinu , namun fungsi eksponensial kontinu tidak memiliki semua pola perkembangan variabel pada fungsi eksponensial diskret. Fungsi logistik diskret memiliki semua pola perkembangan variabel pada fungsi logistik kontinu, namun fungsi logistik kontinu tidak memiliki semua pola perkembangan variabel pada fungsi logistik diskret. Fungsi logistik diskret memiliki 8 pola perkembangan variabel berdasarkan parameter laju pertumbuhan r, dengan nilai awal variabel = 0.5 dan K = 2, yaitu pada: r = 0, 0 r 1.2, 1.2= r 2.1, 2.1= r 2.4, -2.4 = r = 2.6, 2.6 r = 2.85, 2.85 r = 3, dan r 3. Pada model penyebaran AIDS terdapat beberapa proses penyederhanaan pesamaan diferensial model aslinya untuk memudahkan dalam proses transformasi untuk mendapatkan model diskretnya. Pada model penyebaran AIDS, model diskret hasil transformasi dapat mengimplementasikan model kontinunya.

II. Saran

Apabila ada yang ingin melanjutkan tulisan ini, disarankan agar membahas tentang proses diskretisasi pada fungsi kontinu lain selain fungsi eksponensial dan logistik sehingga dapat diimplement as ikan pada pemodelan fenomena-fenomena diskret. V DAFTAR PUSTAKA Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications. McGraw Hill, New York. Kaplan D, Glass L. 1995. Understanding Non Linear Dynamics. Springer-Verlag. New York Murray JD. 1993. Mathematical Biology. Springer, Berlin. Tamizhmani KM, Ramani A, Grammaticos B, Carstea AS. 2004. Modelling AIDS Epidemic and Treatment with Difference Equations . Advance in Difference Equations. 3: 183–193. Weisstein EW, Weisstein T. Kermack – McKendrick Model. MathWorld – a Wolfram Web Resource. http:mathworld.wolfram.comKermack- McKEndrickModel.html. [7 J anuari 2008]. L A M P I R A N LAMPIRAN 1 Solusi Persamaan 1.1 dW kW t dt = Dengan menggunakan cara pemisahan variab el didapatkan: 1 dW dW kW t kdt dt W t dW kdt W t = → = → = Kemudian dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan didapatkan: 1 1 ln , dengan ln dW kdt dW kdt W t W t W t kt c W t W t kt e e c kt W t e e = → = ∫ ∫ → = + → = → = Dengan c W e = maka didapat: c kt kt W t e e W t W e = → = Didapat solusi untuk persamaan 1.1 sebagai berikut: kt W t W e = LAMPIRAN 2 Solusi Persamaan 1.3 1 1 1 1 n n n n k k x x x x + − = + → = + Dengan menggunakan metode rekursif, dengan memasukkan nilai n = 0, 1, 2, 3, ..., m , didapat: 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 untuk =0 untuk =1 u n t u k = 2 untuk = k k k k x k k k k x k k m m m k k x m k n x x n x x x n x x x n m x x x = + = + = + + = + = + = + + = + = + − − = + + = + → → → → M Didapat solusi untuk persamaan 1.3 sebagai berikut: 1 n k n x x = + , dengan n = 1, 2, 3, … LAMPIRAN 3 Solusi Persamaan 2.1 1 t t dS S S rS dt K = = −       Dengan menggunakan cara pemisahan variab el didapatkan: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dS dS S t rS t rdt dS r d t S t S t K dt S t S t K K dS r d t dS rdt S t S t S t K S t K K K K K K dS rdt dS r d t S t K S t S t K S t   = − → = → =         − −         → = → = −     −         → = → = − − Kemudian dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan didapatkan: 1 K K dS rdt dS rdt S t S t K S t K S t = → = ∫ ∫ − − Dengan m enggunakan fraksi parsial untuk ruas kanan persamaan di atas, didapat: K A B K dS S t K S t S t K S t S t K S t A K S t B S t K S t K S t S t K S t K AK B A S t S t K S t S t K S t → = + ∫ − − − − + → = − − + − → = − − Diketahui bahwa K AK = dan B A S t − = maka didapat: 1 0,karena 1 1 K AK A B A S t B A S t B B = → = − = → − = ≠ → − = → = Dengan memasukkan nilai A dan B didapat: 1 1 1 1 K A B K dS S t K S t S t K S t S t K S t K S t K S t S t K S t K dS dS S t S t K S t K S t → = + ∫ − − − → = + − − = + ∫ ∫ − − 1 1 ln ln ln ln K dS rdt dS rdt S t S t K S t K S t S t K S t rt c S t K S t S t rt c rt c e e K S t S t rt c rt c e S t K S t e K S t = → + = ∫ ∫ ∫ ∫ − − → − − = + − + → = + → = − + + → = → = − − Karena S t , maka S t S t = , jadi rt c S t K S t e + = − . Karena K adalah batas atas perkembangan St, maka K St sehingga K S t − , maka K S t K S t − = − , jadi rt c S t K S t e + = − , sehingga 1 1 rt c S t K S t e rt c rt c S t Ke S t e rt c rt c S t S t e Ke rt c rt c S t e Ke rt c Ke S t rt c e + → = − + + → = − + + → + = + + → + = + → = + + Dengan mem bagi rt c e + dengan rt c e + pada ruas atas dan bawah, didapatkan: 1 1 1 1 1 rt c rt c rt c e K rt c K e S t S t rt c e rt c rt c e e K K S t S t e e e − + − − + + → = → = +     + +       +   +     → = → = + + Dengan memisalkan c e − = b didapatkan: 1 rt K S t be − = + Didapatkan solusi untuk persamaan 2.1 sebagai berikut: 1 rt K S t be − = + LAMPIRAN 4 Penurunan persamaan 3.2 dan 3.3 dari persamaan 3.1 Dari persamaan 1.1 diketahui bahwa: , , t t t t t t t d S d I d A S I S I I I A d t d t d t m m l = - = - = - Dari turunan S terhadap t didapatkan: dS SI S SI dt = - ® = - , dari turunan I terhadap t didapatkan: dI SI I I dt I SI m m = - ® = - . Karena S SI = - sehingga S SI - = , maka didapatkan: .......... terbukti I I I I I SI I S I S I S m m m m ® ® ® = - = - - - - + = + = Lalu dari turunan A terhadap t didapatkan: dA I A A I A dt m l m l = - ® = - Karena I I S m - + = sehingga I I S m - + = , maka didapatkan: terbukti ......... A I A A I S A A I S A A I S A m l l l l = - ® = - + - ® + + = - ® + + = - LAMPIRAN 5 Penurunan persamaan 3.4 dari persamaan 3.1 Setelah diketahui n S t x = D , d ari model diskret 1 1 n n n x x y + = + didapat: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n y x x x x y x x y x x x x y x x y + - + + + + + + + + = = = - = - = ® + ® ® ® D Dengan memisalkan n x S t = , y I t n = dan t n = maka didapat: 1 1 n n n x x y S S t I t dS SI dt + - D = ® = - + ® = - Didapat model diskret dari dS SI dt = - adalah 1 1 n n n x x y + = + dan 1 1 , , , danparameter dengan 1sehinggamenyebabkan denganmemilih 1,maka 1 karena , , , , maka 1 1 1 lim n n n n n n n S t t S t t t S t S t S t y I t z A t t n dS dt t S t S t S t y I t z A t t n S t S t x x x b a l m m a l b ® + + D - D D + - = = = = = = D = = = + - = = = = + - = = - = - 1 n n x x - = D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n dI dI dS SI I I t dt dt dt dI dS I t dt dt y x y y y x x y y y x x y y y x x y x y y x y y x y y y x y y y y y m m m m m m m m m + + + + + + + + + æ ö ÷ ç = - Þ = - - ÷ ç ÷ çè ø Þ + = - Þ D + D = - Þ - + - = - Þ - + - = - Þ - + - = - Þ - + - = - + æ ö + ÷ ç ÷ Þ - + - = - ç ÷ ç ÷ ç + + è ø Þ - 1 1 1 1 1 karena maka sehingga terbukti 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ............ 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x y y y x x x y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y x y y y y m m m m m m a a m a + + + + + - + + = - + - - Þ - + = - + - Þ - + = - + - Þ = - + - + Þ = - + + = - = - Þ = + + 1 dari pembuktian diatas didapatkan bahwa maka : , n n n n n dA I t A t dt dI dS dI dS I t I t dt dt dt dt dA dI dS A t dt dt dt dA dI dS A t dt dt dt dA dI dS A t dt dt dt z y x z z z m l m m l l l l + = - æ ö ÷ ç + = - = - + ÷ ç ÷ çè ø æ ö ÷ ç Þ = - + - ÷ ç ÷ çè ø æ ö ÷ ç Þ + + = - ÷ ç ÷ çè ø Þ + + = - Þ D + D + D = - Þ - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n y y x x z z z y y x x z z z y y x x z z z y y x x x y x z z y y x y y x x y x y z z y y y z l l l l l a l a l + + + + + + + + + + + + + + + - + - = - Þ - + - + - = - Þ - + - + - + = Þ + - + - + - = Þ + - + + - + - = + + - + Þ + - + - + + = + + Þ + - 1 1 1 1 1 1 karena maka sehingga ter 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ............ n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x y x x x y z y y y x y x y z z y y y z z y z z y z z y z y z z y z a l a l a l a l a a l l b b l a b + + + + + + - - + - + + = + + Þ + - + - + - = + + Þ + - + - = Þ = - - - - Þ = - + - Þ = - + - = - = - Þ = - + bukti LAMPIRAN 6 Program Mathematica Fungsi Eksponensial Kontinu 1.1 LAMPIRAN 7 Program Mathematica Fungsi Eksponensial Diskret 1.2 LAMPIRAN 8 Program Mathematica Fungsi Logistik Kontinu 2.1 LAMPIRAN 9 Program Mathematica Fungsi Logistik Diskret 2.2 LAMPIRAN 10 Program Mathematica untuk Model Kontinu Penyebaran AIDS 3.1 LAMPIRAN 1 1 Program Mathematica untuk Model Diskret Penyebaran AIDS 3.1 DISKRETISASI MODEL DINAMIK KONTINU MUHAMMAD ARIF TIRTANA G54102014 DEPARTEMEN M ATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2008 A BSTR A K M U H A M M A D A R IF TIR TA N A. D iskretisasi M odel D inam ik Kontinu. D ibim bing oleh N G A K A N K O M A N G K U T H A A R D A N A dan A L I K U SN A N T O . D iskretisasi diperlukan untuk m endapatkan m odel dinam ik diskret dari m odel dinam ik kontinu. Proses tersebut didapat dengan m entransform asi persam aan diferensial pada m odel dinam ik kontinu m enjadi persam aan beda pada m odel dinam ik diskret. Tulisan ini m em perlihatkan bagaim ana m em peroleh persam aan beda sebagai m odel diskret dari fungsi eksponensial kontinu dan fungsi logistik kontinu. Berdasarkan pola perilaku m odel diskret dan m odel kontinu pada fungsi eksponensial dan fungsi logistik, diperoleh bahw a sem ua pola perilaku pada m odel kontinu dim iliki oleh m odel diskret, tetapi m odel kontinu tidak m em iliki sem ua pola perilaku pada m odel diskret. Tulisan ini juga m em perlihatkan proses diskretisasi pada sistem persam aan diferensial m enjadi sistem persam aan beda sebagai m odel diskretnya. Berdasarkan perbandingan pola perilaku m odel diskret dan m odel kontinu pada m odel penyebaran A ID S diperoleh bahw a pola perilaku pada m odel diskret m engim plem entasikan pola perilaku pada m odel kontinunya. . A BSTR A C T M U H A M M A D A R IF TIR TA N A . D iscretization of Continuous D ynam ic M odel. Supervised by N G A K A N K O M A N G K U T H A A R D A N A and A LI K U SN A N TO . D iscretization is a process to form a discrete dynam ic m odel from a continuous one. This can be done by transform ing differential equations of continuous m odel into difference equations of discrete m odel. This paper show s how to get the difference equations from a continuous exponential and a continuous logistic function. Based on the pattern of the continuous and the discrete m odel of exponential and logistic function, it is found that all pattern of continuous m odels are satisfied by discrete m odels, but continuous m odels don’t necessarily have all pattern of discrete m odels. This paper also show s the discretization process of a system of differential equations into a system of difference equations. A nalyzing the continuous AID S epidem ic m odel, it is found that the behavior of the discrete m odel has a sim ilar pattern to the continuous m odel. I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang